椭圆——参数方程学习教案

1、会计学1椭圆椭圆(tuyun)参数方程参数方程第一页，共14页。OAMxyNB解：解：设设XOA=, 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由此由此:即为点即为点M M轨迹轨迹(guj)(guj)的参数方程的参数方程. . sinbycosax( 为参数)消去参数消去参数(cnsh)(cnsh)得得: :,bya12222x即为点即为点M M轨迹轨迹(guj)(guj)的的普通方程普通方程. . 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为半径）为半径作两个同心圆，设作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接为大圆上的任意一点，连

2、接OA,与小与小圆交于点圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的的轨迹参数方程轨迹参数方程. 第2页/共14页第二页，共14页。1 .参数方程参数方程 是椭圆是椭圆 的参数方程的参数方程.cosxasinyb2 .在椭圆的参数在椭圆的参数(cnsh)方程中，常数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab 另外另外 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值的取值范围是范围是0, 2)cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,s

3、in .x bYya焦点在 轴( 为参数)y ya aabab22221 （ .0)xb第3页/共14页第三页，共14页。OAMxyNB归纳归纳(gun)比较比较椭圆的标准椭圆的标准(biozhn)(biozhn)方程方程: :12222byax椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的参数方程中参数的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为参数为参数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为参数为参数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=，是旋转角，是旋转角PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX

4、=,不是不是MOX=.称离心角称离心角第4页/共14页第四页，共14页。【练习【练习(linx)1】把下列普通方程化为参数方程】把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列把下列(xili)参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx第5页/共14页第五页，共14页。练习练习2：已知椭圆的参数方程为：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数是参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短），短轴长为

5、（轴长为（ ），焦点），焦点(jiodin)坐标是（坐标是（ ），离心率是（），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3第6页/共14页第六页，共14页。例例1、如图，在椭圆、如图，在椭圆(tuyun)x29+y24=1上上求一点求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离的距离最小最小.xyOP分析分析(fnx)1平移直线平移直线 l 至首次与椭圆至首次与椭圆(tuyun)相切，切点即为相切，切点即为所求所求.22204936xymxy000,M(,)消元，利用，求出进而求得切点 mxy第7页/共14页第七页，共14页。M M设 (3 cos,2 sin

6、)是椭圆上任一点.|3cos4sin -10|5d则小结：借助椭圆小结：借助椭圆(tuyun)的参数方程，可以将椭圆的参数方程，可以将椭圆(tuyun)上的任意一点的坐标用三角函数表示，利上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决用三角知识加以解决.例例1、如图，在椭圆、如图，在椭圆(tuyun)x29+y24=1上求一点上求一点M，使使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析(fnx)23cos()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时, 取最

7、小值，0098coscos,2sin2sin55此时339 8M( , )210055 5Mxy时，点与直线的距离取最小值。第8页/共14页第八页，共14页。例例2.已知椭圆已知椭圆(tuyun) ,求椭圆求椭圆(tuyun)内接矩形面积的最大值内接矩形面积的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆解：设椭圆(tuyun)内接矩形的一个顶点坐标为内接矩形的一个顶点坐标为( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形所以椭圆内接矩形(jxng)面积的最大值为面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab第9页/共14页第九页，共14页

8、。例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆(tuyun) 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆在第一象限的椭圆(tuyun)弧上求一点弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:解 由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin )PAB即求点 到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定需求 S最大即可132xy直线AB的方程为：22| cossin6|23d6662 sin()1413,d当 =时有最大值 面积最大.43 22P这时点 的坐标为(, 2)2360 xy第10页/共14页第十页，共14页。练习练习(linx)1、

9、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最最小小值值最最大大值值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点两点的线段的中点(zhn din)轨迹是轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sin设 xy236cos6sinxy6 2sin()4第11页/共14页第十一页，共14页。(3cos ,2sin ).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)23、当参数 变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点PABCD它的焦距它的焦距(jioj)是多是多少？少？B2 5练习练习(linx)317cos()_,8sin2_.4.椭圆为参数 的中心坐标为准线方程为xy(3, 2)289315x 第12页/共14页第十二页，共14页。小结小结(xioji)（1）椭圆）椭圆(tuyun)的参数方程（的参数方程（ab0）12222byax)(sincos为参数byax注意注意(zh