二次函数动轴与动区间考点技巧分类总结

1、二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数时称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)=ax2+bx+c(a工0),求f(x)在xcni,n上的最大值与最小值。分析：将f(x)配方，得顶点为(一色，4aCb'L对称轴为x=-&-当a>0时,它的图象是开门向上的抛物线,数形结合可得在m,n上f(x)的最值:(1)当一葛中1，n时，f(x)的最小值是f(一()=当卢，f(x)的最大值是f(m)>f(n)中的较大者。(2)当一b2a印1】，n时由f(x)在卜11,n上是增函数则f(x)

2、的最小值是f(m),最大值是f(11)若nc-2，由f(x)在卜11，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m),最小值是f(n)当avO时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键,此类问题包括以卜泗种情形：(1)轴定，区间定(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变.1 .轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的.我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例L函数丫=-好+4乂一2在区间0,3上的最大值是,最小值是o解：函数丫=一(+4乂-2=-(

3、乂-2)2+2是定义在区间0,3上的二次函数，其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0,3上，如图1所示。函数的最大值为f(2)=2,最小值为f(0)=-2。练习.已知2x?«3x,求函数f(x)=x"+x+l的最值。第1页(共9页)解：由己知2x?K3x,可得0<xK±,即函数f(x)是定义在区间0,221上的二次函数。2图象开II向上。显然其顶点横坐标不在区间0,1内，如图2所示。函数f(x)的最小值为f(0)=l,最大值为f19将二次函数配方得f(x)=(x+；)其对称轴方程x=-；,顶点坐标(-；，J,且2、

4、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数f(X)=(X-»+l定义在区叫t,t+1上，求f(X)的最小值。解：函数f(X)=(X-l)2+l，其对称轴方程为X=l，顶点坐标为(1,1),图象开II向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间卜，t+1左侧时，有Ivt,此时，当X=t时，函数取得最小值f(X)n1n=f(t)=(tl)2+l。如图2所示，若顶点横坐标在区间卜，t+1上时，<l<t+l,即OWtWL当x=l时,函数取得最小值f(x)0=f(l)=1。如图3所示，若顶点横坐标在区间卜，t+1

5、右侧时，有t+lvL即tV0。当乂=1+1时,第2页(共9页)函数取得最小值f(x)1nm=f(t+l)=t?+l(t-l)3+l,t>l综上讨论，f(x)nun=«l,0<t<lt2+lt<0y/中tot+1x图8例3.已知f(x)=£-2x+3,当xet,t+l(t£R)时，求f(x)的最大值.解：由已知可求对称轴为x=l.(1)当t>l时，故焉=f(t+l)=t?+2当tWlWt+1,即OWtWl时，.根据对称性，若上*KL即°7、5时，f(X)nux=f(t)=t2-2t+322t+t+111若2>2即2<

6、;、时，f(x)1mx=f(t+l)=t+2(3)当t+l<l即t<0时，(x)nwc=f(t)=t-2t+3t3+2,t>-综上，f(x)a2、1t-2t+3,t<-2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闱区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论：而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称

7、轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时f(x)Nf>i(m+n)(如图1)2a2f(n)»-<(m+n)(如图2)2a2f(X)3f(n)»>n(如图3)2af(-)»m<-<n(如图4)2a2af(m),-<ni(如图5)2a第3页(共9页)当a<0时f(x)a如图6)f()»ni«Kn(如图7)f(x)1nm2a2a(如图8)f(m)，f(n),2(m+n)(

8、如图9)2a2-2<1(m+n)(如图10)2a23、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值二例4.已知x?Kl,且a-220,求函数f(x)=好+2乂+3的最值。解：由已知有一IWxWLa>2,于是函数f(x)是定义在区间卜1,1上的二次函数，将f(x)配方得：f(x)=(x+g+3一;/2、,图象开口向上二次函数f(x)的对称轴方程是x=-2顶点坐标为3-2<247由aN2可得x=-<-1>2显然其顶点横坐标在区间卜1,1的左侧或左端点上。函数的最小值是f(1)=4一a,最大

9、值是f(1)=4+a。图3例5(1)求f(x)=x?+2ax+l在区间12上的最大值。(2)求函数y=-x(x-a)在上的最大值。第4页(共9页)解：(1)二次函数的对称轴方程为x=-a,当-a<L即a>-L时，f(x)ax=f(2)=4a+5：2 2当-a2即a4时，f(x、3=f(-l)=2a+2o3 212a+2,aW综上所述：f(xK=':。4a+5,a>22（2）函数y=（x±）2+L图象的对称轴方程为x=L应分一1-<-1,土>1即242222-2<a<2,a<-2和a>2这三种情形讨论，下列三图分别为（1）a

