振动之轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画)

1、1*5.5 轻杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)(1)一轻杆长为一轻杆长为l，连接一个质量为，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。的摆球，形成一个单摆。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅当单摆角振幅的度数为的度数为1到到7 时时(间隔为间隔为1 )，将单摆运动的角位置和，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到到150

2、 时时(间隔为间隔为30 )，另加，另加179 ，同样进行比较。，同样进行比较。(1)如图所示，设角位置为如图所示，设角位置为，摆锤的运动方程为摆锤的运动方程为即即在小角度的情况下，在小角度的情况下，sin ，可得，可得0为圆频率为圆频率22dsindmlmgt22dsindgtl lmgOftT2202d0dt 0/g l单摆在小角度的情单摆在小角度的情况下作简谐振动。况下作简谐振动。0022lTg振动周期为振动周期为在小角振动的情况下，单摆的周期与在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性角振幅无关，这称为单摆的等时性。2摆锤的角速度为摆锤的角速度为 = d/dt，因此

3、，因此可可得得积分得积分得当当t = 0时，时， = 0， = m，可得可得C = -gcosm/l。22dsin ,dgtllmgOftT角速度角速度大小为大小为0022lTg单摆的单摆的周期为周期为22ddddddddddttt dsin dgl 21cos2gClmd2(coscos)dgtlmm000mmd2d42coscoscoscoslTTg对于任何角振幅对于任何角振幅m，通过数值积分和符号积分都能计算周期，通过数值积分和符号积分都能计算周期。注意：角速度和圆注意：角速度和圆(角角)频率都用字母频率都用字母表示，单位也相同，但意义不同。表示，单位也相同，但意义不同。*范例范例5.5

4、 轻杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)3利用半角利用半角公式可得公式可得设设并设并设ksinx = sin(/2)，因此，因此可得可得0022,lTg第一类完全椭第一类完全椭圆积分定义为圆积分定义为m00m2dcoscosTT周期可周期可表示为表示为m0220m1dsin (/2) sin ( /2)TTmsin2k1cos dcosd22kx x/2/20022220012 cos d2dcos( /2)sin1 sin ( /2)kx xxTTTkkx/202202d1sinxTkx/2220dK( )1sinxkkx02K( ).TTk*范例范例5.5 轻

5、杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)4将周期的椭圆积分公式按二项式展开得将周期的椭圆积分公式按二项式展开得其中其中(2n 1)! = 13(2n 1)。利用定积分公式利用定积分公式可得用无穷级数表示的单摆周期可得用无穷级数表示的单摆周期0022,lTg如果取前两个正弦项，则得如果取前两个正弦项，则得利用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度决定利用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度决定。如果只取常数项，可得单摆小角度的周期如果只取常数项，可得单摆小角度的周期T0。msin2k/202202d1sinxTTkx02K( ),Tk/220102(21)!1( si

6、n ) d2!nnnnTTkxxn/220(21)! sind2!2nnnx xn2m01(21)!1sin 2!2nnnnTTn224mm022211 3(1sinsin.)222 42TT*范例范例5.5 轻杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)5当角振幅在当角振幅在20以内时，单摆的周期几乎不变。以内时，单摆的周期几乎不变。数值积分和符号积分与第一类完全数值积分和符号积分与第一类完全椭圆积分公式计算的结果完全吻合。椭圆积分公式计算的结果完全吻合。当角振幅在当角振幅在20到到40之间时，单摆的周期稍有增加。之间时，单摆的周期稍有增加。当角振幅接近当角振幅接近18

7、0时，单摆的周期急剧增加。时，单摆的周期急剧增加。当角振幅大于当角振幅大于40时，单摆的周期显著增加。时，单摆的周期显著增加。6当角振幅等于当角振幅等于5时，只要在周期的级时，只要在周期的级数中取一个正弦项即可达到精度。数中取一个正弦项即可达到精度。当角振幅等于当角振幅等于90时，则需要取时，则需要取15个正弦项才能达到精度。个正弦项才能达到精度。当角振幅等于当角振幅等于150时，则需要取时，则需要取148个正弦项才能达到精度。个正弦项才能达到精度。当角振幅在当角振幅在155到到165之间时，取之间时，取150个正弦项虽然不个正弦项虽然不能达到精度，但是周期的近似值与精确值基本吻合。能达到精度

