数学史10 (2)

1、（五）、欧几里德（五）、欧几里德 Euclid：-330-275，几，几何学的鼻祖何学的鼻祖 Elements是指一学是指一学科中具有广泛应用的最科中具有广泛应用的最重要的定理重要的定理 历史意义在于用公理方历史意义在于用公理方法建立起演绎体系的最法建立起演绎体系的最早典范早典范1 1、Elements产生的背景：产生的背景： （1 1）、公理化方法）、公理化方法-从尽可能少的几条公理从尽可能少的几条公理及若干原始概念出发，推出尽可能多的命题及若干原始概念出发，推出尽可能多的命题（2 2）、）、Elements的出现是许多希腊学者大的出现是许多希腊学者大量工作的总结和发展，其中有：量工作的总结

2、和发展，其中有： 泰勒斯泰勒斯(Tales)，毕达哥拉斯毕达哥拉斯(Pythagoras)， 欧多克索斯欧多克索斯(Eudoxus)，芝诺芝诺(Zeno)， 德谟克里特德谟克里特(Demokritos)，柏拉图柏拉图(Plato)，亚，亚里士多德里士多德(Aristotle)等人的成果等人的成果 -4-4世纪，世纪，Elements出现出现据说是保留最完整的古代据说是保留最完整的古代原本原本2.Elements的版本和流传：的版本和流传： 塞翁塞翁(Theon,335-405)阿拉伯文（阿拉伯文（9世纪后）世纪后）拉丁文（拉丁文（1120年，年，阿德拉德阿德拉德）出版出版（1482年年威尼斯威

3、尼斯）后有后有1000多种版本多种版本. . 目前最权威的版本是目前最权威的版本是海伯格海伯格( (18541928，丹麦丹麦) )和和门格门格注释的注释的欧几里德全集欧几里德全集，是，是希腊文和拉丁文的对照本；现在最流行的希腊文和拉丁文的对照本；现在最流行的标准英译本是标准英译本是希思希思( (18611940，英，英) )注释注释的的欧几里德几何原本欧几里德几何原本13卷卷. . 几何原本几何原本1482年威尼年威尼斯斯The first page of The Elements published in 1505. (This was the first Latin translatio

4、n directly from the Greek.)(3)(3)、中国最早的汉译本：、中国最早的汉译本： 16071607年（明代）意大利传教士年（明代）意大利传教士利玛窦利玛窦（Matteo Ricci，15521610）和）和徐光启徐光启翻翻译前译前6 6卷，定名为卷，定名为几何原本几何原本，“几何几何”的名称就是这样来的的名称就是这样来的. . 底本：克拉维乌斯底本：克拉维乌斯(Clavius,1537-1612,德德) 利、徐共同翻译前六卷后，徐利、徐共同翻译前六卷后，徐“意方锐，意方锐，欲竞之欲竞之.”.”利说：利说：“止，请先传此，使同志止，请先传此，使同志者习之者习之. .果为

5、所用也，而后徐计其余果为所用也，而后徐计其余.”3.”3年年后，后， Matteo Ricci去世，留下校订的手稿去世，留下校订的手稿.徐光启遗憾到：徐光启遗憾到：“续成大业，未知何日，续成大业，未知何日，未知何人，书以俟焉未知何人，书以俟焉!” 250年后，到了年后，到了1857年，后年，后9卷才由英国人卷才由英国人韦亚烈韦亚烈( (Wylie，18151887) )和和李善兰李善兰( (清，清，18111882) )共同译出共同译出. 底本：巴罗底本：巴罗( (Barrow,1630-1677,英英) )的的15卷卷英译本英译本. 前者称为前者称为“明译本明译本”，后者称为，后者称为“清译

6、清译本本”. “几何几何”二字的解释：二字的解释：“几何几何”是拉丁文是拉丁文“geometria”字头字头“geo”的音译；的音译；在汉语里，在汉语里，“几何几何”是多少，若干的意思，是多少，若干的意思，而而原本原本实际上包括了当时所有的数学，实际上包括了当时所有的数学，故几何是故几何是Mathmatica（数学）的意译；（数学）的意译；原本原本基本上是一本几何书，内容和中国基本上是一本几何书，内容和中国传统的算术很不相同，为区别起见，应创新传统的算术很不相同，为区别起见，应创新词来表达。而词来表达。而“几何几何”二字既和二字既和geometria的的字头音近，又反映了数量大小的关系，用这字

