2001年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

1、2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.若sin cos 0,则e在 (A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限(2)过点A(1 , -1), B(-1 , 1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是(A)(x-3) 2+(y+1) 2=4(B)(x+3) 2+(y-1) 2=4(C)(x-1) 2+(y-1)2=4(B)(x+1) 2+(y+1)2=4(3)设an是递增等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是

2、(A)1(B)2(C)4(D)6(4)若定义在区间(-1, 0)内的函数f(x)= 10g2a(x+ 1)满足f(x)> 0,则a的取值范围是111(A)(0 , 2 )(B) (0 , 2 (C)(2,+°°)(D) (0,+8)2sin )(5)极坐标方程4的图形是(A)(田COCD)arccos(x 1)(0 x 2)(6)函数y c0sx 1( x 0)的反函数是(a)y arccos(x 1)(0 x 2) y(C) y arccos(x 1)(0 x 2)(D) y arccos(x 1)(0 x 2)(7)若椭圆经过原点，且焦点为Fi(1, 0), F2

3、(3, 0),则其离心率为321(A) 4(B) 3(C) 21(D) 40(8)若,sin cos a,sin cos4(A) a<b(A)a>b (A)ab<1(D)ab>2(9)在正三棱柱ABC Ai B1C1中，若AB=J2BB1，则AB与CB所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105° (D)75(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:若f(x)单调速增， 若f(x)单调速增， 若f(x)单调速减， 若f(x)单调速减， 其中，正确的命题是g(x)单调速增，则 g(x)单调速减，则 g(x)单调速增，则

4、 g(x)单调速减，则f(x)-g(x)单调递增;f(x)-g(x)单调递增;f(x)-g(x)单调递减;f(x)-g(x)单调递减;(A)(B)(C)(D)(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三 种盖法屋顶面积分别为 Pl、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ,则(A)P3>P2>Pl(B) P3>P2 = Pl(C) P3=P2>Pl(D) P3=P2=Pl(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息

5、可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二.填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为J3 ,则这个圆锥的侧面积是22LL 1(14)双曲线916的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PFXPF2,则点P到x轴的距离为。(15)设an是公比为q的等比数列，&是它白前n项和.若&是等差数列，则q=_.(16)园周上有几个等分点(n> 1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三.解答题：本大题共 6小题共74分.解答应写出文字说明

6、.证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ZABC=90° ,1SAX面ABCD, SA= AB= BC= 1, AD= 2 .(I)求四棱锥S-ABCD的体积；(11)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(18)(本小题满分12分)已知复数Z1= i (1-i) 3(I)求arg Z1及1引(II)当复数Z满足|Z|= l ,求忆-Z1|的最大值.(19)(本小题满分12分)设抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于 A、B两点.点 C在抛物 线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点O.

7、(20)(本小题满分12分)已知i, m, n是正整数，且1viwmvn(I)证明 nipim<mipin ；门)证明(1 + m)n>(1 + n)m.(21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根1据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5 .本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表(II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？(22)(本小

8、题满分14分)1设f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x= 1对称，又任意X1；, X2 C0, 2,都有f(x1 + x2)=f(x1)f(x2).(I)求 f(2)及 f(4);(II)证明f(x)是周期函数；1 lim(lnan)(III)记 an= f(2n+ 2n ),求 n数学13t题(理工农医类)参考答案及评分标准选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D (12)D.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分.满分16分.16(13)2 兀 (14) 5(

9、15)1(16)2n(n-1)三.解答题.12(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分 分.解：(I)直角梯形ABCD的面积是1M 底面=2 ( BC+AD)AB=242 分 四棱推S-ABCD的体积是1 V SA M底面31 1 33414分6b4(II)延长BA、CD相交于点E,连结SE,则S弱所求二面角的棱. AD/BC, BC=2AD.EA=AB=SA, SEX SB.SA，面ABCD ,得面ASB，面ESC, EB是交线, 又 BCEB,，BC±W SEB,故SB是CS在面SEB上的射影，CSXSE,10分所以/ BSC是所求二面角的平

