传染病数学建模资料讲解

1、传染病数学建模精品文档第3哂传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者（或感染后痊愈者）的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，Hk表示在开始观察后第k大传染病人的人数，Ik表收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么Sk+1=Sk-0.01Sk(1)Hk+1=Hk-0.2Hk+0.01Sk

2、(2)Ik+1=Ik+0.2Hk其中(1)式表示从第k大到第k+1天有1%的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1大的传染病人的人数是第k大的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2Hk(假设该病的患病期为5天.邮以筹天将书:的倬架嘀入亚也,巾上步禅相的人融也口1sl.式表示在第k+1大免疫者的人数是第k大免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。将(1),(2)和(3)式化简得'(4)ki1*o.汨1t如果已知S0,H0,|0的值，利用上式可以求得S1,H1，1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2,H2,I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组收集于网络

3、，如有侵权请联系管理员删除精品文档Sk,Hk,Ik的值。因此，我们把Sk+1,Hk+1,Ik+1和Sk,Hk,Ik之间的关系式叫做递推关系式。现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为£3OD0D|氏=加烟Cs）1-1000将上述数据（5）代入（4）式右边得Sj-aioo,Hl-91009“-2800利用递推关系式（4）反复计算得表30-1o在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模

4、型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档士勒驰*M-lHka1S>10000D1SIDO»0D1号早：Q9S713?SS944“45用77505双鞭5*ni*£4331打51Diasd4S3O4T轴二"*mIJSD3¥QIdElO1279rrs15J3Q1378PT7i&G2614元田H上白ri55oa在上述模型中，易受感染者每天的发病率是1%,它只与易受

5、感染者的人数8有关。对于有些传染病，情形更为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数Hk有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病率也就越高。这样，就必须将由(1),(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为N,是一一个常数。于是，Sk=N-(Hk+Ik)(7)其中Ik为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为a,则Ik+1=Ik+aHk(8)最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数Sk和传染病人的人数Hk均成正比，且其比例因子为B,那么收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档Hk+i=Hk+iSkHk-aHk(9)

6、将(7),(8)和(9)组合起来，就得到关于Sk,Hk,Ik的递推关系式：住-乳-(X皿为式二电,十日均日一立瓦(1。鼠也如果已知N,a和B,并给会0,H0和I0,那么利用上式就可以计算Hi和Ii,利用Hi和Ii,由式，可以计算Si,然后计算H2和I2,再计算S2,这样，(i0)式就给出了关于传染病传播的第2个数学模式。利用数学模型(4)或(i0)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。设ASk=Sk+i-Sk表示从第k大到第k+i大易受感染者人数的变化，AIk=Ik+i-Ik表示从第k大到第k+i天免疫者(或感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到ASk=-0.0iSk<

7、;0AIk=0.2Hk>0所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(i0)式来说，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档易受感染者的人数，免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？分析：类似于数学模式(4)式的情形，分别计算ASk,AIk与AHk(=Hk+i-Hk),然后加以分析。解由(10)式得：2Sk=N-(Hk+1+Ik+i)-N-(Hk+Ik)=(IkIk+l)+(Hk-Hk+l)=-aHk-pSkHk+aHk二-fSkHk所以ASk&0,k=1,2,，即易受感染者人数只可能减少不会增加。因为k=Ik+aHk-Ik=

8、oHk所以AIk>0,k=1,2,即免疫者人数只可能增加不会减少。现在设AHk=Hk+1-Hk表示从第k大到第k+1大传染病人的人数的变化，则由(10)式得收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档Hk=pSkHk-oHk=（SSk-a）Hk,所以当（&-a）0时，传染病人的人数第k+1大比第k大增加；当（pSk-a）0时，传染病人的人数相应地减少，也就是说，当易受感染者人数Sk“大”时，可怦Sk-a）0,从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数Sk“小”时，可使（pSk-a）0,从而传染病人的人数减少。解一元一次不等式k-a0（或pSk-a0）行':或6卷）因为当吕

9、.3时，传染痛人的人数第叶俄比第卜天1酬当工4时，传染病人的心飘+1天出歌潮为目般；从上逑结果我粘可以看到口与#的比值看是直昇的a,a值，因为省号A7时口书染病人有席加的越辑.当第下药.有域分的普势r折以F3倍染病的一个临界值，总与口，B的值有美-我ao们总是靠空下的值大。使得当邑吉时活加入的入趣逐步毗瓦pP而累增大*的埴，必须增大a值或者低自值，打果采取诋防碧4可P收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档如，打预防针等），那么可以降低发病率从而降低B值。如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率a。现在有这样的一个实际问题，有一个药物研究小组提出需要100万

10、元的科研经费在一年内试制某种预防针剂，可使发病率降低从而使B值降低25%,而另一个药物研究小组提出需要100万元的科研经费在一年内试制某种药品，可使痊愈率a提高30%。如果仅有一笔100万元的科研基金可供申请，那么这笔基金应提供给哪一个小组？谈据以上分析.只要比薪在两种方医下的临鼎苗m大小.P蒿于用做防针的不桂，a-a,日（:2班）机所以-EiaIQ一a序界值。=否|一1不询力？,对于用药物的方法，a2=（1+30%）a,2=B,所以临喇哈-安J塔由于C1>C2,所以这笔基金应提供给试制预防针剂的小组。注：从传染病传播的数学模型的研究过程中，可以看到建立数学模型的一般过程。收集于网络，如

