计算机控制理论第三章

1、Chapter 3 Analysis of Discrete-time System3.1 3.1 几个稳定性概念几个稳定性概念3.2 3.2 系统稳定性分析的几个常用方法系统稳定性分析的几个常用方法3.3 3.3 能控性与能观性能控性与能观性3.1 几个稳定性概念几个稳定性概念定义定义3.1.1 3.1.1 自治系统自治系统: :零输入作用的系统零输入作用的系统 其中，其中，x x为为n n维状态向量，维状态向量，f(.,.)f(.,.)为维向量函数。为维向量函数。定义定义3.1.2 3.1.2 受扰运动受扰运动：系统状态的零输入响应：系统状态的零输入响应.定义定义3.1.3 3.1.3 平

2、衡状态平衡状态：如果对于所有的总存在着如果对于所有的总存在着(, )0ef x t 则称则称 为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。ex，且，且A A非奇异，则原点是系统唯一非奇异，则原点是系统唯一如果如果(, )ef x tAx的平衡状态的平衡状态，定义定义3.1.43.1.4 欧氏范数欧氏范数：定义定义3.1.5 3.1.5 稳定稳定0对对 , ,若若0( , )0t 使得使得00( , ) ,exxt 0tt时时 ,有有00e( ;,-x t x t）则称则称 为李雅普诺夫意义下稳定的。为李雅普诺夫意义下稳定的。ex称之为向量称之为向量x x的欧式范数。的欧式范数。 ( )S( )S0 x

3、ex( )b( )S( )S0 xex( )a图图3.1（a a）、）、(b)(b)、(c)(c)分别表示平衡状态为稳定、分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。The Model is or (1)( )( )( )C ( )x kx ku ky kx k B(q)u(k)A(q)y(k) 1Y zH zC zIU z3.2 Stability Analysis in Z DomainI、Conditions of Stabilityj0s-planes-planeIm01Rez z- -p pl la an ne e1

4、00 ( )1,2.ikiiikay ka pkzpIm01ReIm01ReII、Several Stability Approach计算方程特征值的直接数值计算方法计算方程特征值的直接数值计算方法以特征多项式的性质为基础的方法以特征多项式的性质为基础的方法根轨迹法根轨迹法奈奎斯特判据奈奎斯特判据李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法3. Jurys stability Criterion1010nnnF(z)a za zaL主要思路：主要思路：判定该式的全部零点是否都在单位圆内。判定该式的全部零点是否都在单位圆内。1010nnnF(z)a za zaL0a1a1nanana1na1a 0a0aann1

5、0na11na11nna00aann11nna12nna10na11110nnnnaaM 00awherekkkkkikkkikiaaaaa01 ,If If ，then has all roots then has all roots inside the unit disc inside the unit disc if and only if if and only if all are all are positivepositive. If no is zero, . If no is zero, then the number of negative is then the num

6、ber of negative is equal to the number of roots outside equal to the number of roots outside the unit disc.the unit disc.00aka00)(zFka0ka0稳定性检验的依据：稳定性检验的依据：Example: 0)(212azazzF1a2a2a1a2221aa221a)1 (21aa2111aa)1 (21aa221a 1 1 2221221)1 (1aaaa 120022022212202212210(1)11(1)011knaaaaaaaaaaaa 21222)1 (1

7、aaa12122111aaaaa1-121-1-2a2a14. The Nyquist CriterionH(z)yucDetermining the stability of the systems from the systems. 1clcY zH zHzUzH z,j hH eh NZ Pwhere Z and P are the number of zeros and poles, respectively, of 1+H(z) outside the unit disc Example and 0.25( ) 1(1)(0.5)KH zhzz110.250.51.5Kzzzsinc