7、头音近，又反映了数量大小的关系，用这两个字可以音意兼顾两个字可以音意兼顾这也许更接近徐，这也许更接近徐，利二位的原意利二位的原意. .3. .原本原本内容简介：内容简介： 共共13卷，共计卷，共计463个命题，其中包括个命题，其中包括54个作个作图题图题. . 第第14卷：直线形和圆的基本性质；卷：直线形和圆的基本性质； 第第5，6卷：利用比例理论讨论相似形；卷：利用比例理论讨论相似形； 第第7，8，9：初等数论；：初等数论； 第第10卷：无理量，即不可通约量理论；卷：无理量，即不可通约量理论； 第第11，12，13卷：立体几何及穷竭法卷：立体几何及穷竭法. . 第一卷：本卷书的内容是早期毕氏

8、学派发展的第一卷：本卷书的内容是早期毕氏学派发展的. .（讲直线形）（讲直线形）Book I. The fundamentals of geometry: theories of triangles, parallels, and area.Definition (23), Proposition (48). （1 1）首先给出）首先给出2323个定义：个定义： 点是没有部分的；点是没有部分的；Definition 1. A point is that which has no part. 线是没有宽度的长度；线是没有宽度的长度；Definition 2. A line is breadthl

9、ess length. 直线是其中各点看齐的线，直线两端是点；直线是其中各点看齐的线，直线两端是点；Definition 3. The ends of a line are points. Definition 4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself. 面是只有长度和宽度的；面是只有长度和宽度的；Definition 5. A surface is that which has length and breadth only. 圆是由一条曲线所包围的平面图形，从其内圆是由一条曲线所包围的平

10、面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有直线彼此相等；一点出发落在曲线上，所有直线彼此相等；Definition 15. A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another. 还有锐角，钝角，平行线，等定义还有锐角，钝角，平行线，等定义.Definition 12. An acute angle is an angle

11、 less than a right angle. Definition 11. An obtuse angle is an angle greater than a right angle. Definition 23. Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction. （2 2）五个公设和五个公理）五个

12、公设和五个公理五个公理：五个公理：A1：与同一件东西相等的一些东西：与同一件东西相等的一些东西, ,彼此是彼此是相等的相等的. .A2：等量加等量：等量加等量, ,总量仍相等总量仍相等. .A3：等量减等量：等量减等量, ,余量仍相等余量仍相等. .A4：彼此重合的东西彼此是相等的：彼此重合的东西彼此是相等的. .A5：整体大于部分：整体大于部分. . Common notion 1. Things which equal the same thing also equal one another. Common notion 2. If equals are added to equals,

13、 then the wholes are equal. Common notion 3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal. Common notion 4. Things which coincide with one another equal one another. Common notion 5. The whole is greater than the part.五个公设：五个公设：P1：从任一点到另外一点作一条直线是可能的：从任一点到另外一点作一条直线是可能的.P2：直线可以不

14、断延长：直线可以不断延长.P3：任一点为圆心，任一长为半径作一圆是可：任一点为圆心，任一长为半径作一圆是可能的能的.P4：所有直角彼此相等：所有直角彼此相等.P5：如果一直线与两直线相交，且同侧所交两：如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点相交于该侧的一点. Postulate 1. To draw a straight line from any point to any point. Postulate 2. To produce a finite straight line continuous

15、ly in a straight line. Postulate 3. To describe a circle with any center and radius. Postulate 4. That all right angles equal one another. Postulate 5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines

16、, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. （3 3）在公理之后，又给出了）在公理之后，又给出了4848个命题，讨论关于个命题，讨论关于直线和由直线构成的平面图形的性质直线和由直线构成的平面图形的性质. . 命题命题14：若两三角形的两边及夹角对应相等，：若两三角形的两边及夹角对应相等，它们就全等它们就全等.(.(CAC) ) 命题命题15：等腰三角形两底角相等：等腰三角形两底角相等. . 命题命题16：1515的逆的逆. . 命题命题