8、，但是周期的近似值与精确值基本吻合。当角振幅接近当角振幅接近180时，即使取时，即使取150个正弦项，个正弦项，周期的近似值与精确值也有明显的差别。周期的近似值与精确值也有明显的差别。可见：在通常振幅的情况下，可用级数求和可见：在通常振幅的情况下，可用级数求和的方法计算单摆的周期，但是在很大振幅的的方法计算单摆的周期，但是在很大振幅的情况下，就需要用积分的方法或完全椭圆积情况下，就需要用积分的方法或完全椭圆积分函数才能保证周期的精度。分函数才能保证周期的精度。容差为容差为10-67(1)一轻杆长为一轻杆长为l，连接一个质量为，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。的摆球，形成一个单摆。不计摩擦

9、，求单摆的周期与角振幅的关系。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅当单摆角振幅的度数为的度数为1到到7 时时(间隔为间隔为1 )，将单摆运动的角位置和，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到到150 时时(间隔为间隔为30 )，另加，另加179 ，同样进行比较。，同样进行比较。解析解析(2)为了演示单摆的振动，需为了演示单摆的振动，需要求微分方程中角度的数值解。要求微分方程中角度的数值解。

10、摆锤的坐标为摆锤的坐标为x = lsin，y = lcos，lmgOftTx轴取向右的方向为正，轴取向右的方向为正，y轴取向下的方向为正轴取向下的方向为正。*范例范例5.5 轻杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)8当角振幅为当角振幅为60时，单时，单摆的初始状态如图所示，摆的初始状态如图所示，单摆的周期为单摆的周期为1.0732T0。9当角振幅小于当角振幅小于5时，单摆振动时，单摆振动周期约等于小角振动的周期。周期约等于小角振动的周期。10当角振幅为当角振幅为90时，单摆的周期为时，单摆的周期为1.18T0。11当角振幅为当角振幅为179时，时，单摆的初始状态如单

11、摆的初始状态如图所示，单摆的周图所示，单摆的周期为期为3.90T0。12当角振幅为当角振幅为179.9时，时，单摆的周期为单摆的周期为5.37T0。13(1)一轻杆长为一轻杆长为l，连接一个质量为，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。的摆球，形成一个单摆。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅当单摆角振幅的度数为的度数为1到到7 时时(间隔为间隔为1 )，将单摆运动的角位置和，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振

12、幅的度数为角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到到150 时时(间隔为间隔为30 )，另加，另加179 ，同样进行比较。，同样进行比较。解析解析(3)为了求解单摆的运动规律，为了求解单摆的运动规律，仍然需要求微分方程的数值解。仍然需要求微分方程的数值解。单摆的振动可与简谐振动进行比较。单摆的振动可与简谐振动进行比较。lmgOftT简谐振动的角位移可用余弦简谐振动的角位移可用余弦函数表示函数表示h = mcost，简谐振动的角速度为简谐振动的角速度为hhmdsind. tt *范例范例5.5 轻杆轻杆单摆振动的周期和振动规律单摆振动的周期和振动规律(动画动画)14在角振幅较小的情

13、况下，单摆的周在角振幅较小的情况下，单摆的周期近似为小角单摆的周期，其角位期近似为小角单摆的周期，其角位移完全可以用余弦函数表示。移完全可以用余弦函数表示。15在角振幅较小的情况下，其角速在角振幅较小的情况下，其角速度完全可以用正弦函数表示。度完全可以用正弦函数表示。16当角振幅当角振幅在在90以内以内时，单摆时，单摆的角位移的角位移与简谐运与简谐运动的标准动的标准点基本上点基本上是重合的，是重合的，因此可用因此可用余弦函数余弦函数近似表示；近似表示；当角振幅等于当角振幅等于150时，单摆的角位时，单摆的角位移与简谐运动的标准点有所偏离；移与简谐运动的标准点有所偏离；当角振幅接近当角振幅接近180时，单摆的周期时，单摆的周期显著增加，角位移显著偏离简谐显著增加，角位移显著偏离简谐运动，角位移的极大值和极小值运动，角位移的极大值和极小值处十分处十分“平坦平坦”，表示单摆在左，表示单摆在左右两个角振幅附近运动比较缓慢。右两个角振幅附近运动比较缓慢。17当角振幅等于当角振幅等于1