11、有侵权请联系管理员删除精品文档一般说来，建立数学模型有如下6个步骤：第一步：模型准备根据提出的问题，要深入了解该问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握所研究对象的各种信息，如统计数据等，弄清实际对象的特征。总之，要做好建立模型的一切准备工作。在本题中，研究者通过对某地区某种传染病传播情况的观察，积累一定的数据，例如，记录一段时期内每大传染病人，易受感染者以及免疫者（或感染后痊愈者）的人数等等，也就是说，按要求统计必要的数据，目的是建立传染病传播的数学模型，以了解传染病人的人数变化的趋势，使有关医疗卫生部门能及时采取措施，将传播病加以有效的防治。第二步：模型假设实际问题中往往因素很多，十分复杂

12、。因此，必须根据实际研究对象的特征和建立模型的目的，较确切地去辨别问题的主要方面和次要方面，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，将问题理想化、简单化。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档不同的简化和假设，会得到不同的模型。假设做得不合理或过分简单，会导致模型的失败或部分失败，于是应该加以修正；假设做得过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，将难于发现规律和建立模型。在本题中，我们只考虑上述三种人数：Sk,Hk和Ik的变化情况，对人口的迁入和迁出，出生和死亡等因素暂不考虑。第三步：模型建立建立数学模型，通常要根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各量之间的等式或不等式关系，列出

13、表格，画出图象等表达式，用以描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。建模时，首先要考虑合理性，并尽量使用简单的数学工具，简单工具不能解决问题时，要选用较复杂的数学工具。在本题中是设法建立一个与实际数据比较吻合的关于Sk,Hk和Ik的递推关系式。例如，在建立数学模型（4）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档式时，研究者通过对观察数据的分析，发现每天有1%的易受感染者得病，而病人的患病期为5天,听以鼻天又有!由两继贴3底.由此建上T曲;ft*外武（JJ,（2和（3）以描述易受感染者，传染病人和免疫者（或感染后痊愈者）的人数之间的内在联系。第四步：模型求解建立数学模型后，实际问题已归结为相

14、应的数学问题。接着，需要求解数学问题，解出结果。在本题中，利用数学模式（4）式，通过直接计算，就能得到表30-1所列的结果。如果借助于计算机，我们还能得到更多的数据。本题的模型求解过程特别简单。对于有些问题，有时需要用到许多数学方法，甚至现代数学的一些方法；有时需要借助于计算机，利用算法语言，编出计算机程序，做出计算机软件等帮助求解。第五步：模型检验把模型求解的结果，经“翻译”再回到实际对象中，用实际现象，数据等检验模型的合理性和适用性。如果收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档检验结果不符合或部分不符合实际情况，并且肯定在模型建立和求解过程中没有失误的话，那么应该修改假设，重新建模。在

15、本题中，我们可以检验由（4）式计算出来的理论数值与实际统计的数据是否吻合。如果比较吻合，则模型是成功的；如果差别太大，则模型是失败的；如果部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。例如，当某种传染病每天的发病人数既与易受感染者人数有关又与传染病人的人数有关时，那么必须把原数学模型中的（2）式加以修改，假设传染病人的人数符合（10）式，建立新的数学模型（10）式，然后对新的数学模型加以检验，直到检验结果令人满意为止。第六步：模型应用应用的方式因问题的性质和建模的目的而不同。例如，利用计算结果做出某些决策进行管理与控制或预测未来的情况等，实际上，所建模型的意义大小就是由它的应用前景来决定的。收集于

16、网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档在本题中，利用数学模型，可以预测传染病人传播的趋势，及时采取预防和治疗措施，将病情加以控制。利用数学模型（10）式，还可以4号钟俏,时若府节钠醐4说.蚱君临坪，册太】值或者降低B值的重要性，便于有关医疗卫生部门进行决策和管理。应该指出，并非所有建模过程都要经过这些步骤，有时各个步骤之间的界限也并不那么分明。但是，通过建模一般过程的介绍，可以对建模的意义和方法有进一步的理解。一般说来，所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。它或者能解释特定现象和现实性态；或者能预测对象的未

17、来状况；或者能提供处理对象的最优决策或控制。对于利用数学模型经过演绎、推理、计算，给出数学上的分析、预报、决策或控制，必须经过实践的检验。对检验结果正确，或基本正确的，就可以肯定下来，用来指导收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档实际；对检验结果悬殊较大；或基本错误的，必须修改模型。目前数学模型已经形成一门创造性很强的新兴学科，它的应用已扩展到各个领域，有人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型等等，气象工作者根据关于气压、雨量、风速、的数学模型，来预报天气；发电厂运用发电过程的数学模型，来实现计算机自动控制；在经济领域的两个数学模型，纯交换经济的平衡价格和投入产出模型，均获得了诺贝尔奖金。科学家们对数学模型的研究，已获得了很多成果，对生产力的发展起了巨大的作用。练习301.科学家将某种异体单细胞注入一个白鼠体内做实验,发现一天之后，白鼠体内该种细胞有4个，二天之后，有16个，如表30-2所示：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档大范*X4以芟1142IS3G44125651024&砌T1给1假设白鼠体内的该种细胞超过100000人将死亡，而注射某种药物可杀死白鼠体内96%的该种细胞。按你的分析，试问（1）为了维持白鼠的生命，最迟什么时候必须注射该种药物？（2）如果白鼠体内的该种细胞达到100000g时，第1次注射该种药