10、<-2：由图可知f（x）m=f（-l）a(2)-2<a<2；由图可知f(x)w=f(-)2(a+1),a<2即y-=,-2<a<24a-1,a>2(3)a>2时：由图可知f(x)E=fQ)f(-l),a<-24.轴变区间变二次函数是含参数的函数,一最大=<f(1),-2<a<2：f，a>2而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6己知=43他_59>0）,求ii=（x_3>+y2的最小值。解：将=4a（x-a）代入中，得以二（及一？+40（大一）=了一（32以）Z+12a

11、8a"xa9+oo）（1）3-2a,>at即0<aM时，=12a8ai3-2<°,即。>1时，/（£）2二/（以）二（一3产第5页（共9页）所以-/(0<a<1)a>1)(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数fAa+Zax+l在区间-3,2上的最大值为4,求实数a的值。解:f(x)=a(x+l)2+1-a,xe-3,2(1)若a=O,f(x)=l,不符合题意。(2)若a>0,则f(x)z=f(2)=8a+l由8a+1=4,得a=38(3)若a<0时，则f(x)z

12、=f(-1)=1一由l-a=4,得a=-3综上知a=?或a=-38例8.己知函数f(x)=+x在区间nin上的最小值是3nl最大值是3n,求n】，n的值。2解法1:讨论对称轴工=1中1与*吧上,1】的位置关系。f(x)g=f(n)=3nf(x)g=f(m)=3mcin+n若<1<n,2f(x)a=fQ)=3iif(x)=f(m)=3mm+n若in<1<2f(x)a=f(l)=3n2，无解f(x)g=f(n)=3m第6页(共9页)若1山Jf(x)z="m)=3n、f(x)m=f(n)=3m无解综上，m=-4,n=0f(x)a=f(n)=3nf(x)mm=f(m)

13、=3m解析2：由f(x)=-L(x-l>+9,知3n<L,n«L,则(-叫1,2226又在mu1上当x增大时f(x)也增大所以解得m=-4,11=0评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m,n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9.已知二次函数*乂)=胃+(2-1)乂+1在区间一|,2上的最大值为3,求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a>0与a<0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解

14、法为：2a1(1)令f(-)=3,得a2a此时抛物线开11向下，对称轴方程为x=-2,且-2任故-;不合题意:(2)令f(2)=3,得a=；此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=g符合题意：(3)若f(?)=3,得a=423此时抛物线开H向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=-4符合题意。3综上，a=9或a=-223解后反思：若函数图象的开II方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、

15、巩固训练1 .曲数y=x?+x+1在-口上的最小值和最大值分别是第7页(共9页)(均1,3(B)-,3(C)-,3(D)-,34242 .函数y=-x2+4x-2在区间1,4上的最小值是()(A)-7(B)-4(C)-2(D)283 .函数y=-的最值为()x-4x+5(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8(C)最小值为0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 .若函数y=2-V-x3+4x,xW0,4的取值范围是5 .已知函数f(x)=ax2+(2a-l)x-3(a#0)在区间-9,2上的最大值是1,则实数a的值为6 .如果实数x,y满足x?+y?=1,那么Q

16、-xy)(L+xy)有()(A)最大值为1,最小值为1CB)无最大值，最小值为三24(C)最大值为1,无最小值。)最大值为1,最小值为m47 .已知函数y=x?-2x+3在闭区间O,n上行最大值3,最小值2,则n】的取值范围是()(A)1,+s)0,2(C)1,2)(一卬8 .若xN0,yN0,x+2y=1,那么2x+3y?的最小值为9 .设n】£RXpX?是方程X?-2nix+lnf=0的两个实根，则x+x：的最小值10 .设f(x)=乂2-4*-4/6K4+1。£&,求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。11 .已知f(x)-x2-ax十士，在区间0刀上的最大

17、值为g(a),求居(a)的最小值。212(2009江苏卷)设a为实数，函数£仪)=2幺+3-2)|乂-8.(1)若f(o)Ni，求a的取值范围：C)求f(x)的最小值：(3)设函数h(x)=f(x),xe(a,+s),辛倭耳中(不需给出演算步骤)不等式h(x)Nl的解集【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问即的综合能力。(1)Zif(0)>1*贝U-a|a|21=>3,=>a<-1a>1(2)当X2a时,f(x)=3x2-2ax+a2,1f(a).a>0j2aa>0W«=|fca)a<Q»2aa<0第8页(共9页)当xKa时,f(x)=x3+2ax-af(x)f