23_数学归纳法(第一课时)

1、2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法( (第一课时第一课时) )问题情境一问题情境一问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们个小球，如何证明它们都是绿色的？都是绿色的？ 问题问题 2: 如果如果an是一个等差数列，怎样得到是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d 完全归纳法完全归纳法 不完全归纳不完全归纳法法 模模 拟拟 演演 示示从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个一天先生教他个“一一”字。第二天先生又教了个字。第二天先生又教了个“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字字了，

2、并预先在纸上划了三横。果然这天教了个了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三三”字。于是他得了一个结论：字。于是他得了一个结论：“四四”一定是一定是四横，四横，“五五”一定是五横，以此类推，一定是五横，以此类推，从此，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：自豪地说：“我都会了我都会了”。家长要他写出自己的。家长要他写出自己的名字，名字，“万百千万百千”写名字结果可想而知。写名字结果可想而知。” ” 归纳法：归纳法：由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对

3、，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到对象，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法，考察，考察部分部分对象，得对象，得到一般结论的推理方法到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳不完全归纳法法问题情境三问题情境三 多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 问题情境三问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一

4、一倒下？需要几个步如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）关系；（相当于前牌推倒后牌） 数学归纳法数学归纳法 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：明它们的正确性： （1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)

5、=1) 时命题成立，时命题成立， （2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立证明当时命题成立证明当n=k+1n=k+1时命题也成立，时命题也成立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法3.数学归纳法的应用：数学归纳法的应用：（1）恒等式）恒等式例1例2例3（2）不等式）不等式（3）三角方面）三角方面（4）整除性）整除性例4（5）几何方面）几何方面例5（6）计算、猜想、证明）计算、猜想、证明1a1n1时，当31211213n3a时，当41311314n4a时，当解：解：nan1猜想：猜想：211112n2a时，当 如何通过如何通

6、过有 限 个 步 骤有 限 个 步 骤的 推 理 ， 证的 推 理 ， 证明明n取所有正取所有正整数都成立？整数都成立？证明证明4、对于数列，已知对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11求出数列前求出数列前4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？1(1)当n=1时a =1成立1kkaak+1则n=k+1时,a即n=k+1时猜想也成立根据根据(1)(2)可知对任意正整数可知对任意正整数n猜想都成立猜想都成立.*Nnn1n+1nna对于数列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通项公式为a =,怎样证明?n证明证明：(2)假设n=k时猜想成立即1ka k111kk11k多米诺

7、骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），），可知不论有多少块骨牌，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，即即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1

8、naa,a =1,a=(n),1+a*N已知数列已知数列练习：练习：1 1、如果如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列， 则则a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nNnN* *都成立。都成立。 证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=a=a1 1, ,右边右边=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立时结论成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 当当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也

9、成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN* *都成立。都成立。利用假设利用假设1kkaad则1(1)akdd1akd凑结论凑结论1(1)1akd22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64 5 91234,6. 情境情境1.观察下列各等式，你发现了什么？观察下列各等式，你发现了什么？归纳归纳问题情境问题情境22222(1) (21)1234.6nnnn思考思考：你由不完全归纳法：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？若正确，如何证明呢？

10、数学建构数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明类比多米诺骨牌游戏证明情境情境1中的猜想中的猜想 的步骤为：的步骤为：(1)证明当证明当n=1时猜想成立时猜想成立(2)证明若当证明若当n=k时命题成立，则时命题成立，则n=k+1时命时命题也成立题也成立.22222(1) (21)1234.6nnnn 完成了这两个步骤以后就可以证明完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜上述猜想想对于所有的正整数对于所有的正整数n都是成立的。都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第相当于使所有骨牌倒下的第2个条件个条件222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目标

11、：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边, ,等式显然成立。等式显然成立。例例 证明：证明：数学运用数学运用递推基础递推基础递推依据递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1) (21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何，可知对任何n n N N* *等式都成立。

