人教版高中数学选择性必修一讲义1空间向量及其运算精炼解析版

1、1.1空间向量及其运算（精炼）【题组一概念的辨析】1 .（2020辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行；若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面；若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量上总存在实数x,y,z使得下xaybzc.其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】A【详细解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错.两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱

2、锥PABC中，PA,PB,PC两两共面，但它们不是共面向量，故错.根据空间向量基本定理，a,b,c需不共面，故错.综上，选a.2 （2019全国高二）下列说法中正确的是（）a.若iapi，则a,b的长度相等，方向相同或相反B,若向量a是向量b的相反向量，则b.C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有ABADAC【正确答案】B【详细解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等，所以B正确.I-1-I-对于C,减法结合律指的是abcabc,因而由

3、运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足ABADAC的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.综上可知，正确的为B,故选:B3. （2020陕西新城.西安中学高二期末（理）给出下列命题：若空间向量a,6满足aR,则ab；空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量c，由acbc,则ab；在向量的数量积运算中abcabc.其中假命题的个数是（）A.1B,2C,3D,4【正确答案】D【详细解析】对于，空间向量a,b的方向不一定相同，即ab不一定成立，故错误；对于，单位向量的方向不一定相同，故错误；对于，取a0,0,0,b1,0,0,c0,1,0，满足acbc0，且c0，但是

4、ab，故错误；对于，r_（.一（.r3r因为ab和b展都是常数，所以abc和abc表示两个向量，若a和a方向不同r_（.一（.r3r则abc和abc不相等，故错误.故选:D.4. （2019长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：空间任意两个共起点的向量是共面的；两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；空间向量的加法满足结合律：abcabc；首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量请将正确的说法题号填在横线上：.【正确答案】【详细解析】中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点则3点共面，可知两向量共面，正确；中，两个相等向量需大小相等，方向相同，错误

5、；中，空间向量加法满足结合律，正确；中，由向量加法的三角形法则可知正确.故正确答案为：【题组二空间向量的线性运算】1.（2020辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体ABCDABQD中，点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若DA=a，DC=b,DDi=c,则MN=(.1，、A(cba)2一1，、C(ac)2B.D.2(a2(cbc)a)【正确答案】D【详细解析】根据向量的线性运算MN1如MAANaBA12ApiBAAA11_1,A1B1B1clbcba222ca所以选DC.EF2AB中，点F在AD上，且AFB.EFD.EF1一-AC21Ac22FD,E为BC中点则EF等于（）1一AB2-

6、AB22一AD3-AD3【正确答案】【详细解析】EFEBBAAFABACAB2AD32AD.故选：B33（2020山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形OABC中，OA=a,OBb,OCc，点M在OA上,且OM2MA,N为BC中点，则MN2231.-c22_1u1-ab-c3222.2-1.a_b-c332B.D.1一一-(OBOC)【正确答案】【详细解析】由向量的加法和减法运算:MNONOM2-OA32-a31-c.2故选：B4.（2020山东德州.高二期末）如图，平行六面体ABCDABC1D1中，AC与BD的交点为M，设ABADb，AAc,则下列选项中与向量MC1相等的是（）1_1,

7、一A.-abc221 屋C.一abc221 -1八-B.-a-bc2211,.D-abc,22【正确答案】B【详细解析】如图所示，；MC1MCCC1,1_.-MC-AC,ACABAD,ABa,ADb,CCi八11-MC1ABADCC1AB2211,-ADCC1-a221bc25.（2020陕西王益.高二期末（理）如图，在空间四边形ABCD中,E,M,N分别是边BC,BD,CD的中点，DE,MN、-，11D-EM交于F点,则一AB-ACEF【详细解析】E是边BC的中点，1-AB21一AC2AE;1-AB211-ACEFAEEFAF;【正确答案】BABCDABCD中，AM2MC,6.（2019江苏

