简明微积分二阶常系数线性微分方程ppt课件

1、第三节第三节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为) 1 ( )()()(xfyxQyxPy0)(xf)2( 0)()(yxQyxPy称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程(3) 0qypyy为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程一、

2、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，那么 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.)()(2211xyCxyCy (一)二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构证，的解，所以都是方程因为0)()()( 0)()()( )3()(),( 22211121xqyxpyxyxqyxpyxyxyxy的左端，得代入方程将)3()()(2211xyCxyCy)4( )0)( )(xfxfqypyy/为二阶常系数线性非齐次微分方程.，0 )()()( )()()( )()( )()( )()( 22221

3、111221122112211xqyxpyxyCxqyxpyxyCxyCxyCqxyCxyCpxyCxyC.)3()3()()( 2211的解所以它是方程，满足方程即xyCxyCy 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程, 02yyy容易验证： 都是它的解.由定理11.1 知xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.xxx

4、xCCCCCee )2(e2e2121问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解就必定是方程(3)的通解.)( )()(212211为任意常数，CCxyCxyCy定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有)0)()( )()(221112xykxykkxyxy或成立，则称函

5、数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，那么),( )()(212211为任意常数CCxyCxyCy就是方程(3)的通解. 02 e)(e)( 221的解，并写出它的通解都是微分方程与验证yyyxyxyxx，及分别求导，得及对xxxxxxxyxyxyxyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它们分别代入所给方0e2e2e4 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都是原方程的解与故xxxy

6、xy例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解常数，xxxxyxy3212eee)()( ，是线性无关的两个特解与xxxyxy221e)(e)( .,ee 2 .1121221是任意常数其中，得原方程的通解为由定理CCCCyxx) 1 ( )( )(，为常数，qpxfqypyy二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式)2( . 0qypyy它所对应的齐次方程为(二二) 二阶常系数线性非齐次微分二阶常系数线性非齐次微分 方程解的性质与通解结构方程解的性质与通解结构定理 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通

7、解，那么)(* xy)(*)()(*2211xyxyCxyCyYy)()(2211xyCxyCY是方程(1)的通解.)(*xfqypyy，及0 qYpYY所对应的是方程的解，而是方程由于) 1 () 1 (*Yy齐次方程(2)的通解，所以有证*)*()( *)(*)(*)( ) 1 (*qypyyqYpYYyYqyYpyYyYy的左端，得代入方程把，)()(0 xfxf.) 1 (,*)2() 1 ()()(.) 1 () 1 (*2211的通解是方程从而它意常数中也含有两个独立的任以个独立的任意常数，所的通解，其中已含有两所对应的齐次方程是方程为又因的解，从而是方程满足方程即yYyxyCxy

8、CYyYy.2的通解次微分方程求二阶常系数线性非齐xyy，的通解为微分方程且所给方程对应的齐次xxCCYyyee 0 21. 2ee * 3 .11 221是所给方程的通解可知由定理xCCyYyxx例1是所给方程的一个特解容易验证：2*2xy解)(*)(*21xyxy和定理 设)3( )()(21xfxfqypyy)( )( 21xfqypyyxfqypyy和的特解，那么 是微分方程)(*)(*21xyxyy的特解，其中p，q是常数.分别是二阶常系数线性非齐次微分方程)(*)(* )(*)(* )(*)(* )3()(*)(*21212121xyxyqxyxypxyxyxyxyy的左端，得代入

9、方程把.)3()(*)(*21的一个特解是微分方程xyxyy，和由假设有)()(*)(*)(* )()(*)(*)(* 22221111xfxqyxpyxyxfxqyxpyxy，)()()(*)(*)(* )(*)(*)( *21222111xfxfxqyxpyxyxqyxpyxy证二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法)( e为常数ryrx把 代入方程(3)，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为.24 22, 1qppr，是两不相等的实根与24

10、,24 , 04 (1)2221212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21与于是都是方程(3)的解，且常数，xrrxrxryy)(121212eee即 线性无关.因此方程(3)的通解为xrxryy21ee21与(6) ).,( ee212121为任意常数CCCCyxrxr2 04)2(21212prrrrqp是两相等实根与时，当于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且xry1e1常数，12yy，设)(e12xuyxr，整理都得代入方程及，将)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr. 0)()2(1211uq

11、prrupru02 0 )5(2 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成为，xrxy1e2取u=x，于是得方程(3)的另一个特解xrxryy21ee21与线性无关，方程(3)的通解为(7) ).,( e )( ee 212121111为任意常数即，CCxCCyxCCyxrxrxr，其中，是一对共轭复根与时，当024 ,2 i ,i 04 )3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy与 ,sinicosei是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21写为，将yyxyy

12、yxyyyxxsinei 21cose21212211，再由定理11.1可知，函数也是方程(3)的解，且,tancosesine21常数xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为21yy 与求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:0qypyy02qprr两个不相等的实根21rr 特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21)

13、 sin cos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的实根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解为，0322 rr 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，满足初值条件求微分方程tttssststs，有两个相同实根21 21 rr例4，特征方程为，原方程化为041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解为，求导，得将上式对2222ee )1 (21dd ttCCtst，故，代入通解，得将2210e )1 ( 11tttCsCs.e321 2tts故所求特解为