10、面角.SB SA2 AB22, BC 1, BC SBBC 2 tg BSC SB 22即所求二面角的正切值为2。12分(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：(I)z1|z z1 |2 i(1 i)3 2 2i3分将z,化成三角形式，得z12.2(cos - i sin -),44arcz1- ,| z1 | 2.26分4(II )设z cos i sin ，则z z1 (cos 2) (sin 2)i 2_ 2_ 2| z z1 | (cos 2) (sin 2)9 4 2sin(-)9分4当sin( -) 1时,|z z1|2取最大值9

11、4血4从而得到|z z1|的最大值为2J2 112分(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力.满分12分.-,0因为抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F( 2),所以经过点F的直线AB的方程可设为£x=my+ 2代人抛物线方程得 22y -2pcmy-p =0若记A（xYi）, B（X2，Y2）,则Xi，丫2是该方程的两个根，所以 2yiy2= -p£因为BC/ X轴，且点C在准线x=- 2上，所以点C的坐标2为（-2 , y2）,故直线C。的斜率为k 上 1P£ yi xi2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原

12、点O.证明二：如图，y记x轴与抛物线准线I的交点为E, 过A作ADLI, D是垂足.则AD / FE / BC.连结AC,与EF相交手点N,则|EN | |CN | |BF | AD | | AC | | AB |'INF | | AF |IBC | | AB|根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|, |BF|=|BC|EN |I AD| | BF |AB|I AF | | BC |I AB |INF |,12分即点N是EF的中点，与抛物线的顶点 O重合，所以直线AC经过原点O.12分.pmm (m i 1),ipmm m 1 m i 1-T 一，m m mm同理区 n lJ n i

13、 1in n nn由于m n,对整数k 1,2, ,i士 n k1,有所以向 i npm i i i i，即 m Pnn Pmm4分m k, m6分(II )证明：由二项式定理有 n(1 m)nmicn,i 0 m mi i八八(1 n) n Cm,8分i 0由(I)知 mP：ni Prm (1 i m n),而cm Pm,cnPn-10分i! i!所以 mCnicm(1 i m n).mm因此 micn nicm. i 2i 2P 000011i i乂m Cn n Cm,mCn nCm mn,mCn 0(mmm7 ii c im Cn n Cm .i 0i 0即(1 m)n (1 n)m.1

14、2 分i n).(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分 12分.1解.(I)第1年投入为800万元.第2年投入为800X(1- 5)万元，第n年投入为1800 x (1- 5 )n-1 万元.所以，n年的总收入为(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分(I)证明：对于1 i m,有an 800n800k 11800 (1)5(1 1广51 n 1800 (1)54000 1 (-)n； 51第1年旅游业收入为 400万元，第2年旅游业收入为400 X(1+ 4)万元，第n年旅游1业收入

15、为400 X (1+ 401万元.所以，n年内的旅游业总收入为11 n 1bn 400 400 (1 -)400 (1 )44nI、k 1400 (1)k 141600 (4)n 1；6 分5(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn an 0即1600 (4)n 1 4000 1 (4)n 055化简得 5 (4)n 2 (-)n 7 09分55设x (4)n,代入上式5_ 25x 7x 2 0解此不等式得2人,x -,x 1(舍去)5即(4)n 2,55由此得n 5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入12分(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分.1(I)斛：因为 x1,x2 0,-,都有 f(x1 x2)f(x1) f(x2)，所以2f(x)f(x) f(x)f(1)1 f(2)f(1)1 f(2)221 1f ( , )2 21 1f ( , )4 4a 021a2, f(-)40,x1f(2)101.1f(2)1f(4) f(4)1 2 f(-), 21 2 f(-),41a4.(II )证明：依题意y 故 f(x)f (x 1 x),即f(x)f(2 x), xf (x)关于直线x1对称,R,又由f(x)是偶函数知f( x) f (x),