8、省苏州实验中学高二月考）平行六面体AMxAByADzAA1，则实数x,y,z的值分别为1223,3,3b2,1,2333C.2213,3,3DMi323【正确答案】C【详细解析】OGxOAyOBC.x13,13'13,16'工33B.XD.x13,16'13,13'AM2MC,而|AC,.ACACAA,ABADAA1,2 -222AM-AC-AB-ADAA,3 333221221AMAAAM-AB-AD-AA,xyz.故选:C.3333337 .（2020湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OB,ACOA,OB

9、,OC表示向量OG,设的中点，点G在线段MN上，MG2GN,现用基向量zOC,则x,y,z的值分别是（【正确答案】【详细解析】'OGi.X-O,<4OMMG-OA2MNOA232MAAN11OA2212Az一一OA一AN3235252，21521，111,OAjABBNOA-AB-BCOA-OBOAOCOBOAOBOC63633263363316，y8 .（2020全国高二课时练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：（而+BC）+CC1；（诟+AD1）+D1c1；（AB+BB1）+B1C1;（AA+AB1）+BG.其中运算的结果为AC1的有一个.【正确答案】4【详

10、细解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：（AB+BC）+CC1=AC+CC1=AC1；（AA+AD1）+D1G=AD1+D1G=AC1；p-r'ri-（AB+BB）+B1C1=AB1+BC1=AC1；（AA+AB1）+B1C1=AB1+BG=记.所以4个式子的运算结果都是嬴.故正确答案为：4.9.（2020江苏省如东高级中学高一月考）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若记ABaADb,ACc，则AG一11,1【正确答案】一abc244【详细解析】在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，-111一1一1_11则AGABBGAB-BEAB-(B

11、CBD)AB-(ACABADAB)AB-AC-AD-AB1 1“r111,1ABADAC.故正确答案为：abC.2 4424410.（2020全国高二课时练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CDi的中心，且AFADmABnAA则m,n的值分别为（A.1,-122C.【正确答案】A【详细解析】由于AFADDFAD1-(DC2DD1)AD1一-AB212，n1I-.故选:A2【题组三空间向量的共面问题】1.（2020涟水县第一中学高二月考）A,B,C,D是空间四点，有以下条件：_-1-0D0A0B210010D0A2一'1一.1_0D0A-0B50C;.10D-0A21

12、-0B3能使A,B,C,D四点一定共面的条件是【正确答案】1，由空间向量共面定理可知a,b,c,d四点1_【详细解析】对于0D0A2定共面，不满足共面定理的条件.故正确答案为2. （2019江苏海安高级中学高二期中（理）设空间任意一点0和不共线三点AB,C,且点P满足向量关系0Px0Ay0Bz0C，若P,A,B,C四点共面，则xyz.【正确答案】1【详细解析】因为P,A,B,C四点共面，三点A,B,C不共线，所以m,nR,PAmABnAC,0A0Pm（0B0A）n（0C0A）,0P（1mn）0Am0Bn0Chh因为0Px0Ay0Bz0C,因为0是任意一点，故0A,0B,0C可不共面，所以x1m

13、n,ym,zn,故xyz1.故正确答案为:13. （2020全国高二课时练习）对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,有如下关系60P0A20B30C，则（）A.四点0,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【正确答案】B【详细解析】因为60POA2OB30c，所以OPOA2OBOP3OCOP即AP2PB3PC，根据共面向量基本定理M得AP,PB,PC共面，所以，P,A,B，C四点共面.故选：B.4. （2020宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系6OPOA2OB3OC,则（）A.四

14、点OA,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【正确答案】B111111.【详细斛析】由已知信OPOAOBOC,而1,四点P、A、B、C共面.632632故选：B.5. （2020四川阚中中学高二月考（理）O为空间任意一点，A,B,C三点不共线，若OP=1一一11一40A-OB70c，则A,B,C,P四点（）326A.一定不共面B.不一定共面C.一定共面D.无法判断【正确答案】C，.11【详细解析】因为0P=OAOB326.（2019建瓯市第二中学高二月考）已知11110C,且一一1,所以A,B,C,P四点共面.6326A、B、C三