14、，代入上式得再将232dd20Ctst.032 的通解求微分方程yyy，有一对共轭复根i 21 2, 1r).2sin2cos(e 21xCxCyx通解为例5，特征方程为032 2 rr解三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法1. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式，mmmmmaxaxaxaxP1110 )()(e)(xPxfmx)(xPm. )0(,)sincos(e)(. 2均是常数及，其中BAxBxAxfx.e )(e )(2e )( e )(e )( 2*xxxxxxQxQxQyxQxQy，则型)(e)(. 1xPxfmx此时微分方程(1)成为(4) )(e，xPqypyymx，

15、e )(*xxQy可设方程(4)的特解为),(e*xPqypyyyyymx代入，将 ,e )(e )( e)()(e)()(2)(2xmxxxxPxqQxQxQpxQxQxQ，得约去0ex(5) ).()()( )()2()(2xPxQqpxQpxQm分三种情形讨论此式：.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为0 2qpxmxQye )(* 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系

16、数 ，从而得到方程(4)的特解 . yyy*,，mmbbbb，110*ymmbbbb，110.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm(2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为02 0 2pqp，xmxxQye )(* 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 . yy*与mmbbbb，110*y.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm(3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重

17、根，即 .设方程(4)的一个特解为02 0 2pqp，xmxQxye )(2* 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 . yy*与mmbbbb，110*y小结：(4) )(e xPqypyymx对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4)，xmkxQxye )( *设方程(4)的特解为Qm是与Pm同次的多项式，即.) 1(,)( 1210122110个待定系数是其中，mbbbbbbxbxbxbxbxQmmmmmmmmk的取法为(1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0,(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.(2)当 是对应齐次

18、方程的单特征根时，取k=1,例2 求微分方程.e )2(322的一个特解xxyyy，此取不是特征方程的根，因02k. 1, 3 , 032 212rrrr解得特征方程为xbxby210*e )( 设特解为.e )(4e4 ,e )(2e 21020*21020*xxxxbxbbybxbby032 2, 2)( ,e )(e )2()( 112yyyxxPxPxxfxx对应齐次方程为，其中解，得代入所给方程，约去，将2)32(3 ,e1002*xbbxbyyyx，98 ,31 10bb 23213,100，得同次幂的系数比较两端bbbx.e9831 2*xxy特解为.e212的通解求微分方程xy

19、yy. 1,21)( ,e )(e21)(00 xPxPxfxx则而.e )(21xxCCY121 rr，故得对应齐次方程的通解为0122 rr的特征方程为对应的齐次方程02yyy解而 是特征方程的重根，取k=2.因而，设1.e2*xbxy 例3，则xxbxbxbybxbxye )42(* e )2(* 22.e41 2*xxy 故求得一个特解为，即代入所给方程，得，将41 212 *bbyyy.e41e )( * 221xxxxCCyYy为因此，所给方程的通解.1)0(, 0)0(32 2的特解满足初值条件：求微分方程yyxyy(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.，有两个不同的实根，特

20、征方程为1, 0 0 212rrrr(2)再求所给方程的一个特解y*.，取是特征方程的一个单根10k.e 21xCCY故得. 0, 32)(32)(222xxPxxf，则解例4，因此，设xbxbxbbxbxbxyx2213002120e )(* ，即，代入所给方程，得把32)2()26(3 32)23()26( *,*,22110202212010 xbbxbbxbxbxbxbbxbyyy，的同次幂项的系数，得比较上式两端. 3202623 21100bbbbbx.26* 23* 102120bxbybxbxby，故得所给方程的特解为xxxy23232* . 142e 22xxCyxx求导，得

21、将上面的通解对，解得1232 210bbb.232e * 2321xxxCCyYyx为因此得所给方程的通解. 22 110 1)0(, 0)0(21221CCCCCyy，即得，得分别代入通解及上式，把.232e22 23xxxyx于是得所求特解为. 2232e2 23xxxyx或型xBxAxfsincos)(. 2(6) sincosxBxAqypyy; 0 )6(i) i (k取征根时，所对应的齐次方程的特不是方程当此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为., 0,不同时为零是实常数，且其中BABA，)sincos(*xbxaxyk方程(6)有如下形式的特解其中a，b为待定系数，k的取法

22、如下： . 1 )6(i)ii(k取征根时，所对应的齐次方程的特是方程当.cos23的一个特解求微分方程xyyy023 2 rr方程的特征方程为所给方程所对应的齐次.sincos* cossin* xbxayxbxay，. 1, 2 21rr有两个不同的实根. 0iik不是特征方程的根，取因为为待定系数，其中设原方程的一个特解为baxbxay,sincos* 例5，在所给方程中，1, 0, 1BA解，代入所给方程，得把xxbaxbayyycossin)3(cos)3( *,*,，系数，得比较上式两端同类项的0313 baba.103,101 ba.sin103cos101*xxy原方程的一个特解为.2sin42cos24的通解