8、osjej When , the crossing point is (-0.5,j0)5 . 1sin5 . 0cos5 . 0sincos)sin(cosK25. 0)(0jjjeHjsin5 . 05 . 1cos5 . 1sin5 . 05 . 1cos5 . 1 sin5 . 05 . 1cos5 . 1)sin(cosK25. 0jjjj)cos25. 1)(cos22()5 . 1cos2(sinsin2)cos1 (5 . 1 K25. 02j 01K H0=tf(0.25,1 -1.5 0.5,1);nyquist(H0);5. Root Locus Method )164)

9、(1() 1(2sssssK H0=tf(1 1,1 3 12 -16);rlocus(H0);6 李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法 定理定理1 1 假设系统的状态方程为假设系统的状态方程为( , )V x t如果存在一个具有连续偏导数的标量函数如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：( , )V x t1 1） 是正定的；是正定的； 2 2） 是负定的。是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。6 李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法( , )0V x t 0t定理定理2 2 如果如果并且对于任意并且对于任意( , )0V

10、x t 定理定理3 3 如果如果则原点则原点不稳定不稳定00 x 和和不恒等于零则系统在不恒等于零则系统在原点渐近稳定原点渐近稳定. . 6 李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法 6 李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法 6 李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法1 1）对于一给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。）对于一给定系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。2 2）对于非线性系统能给出在大范围内稳定性的信息。）对于非线性系统能给出在大范围内稳定性的信息。3 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳）若不能找到合适的李雅普

11、诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。定性方面的任何结论。5 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。6 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。质的李雅普诺夫函数一定是存在的。 讨论：经典控制理论中的系统稳定性与李雅普诺夫意义下的稳讨论：经典控制理论中的系统稳定性与李雅普诺夫意义下的稳定性有什么区别？定性有什么区别？（1）经典控制理论中的稳定指的是输入输出稳定性，与系统状）经典控制理论中的稳定指的是输入输出稳定性，与系

12、统状态无关；而李雅普诺夫意义下的稳定性指系统的内部稳定性，态无关；而李雅普诺夫意义下的稳定性指系统的内部稳定性，反映了系统状态在偏离平衡状态后，是否仍能保持在平衡状态反映了系统状态在偏离平衡状态后，是否仍能保持在平衡状态附近、甚至回到平衡状态的系统能力。附近、甚至回到平衡状态的系统能力。 （2） 经典控制理论中的稳定性是利用系统的传递函数定义的，经典控制理论中的稳定性是利用系统的传递函数定义的，因此要假定系统的初始条件为零。对象是线性时不变单输入单因此要假定系统的初始条件为零。对象是线性时不变单输入单输出系统，采用的方法是判断系统的极点位置等，仅适用于系输出系统，采用的方法是判断系统的极点位置

13、等，仅适用于系统稳定性分析。统稳定性分析。 （3） 李雅普诺夫意义稳定性理论适合于线性和非线性系统，时李雅普诺夫意义稳定性理论适合于线性和非线性系统，时变和时不变系统，多变量系统；通过分析系统能量的变化来判变和时不变系统，多变量系统；通过分析系统能量的变化来判断系统的稳定性；方法不仅适合于分析，而且是可用于控制系断系统的稳定性；方法不仅适合于分析，而且是可用于控制系统的设计。统的设计。3.3 系统的能观性和能控性系统的能观性和能控性(1)( )( )( )C ( )x kx ku ky kx k )()()()() 1(kCxkykBukAxkx两个概念：能控性与能观性两个概念：能控性与能观性

14、两个基本问题：两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的态的能控性能控性问题。问题。 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的，称之为状态的能观性能观性问题。问题。 桥形电路桥形电路(a)(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量两个电容相等。选各

15、自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图分量恒相等。相平面图(b)(b)中相轨迹为一条直线，因此系统中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线动，都不能使系统的状态变量离开这条直线, ,显然，它是显然，它是不不完全能控完全能控的。的。例例例例 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的