15、点不共线，对平面ABC外的任一点0,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A.0MOAOBOCB.0M10A10B10C333八一-11'"''C.0M0A-0B-0CD.0M20AOBOC23【正确答案】B【详细解析】若0M一r1一故可得0M31-，0A31-OA31-0M31-OB310B31产1-0M310C31一1一1-即一AMBMCM0,333则AMBMCM，故AM,amaBAMaC1_1整理得AM-AB-AC33又因为AB,AC共面，故可得AM,AM,AM共面，而其它选项不符合，即可得a,b,c,m四点共面.故选：b.31-1-7.（2

16、020西夏.宁夏育才中学高二期末（理）已知O为空间任意一点若OP-OA-OBOC,则488AB,C,P四点（）A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D,无法判断【正确答案】B【详细解析】由若OP=aOAbOBcOC，当且仅当abc1时，P,A,B,C四点共面.一31一1vOP-OA-OB-OC,488一311.而一1故P,A,B,C四点共面，故选B488【题组四空间向量的数量积】1. （2020山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体ABCDABC1D1中，ABADAA1,BADBAA120,DAA160，则AC1（）A.1B.2C.V3D.我【正确答案】D【详细解析】:AC；ABADA

17、A，222,AC；ABADAA12ABAD2ABAA;2ADAA；111一1112112112112,AC；2.故选:D2222. （2020四川遂宁.高三三模（理）如图，平行六面体ABCDAB1C1D1中，AB5,AD3,AA7,BAD-,BAADAA，则AC1的长为34【正确答案】98562【详细解析】平行六面体ABCDABCD中,AB5,AD3,AA7,BAD-,BAA3DAA一4,AC1ABBCCC1,AC12AC1ABBCCC1AB259492AC1AC1BC2AB.BCcos3BCCd.cos4ABCC1cos4579856722J9856我.故正确答案为:,9856啦3. （20

18、20全国高二课时练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点.(1)用向量OA，OB，OC表示OP和OQ-(2)若四面体OABC的所有棱长都等于1,求OP,OQ的值.11-【正确答案】(1)OP-OA-OB1-OC,OQ31一-OA313(2)36【详细解析】(1)ABOBOA，BCOCOBMNMAABBN1-OA2AB2bc1OAOB2OA1(OC2OB)1一1一OAOBOPOMMPOQOMMQ1Oo211OA21OA2MN31MN311OA21、OA21OA31,OA61OB31OB61OC31-OC611.OA61、OA311OB31,OB61OC3

19、1-OC6(2)四面体OABC的所有棱长都等于1,各面为等边三角形，OA,OBOB,OCOC,OA一3，OB，OCOPOQ12OA181(-OA612OB181OB3111一1-"1,-OC)'(-OA-OB-OC)3366-2OC+OAOB+OAOC+OBOA+OBOC+OCOA+OCOB183636181811811111111+_+_+_+_+_181872721836183613364.（2020全国高二课时2习）如图，三棱柱ABCAB1C1中，底面边长和侧棱长都等于1,BAA1CAA160（1）设AAa,aBb，ACC，用向量a，b，c表示BC1,并求出BC的长度；

20、（2）求异面直线AB与BG所成角的余弦值.【正确答案】(1)BC1acb;、,2；(2)【详细解析】解：（1）BC1BB1BCiBBiACiABacb,abcosBAA111cos60同理可得则|BC1|(acb)2acb22ac2ab2cb(2)因为AB1ab,所以1ABi|v(ab)2;ab22ab、3,2因为ABBC1(ab)(acb)aacabbacbb1,所以cos市西巫弘一口IAB1IIBC1I，2,36则异面直线ABi与BG所成角的余弦值为叵.65 .（2020全国高二课时练习）如图，三棱柱ABCAB1G中，底面边长和侧棱长都相等BAACAA60,则异面直线AB与BG所成角的余弦值为【正确答案】【详细解析】三棱柱ABCAB6中，底面边长和侧棱长