12、等式都成立。数学归纳法步骤，用框图表示为：数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证验证n= =n0 0时时命题成立。命题成立。若若n = k ( k n0 0 ) 时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。 命题对从命题对从n0 0开始的所有开始的所有的正整数的正整数n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推 注：两个步骤注：两个步骤,一个结论一个结论,缺一不可缺一不可上如证明对吗？为什么？上如证明对吗？为什么？证明证明：当当n=1时，左边时，左边设设n=k时，有时，有135.(21)2(1)1kk即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对

13、问可知，对nN，等式成立，等式成立。思考：用数学归纳法证明用数学归纳法证明: :当当 Nn2) 12(.531nn1右边右边12) 12(.531kk等式成立。等式成立。第二步证明第二步证明中没有用到假中没有用到假设，这不是数设，这不是数学归纳法证明学归纳法证明。则，当则，当n=k+1时时212 (1 )1 (1 )2(1 )kkk135（2n1）正确解法：正确解法：用数学归纳法证明用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。n N证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么

14、当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。证明传递性证明传递性（凑结论）凑结论）用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2

15、）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基递推基础础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点： 两步骤两步骤,一结论。一结论。课堂练习课堂练习2 2、求证：求证：1+2+3+1+2+3+n=+n=12n(n+1 )用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：34n+252n+1能被能被14整除整除证明：证明：(i)当当n1时，时，341+2521+17541416，当当n1时，

16、时，34n+252n+1能被能被14整除整除(ii)设设nk(k1，kN*)时，时，34k+252k+1能被能被14整除整除那么当那么当nk1时时34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 8134k+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2 (34k+252k+1)能被能被14整除，整除，56能被能被14整除整除 34n+252n+1能被能被14整除即整除即nk1时，命题成立时，命题成立 根据根据(i)、(ii)可知可知, 34n+252n+1能被能被14整除整除小结小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？、数学归纳

17、法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用运用“有限有限”的手段，来解决的手段，来解决“无限无限”的问题的问题注意类比思想的运用 分析下列各题用分析下列各题用数学归

18、纳数学归纳法法证明过程中的错误：证明过程中的错误：练习3纠错!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n n N N* *等式都成立。等式都成

19、立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1 223(1)1nnNnnn没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时，原

20、等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11=1+12右边证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 这这才才是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即21111右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由 知知,对一

21、切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11111=(1) ()()223111=11nnnnn 证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnNn nn这不是这不是数学归纳法数学归纳法（3）（纠错题纠错题）课本）课本P87P87 T3 2nn2(n N*)证明证明 ：当当n=1n=1时，时，2 21 1112 2, ,不等式显然成立。不等式显然成立。假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即2 2k kkk2 2, ,那么当那么当n=k+1n=k+1时，有时，有2 2k+1k+1=2=2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+k+

22、k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2. .这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时不等式也成立。时不等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知对任何），可知对任何n n N N* *不等式不等式都成立。都成立。虽然既有虽然既有“递推基础递推基础”，又用到假设，又用到假设（“递推依据递推依据”），但在证明过程中出现），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。时不等式就不成立。练习巩固练习巩固 n+2n+22n+12n+1* *- -+=a +=

23、a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“ ”在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1+a1+a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a2 2. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf)1( kf1)1(31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431

24、)( KKkfCC3. . 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： 2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求证求证:当当nN*时，时，nnnnn212111211214131211 3. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命

25、题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 33. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固

26、 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3练习巩固练习巩固 4、用

27、数学归纳法证明、用数学归纳法证明2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn 证明证明: (1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边= =1. = =1. 命题成立命题成立 )221()1(1 n(2)(2)假设假设n=kn=k时命题正确，即时命题正确，即 2 22 22 22 2k k- -1 12 2k k- -1 1k k( (k k+ +1 1) )1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k k = =( (- -1 1) )2 2则当则当 n=k+1n=k+1时时, , = + = + = = 2)1()1(1 kkk2)1()1( kk2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2