16、一个状态是。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测不能观测的。的。定常离散系统的能控性定义定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程线性定常离散系统的状态方程)()() 1(kBukAxkx(3.3.1)定义定义3.3.1 对于系统对于系统(3.3.1)，如果存在控制向量序列，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),u(N-1)，使系统从第，使系统从第k步的状态向量开始，在步的状态向量开始，在第第N步到达零状态，其中步到达零状态，其中N是大于是大于k的有限数，那么就称此系的有限数，那么就称此系统

17、在第统在第k步上是能控的。如果对每一个步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。单输入离散系统能控性的判定条件单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程单输入线性定常离散系统的状态方程(1)( )( )x kAx kbu k(3.3.2)定理定理3.3.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵分必要条件是，矩阵b, Ab, An-1b的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以U

18、Uc c表示，于是表示，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rank b , Ab,An-1b=n. (3.3.3)(101)(011220001) 1(kukxkx例例2111rankArank 0223113bAbb 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。多输入离散系统能控性的判定条件多输入离散系统能控性的判定条件多输入线性定常离散系统的状态方程多输入线性定常离散系统的状态方程(1)( )( )x kAx kBu k定理定理3.3.2 多输入线性定常离散系统完全能控的多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵充分必要

19、条件是，矩阵B,AB,An-1B的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示表示，于是，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rankB,AB,An-1B=n. 多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。同。但多输入系统有以下特点：但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个多输入系统的能控性矩阵是一个nnp矩阵。根据判矩阵。根据判据，只要求它的秩等于据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足将能控性矩

20、阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。就可以停下来，不必再计算下去。(2) 为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。方式。例如选择控制向量的范数最小。)()(100001)()()(110201121) 1() 1() 1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例例1011rankrank 011230000BAB只要计算出矩阵只要计算出矩阵 B B, ,ABAB 的秩，即可的秩，

21、即可 定理定理3.3.3 3.3.3 系统状态完全能控的充分必要条件系统状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵是能控性矩阵1CnUBABABL的秩为的秩为n n，即，即1ranknBABABn L线性定常连续系统的能控性判据线性定常连续系统的能控性判据 注注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。件，发现两者是一致的，这有其内在联系。 如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同

22、。 对于一个线性系统来说，经过线性非奇异对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。状态变换后，其状态能控性不变。 利用利用MatlabMatlab判定系统能控性判定系统能控性可以利用可以利用Matlab来进行系统能控性的判断。来进行系统能控性的判断。Matlab提供了各种矩阵运算和矩阵各种指标（如矩阵提供了各种矩阵运算和矩阵各种指标（如矩阵的秩等）的求解，而能控性的判断实际上就是一些矩的秩等）的求解，而能控性的判断实际上就是一些矩阵的运算。阵的运算。Matlab中的求矩阵的秩是通过一个函数得中的求矩阵的秩是通过一个函数得到的，这个函数是到的，这个函数是rank(M)。

23、01000001010001000502xxu&1000yx A=0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,1;0,0,5,0; B=0; 1; 0; -2; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 401000300210001002000 xxu &1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 3定常离散系统的能观性定常离散系

24、统的能观性)()()()() 1(kCxkykBukAxkx定义定义 对于上述系统，在已知输入对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，若能的情况下，若能依 据 第依 据 第 i 步 及 以 后步 及 以 后 n - 1 步 的 输 出 观 测 值步 的 输 出 观 测 值y(i),y(i+1),y(i+n-1)，唯一地确定出第，唯一地确定出第i步上的状态步上的状态x(i)，则称系统在第，则称系统在第i步是能观测的。如果系统在任何步是能观测的。如果系统在任何i步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。简称能观测。 考虑离散系统考虑离散系统 定理定理3.3.4 3.3.4 对于线性定常离散系统，状态完全对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵能观测的充分必要条件是矩阵 1nCACAC的秩为的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为。矩阵称为能观测性矩阵，记为O。O1rankranknCCAUnCA例例 判断下列系统的能观测性判断下列系统的能观测性1012(1)021( )1( )3.021010( )x kx ku kyx k 010C 2021 , 340CACA于是系统的能观测性矩阵为于是系统的能观测性矩阵为O10100213