17、32：三角形的一个外角等于两个内角之和：三角形的一个外角等于两个内角之和. . 三角形的三内角和等于两直角三角形的三内角和等于两直角. . 命题命题47：毕氏定理及其证明：毕氏定理及其证明. . 作图题：作图题：、作给定角的角平分线、作给定角的角平分线. . 、作给定线段的中点、作给定线段的中点. .Euclid证明勾股定理证明勾股定理 第二卷：只有第二卷：只有14个命题，讨论面积的变换个命题，讨论面积的变换以及以及毕氏学派毕氏学派的几何式代数（图形代数）的几何式代数（图形代数） Book II. Geometric algebra. Definitions (2), Propositions

18、 (14) CutGoldenaaxxabbabaorbaxx 0n11.Propositio)2()2(. 0. 5nPropositio222222 cos2222bccba Cosine law: 第三卷：有第三卷：有37个命题个命题. .包括中学几何课本中许包括中学几何课本中许多关于圆多关于圆, ,弦弦, ,割线割线, ,切线及有关角的度量的定理切线及有关角的度量的定理. .Book III. Theory of circles.Definitions (11),Propositions (37) 第四卷：有第四卷：有16个命题个命题.讨论了用直尺讨论了用直尺,圆规作圆圆规作圆的内接和

19、外切图形的内接和外切图形.包括圆的内接包括圆的内接,外切的正三角外切的正三角形形,正方形正方形,正五边形和正六边形正五边形和正六边形,正正15边形边形. 说明：第三卷和第四卷的内容是毕氏时代就说明：第三卷和第四卷的内容是毕氏时代就已经知道了的已经知道了的.Book IV. Constructions for inscribed and circumscribed figures.Definitions (7) ,Propositions (16) 第五卷：是对第五卷：是对欧多克斯欧多克斯( (Eudoxus) )比例理论的比例理论的精彩阐述精彩阐述. .共共18个定义，个定义，25个命题个命题

20、. .最高成最高成就就, ,它在当时的认识水平上消除了由不可公度量它在当时的认识水平上消除了由不可公度量所引起的数学危机所引起的数学危机. .Book V. Theory of abstract proportions.Definitions (18) ,Propositions (25) Definition 3.A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind. Definition 4.Magnitudes are said to have a ratio to

21、 one another which can, when multiplied, exceed one another. 第六卷：由第六卷：由33个命题组成个命题组成. .把把Eudoxus的比例的比例理论应用于平面几何，即用来讨论相似形问题理论应用于平面几何，即用来讨论相似形问题. .另外还有一些代数方程的几何解法另外还有一些代数方程的几何解法. . Book VI. Similar figures and proportions in geometry.Definitions (4), Propositions (33) 0sin22 abSabxx sin2abS 第七第七, ,八八,

22、,九卷：初等数论九卷：初等数论 Book VII. Fundamentals of number theory.Definitions (22) , Propositions (39) Book VIII. Continued proportions in number theory. Propositions (27) Book IX. Number theory. Propositions (36) 求最大公约数的方法求最大公约数的方法Euclidean algorithm. .若若a:b=b:c=c:d, ,则则a,b,c构成一个几何级数构成一个几何级数. .算术基本定理算术基本定理fu

23、ndamental theroem of arithmetic：任何大于一的整数都能以一种方法表示成素数任何大于一的整数都能以一种方法表示成素数的乘积的乘积. . “ “素数有无穷多个素数有无穷多个”的的Euclid证明证明. . 第十卷：无理量（不可公度量）第十卷：无理量（不可公度量）,共共115个命个命题，是全书最长也是最艰深的一卷题，是全书最长也是最艰深的一卷.主要讨论无主要讨论无理量理量(不可公度量不可公度量),并试图进行分类并试图进行分类(13 类类),该卷该卷篇幅最大篇幅最大.但只涉及相当于但只涉及相当于之类的无理量之类的无理量. Book X. Classification of

24、 incommensurables.Definitions (16) , Propositions (115) . 第第11,12,13卷：立体几何卷：立体几何,共共75个命题个命题.包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体体积包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体体积定理以及正多面体的讨论定理以及正多面体的讨论(在第在第13卷中证明了卷中证明了正多面体只有正多面体只有5种种).特别值得一提的是在第特别值得一提的是在第12卷卷中详细叙述了中详细叙述了“穷竭法穷竭法”. ba Book XI. Solid geometry.Definitions (28), Propositions (39) Boo

