第06讲 ch3 扭转§1～4

1、1231 31 扭转的概念与实例扭转的概念与实例 32 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 33 33 纯剪切纯剪切 34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力331 扭转的概念与实例扭转的概念与实例 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：ABOmmOBA轴：轴：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。end431 扭转的概念于实例扭转的概念于实例 end5相对扭转角（相对扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。切切 应应 变（变（）：直角的改变量。MeMeOBA31 扭

2、转的概念于实例扭转的概念于实例 end6工工 程程 实实 例例31 扭转的概念于实例扭转的概念于实例 end733 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 I、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN55. 9nPMem)(kN024. 7nPMe其中：P 功率，千瓦(kW)kNm/s n 转速，转/分(rpm)r/min其中：P 功率，马力(PS) n 转速，转/分(rpm)1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PSW = 2p n n/min Me N m , endW = P k w 6083 扭矩的符号规定：扭矩的

3、符号规定： “T ”的转向与截面外法线方向的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。满足右手螺旋规则为正，反之为负。II、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法截面法求扭矩求扭矩MeMeMeTeexMTMTm 0 0 x32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 end94 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭

4、矩及扭矩图 end10例例1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 PA=36kW，从动轮输出从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。nB C A DMe2 Me3 Me1 Me4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)(N1461 300369550 95501nPMAem)(N 350300110955955032nPMMBeem)(N 44630014955095504nPMDe32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 end11nB C A DMe2 Me3 Me1 Me4112233求扭

5、矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mN350 0 , 02121eexMTMTMmN700350503 , 0 322322eeeeMMTMMTmkN446 , 0 4343eeMTMTM2 T1M2 M3T2T3 M432 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 end12绘制扭矩图绘制扭矩图mN700maxTBA段为危险截面。段为危险截面。nC B A Dm2 m3 m1 m4xT/Nm35070044632 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 end1333 纯剪切纯剪切 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101r（r0：为平均半径）实验：实验：1.

6、实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 Me。MeMe roend142.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 、 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 切应变切应变 相对转角相对转角33 纯剪切纯剪切end15 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半

7、径的均匀分布的切切应力应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：lrrloo 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示： ABCdxDdy CDA1B1C1D1C1D133 纯剪切纯剪切endeMeM16一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 pp 2 2 2d )d( 0 200000ATrTTrrArTrAAAA0：平均半径所作圆的面积:200 rAp d Ar0 T：扭矩0 2AT33 纯剪切纯剪切end17二、切应力互等定理二、切应力互等定理0zm上式称为切应力互等定理切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，

8、切应在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。33 纯剪切纯剪切end0)()( dxdydydx ABCdxDdy CDA1B1C1D1C1D1zxy 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。18三、切应变三、切应变 剪切虎克定律剪切虎克定律lrlr033 纯剪切纯剪切endeMeMl0/ rl19 T=Me)( )

9、 2( 00rlAT 当切应力不超过材料的剪切比例极限时当切应力不超过材料的剪切比例极限时( p)，切应力，切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。33 纯剪切纯剪切endG剪切虎克定律：剪切虎克定律：0 2A0rl20G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为切变模量切变模量，因，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验值可通过实验确定，钢材的确定，钢材的G值约为值约为80GPa。 切变模量切变模量G、弹性模量弹性模量E 、泊松比泊松比m m 是表明材料弹性性是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三

10、个弹性常数之间存在质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。个量就可以推算出来。)1 (2mEG33 纯剪切纯剪切end2134 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。等直圆杆扭转实验观察：等直

11、圆杆扭转实验观察：endm221. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg21xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。G1G2= dx= d34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end1o2o2 2E1 1ETTE1E2= dx=RdxRxEEdddtg21ddx1o2o2 2G1 1GTTd2 2E1 1E232. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end243. 静力学关系：静力学关系：OAxGATAAddd d2AIAp

12、d2令xGI Tpdd pGITx dd得：xGdd pIT将上式上式代入物理关系式(极惯性矩极惯性矩)dAddqqendAxGAddd22/020Dd qpd332 4 Dp25pIT横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。34 圆轴扭转时的应力

13、圆轴扭转时的应力end26单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是 Ip 值不同。值不同。32d2 d42022DAIDAppp对于实心圆截面：DdO34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end27对于空心圆截面：AIApd2)(DddDOd34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end2/2/2d2Ddp)(3244dD p)1 (3244pD28 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。34 圆轴扭转时的应力圆

14、轴扭转时的应力end29 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max , 2DR2 22 maxDIWWTDITIDTpttpp令令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：163DRIWptp对于空心圆截面：34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end)1 (16232)(4344ppDDdDRIWpt30强度计算强度计算强强 度度 条条 件：件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用切应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计

15、算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 ppDDWt34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end31 例例2 2 功率为P P =150=150kW，转速为n n = = 924924 r.p.mr.p.m 的电动机转子轴如图，许用切应力 =30=30M PaPa, 试校核其强度。nPMTeBC55. 9m)(kN55. 1m)(N9241015055. 93T1.55kNm解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。xMPa23Pa10231607. 01055. 1161055. 1633313min,maxppDWTtD3 =13

16、5D2=75D1=70ABCMeMe34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力end32 作业作业31，5，733例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个4040 4040 4 4的等边角钢加固，角钢的许用应力为的等边角钢加固，角钢的许用应力为 G G=160=160M Pa，木材的许用应力为，木材的许用应力为 w w=12=12MPa，弹性模量分别为弹性模量分别为EG G=200=200GPa 和和 Ew w =10 =10GPa；求许可载荷求许可载荷 F 。04FFFFWGyWGllGGGGGAElFl几何方程几何方程物理方程及物理方程及补充方程补充方程：单个角钢面积表查得单个角钢面积表查得: : AG=3.086=3.086cm2 F4FGFWF1m250250WWWWWAElFlWWWWGGGGAElFAElF平衡方程平衡方程: :解：解：木材的截面面积木材的截面面积: : AW=0.0625=0.0625m234 解解平衡方程平衡方程和和补充方程补充方程，得，得: :FFFFWG72. 0 ; 07. 0GGGAF求结构的许可载荷：求结构的许可载荷：WWWAF kN104272. 0/10121025072. 0/662 WWWAF kN4 .70507. 0/10160106 .30807. 0/ 6