25、k XII. Measurement of figures.Propositions (18) Book XIII. Regular solids.Propositions (18) “穷竭法穷竭法”:是古希腊数学家证明面积、体是古希腊数学家证明面积、体积定理时经常使用的一种得力的方法，它是积定理时经常使用的一种得力的方法，它是由由安丰蒂安丰蒂Antiphon(-430)首创的，但完善、成首创的，但完善、成熟的穷竭法主要归功于熟的穷竭法主要归功于欧多克索斯欧多克索斯Eudoxus，也就是也就是原本原本第第12卷中所记载的方法卷中所记载的方法.4.4.原本原本的意义和局限性：的意义和局限性：（1

26、 1）意义：）意义：原本原本是数学史上的第一座理是数学史上的第一座理论丰碑论丰碑. .不仅在于内容丰富严谨不仅在于内容丰富严谨, ,更重要的更重要的是其在方法论上的深刻意义是其在方法论上的深刻意义公理法：公理法：从少量精心选择的公理出发从少量精心选择的公理出发, ,从简单到繁杂从简单到繁杂地推演出的理论体系地推演出的理论体系, ,空前的优美空前的优美, ,流畅流畅. .这这种方法影响十分悠远种方法影响十分悠远, ,使人类对数学有了使人类对数学有了“特定特定”的观念的观念-数学中演绎范式的确立，数学中演绎范式的确立，即即“公理化公理化”思想思想. .（2 2）局限和不足：有些地方尚有不确切之处）

27、局限和不足：有些地方尚有不确切之处, ,含有一些不自觉的假定含有一些不自觉的假定. . .某些定义仍借助直观或含糊不清某些定义仍借助直观或含糊不清. . .公理系统是不完备的公理系统是不完备的, ,有些公理不独立有些公理不独立. . .广泛地运用了图形的重合和运动广泛地运用了图形的重合和运动, ,从而暗从而暗用了图形的运动不变性用了图形的运动不变性. . .两直线或直线与圆必有交点两直线或直线与圆必有交点, ,这是运用了这是运用了直线直线( (实数实数) )的连续性的连续性. . .在用穷竭法和间接证法处理逼近的时候在用穷竭法和间接证法处理逼近的时候, ,排除了无限过程排除了无限过程, ,无限

28、步骤无限步骤, ,束缚了思想束缚了思想. .纯理性的研究导致应用数学纯理性的研究导致应用数学,特别是机械的特别是机械的长期被忽视长期被忽视. .没有运动公理没有运动公理, ,顺序公理顺序公理, ,连续性公理等公连续性公理等公理理, ,所以许多证明不得不借助于直观所以许多证明不得不借助于直观. . .全书的组织安排也是可以改进的全书的组织安排也是可以改进的. . .第十卷的分量过于庞大第十卷的分量过于庞大, ,且大部分与前后无且大部分与前后无联系联系. .基本上没有什么用处基本上没有什么用处. . .书中的证明常常也偏概全书中的证明常常也偏概全, ,即对一般的定理即对一般的定理只给出特例的证明只

29、给出特例的证明. .（3 3）改进：）改进： 1794年法国数学家年法国数学家勒让德勒让德（Legendre，17521833）新欧几里德几何原本新欧几里德几何原本。. .删去非几何部分删去非几何部分, ,将几何部将几何部分重新整理和编写；分重新整理和编写；. .加入非负实数轴加入非负实数轴, ,用数来表用数来表示量；示量；. .改进比例部分；改进比例部分；. .把把“第五公设第五公设”换成换成“平行平行公理公理”：过直线外一点：过直线外一点, ,有且有且只有一条直线与原直线平行只有一条直线与原直线平行. .5.Euclid的其他著作：的其他著作：（1）.数据数据（Data） 一个数据可以定义为一个图形的几个部分或一个数据可以定义为一个图形的几个部分或关系关系, ,使得：如果除了其中的一个以外使得：如果除了其中的一个以外, ,其余其余的都给定了的都给定了, ,则这一个也可以确定则这一个也可以确定. . 例如：例如：a=2RsinA 目的：在作图或证明时目的：在作图或证