概率论 二重积分的计算(二)PPT精选文档

1、13.23.2 二重积分的计算二重积分的计算2 二重积分的计算 )()(21d),(dxyxybayyxfx )()(21)d),(d(yxyxdcxyxfy Dyxyxfdd),(（一）在直角坐标系中（一）在直角坐标系中（累次积分累次积分）或或yx )(2yxx )(1yxx dcX-型型Y-型型复习yxab )(2xyy )(1xyy 3),(yxfy 例 计算其中,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD xyo dxxex2因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数的特点,选择不同的坐标系来计算二重积分是一个重要的问题. dyyey2或或3.23.2 二重积分的计算二重积分的计算解

2、解 Dyxyxedd)(22 aaxxayxe a )(222222dydx Dyxyxedd)(22 aayyayxe a )(222222dxdy4二、二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标下的计算5极轴极轴X极点极点O r),( r极极坐坐标标xy 变变换换公公式式与与直直角角坐坐标标极极坐坐标标),(),(yxr 如果选取以直角坐标系的原点如果选取以直角坐标系的原点O为极点，为极点， 以以x轴为极轴，轴为极轴，之之间间与与直直角角坐坐标标坐坐标标则则平平面面上上任任意意一一点点的的极极),(),(yxr 的的变变换换公公式式为为原点原点Ox轴轴 cosrxrysin 二重积分在极

3、坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算6用以极点用以极点O为中心的为中心的一族同心圆一族同心圆,1.利用极坐标系计算二重积分AoD 设过极点设过极点O的射线与积分区域的射线与积分区域D的边界曲线的交点的边界曲线的交点不多于两点，不多于两点，.),(上上连连续续在在函函数数Dyxf把区域把区域D分成分成n个小区域，个小区域，在极坐标系下，在极坐标系下，以及从极点以及从极点出发的出发的一族射线一族射线,在直角坐标系下在直角坐标系下 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(在极坐标系下在极坐标系下 Ddyxf ),(极坐标系下的面积微元极坐标系下的面积微元?如如何何表表示示d Drrf)sin,co

4、s(d7AoD rr rrr 2221)(21rrr 2)(21rrr域域为其中一个典型小闭区为其中一个典型小闭区设设 同同时时也也表表示示该该 (),小小闭闭区区域域的的面面积积的的同同心心圆圆和和它它由由半半径径分分别别为为rrr 的的射射线线所所确确定定，和和和和极极角角分分别别为为 则则,充充分分小小时时当当 r ,)(212 r略略去去高高阶阶无无穷穷小小量量, rr得得故故面积微元为面积微元为, rdrdd Ddyxf),( Drrf)sin,cos( rdrd这样二重积分在极坐标系下的表达式为二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算8 Ddyxf),( 直角坐标系下与极坐

5、标系下二重积分的转换公式 如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算 Drrf)sin,cos( rdrd Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD 二重积分在极坐标系下的表达式为二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算9 在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分， 同样要解决下面两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算10 2.极坐标系下化二重积分为二次积分(1)(1)若极点若极点O在区域在区域 D 之外之外 ),()(,:21rrrD 则有则有 Drrrrfd

6、d)sin,cos( (2) (2) 极点极点O在区域在区域D的边界线上的边界线上),(0 rr ，则有则有 Drrrrfdd)sin,cos(xo)(2r)(1rxo)(rr .d)sin,cos(d)()(21 rrrrrrf.d)sin,cos(d)(0 rrrrrfDD（只研究只研究先对先对r r后对后对的积分次序）的积分次序）下面根据极点下面根据极点O与区域与区域D的位置分三种情况讨论的位置分三种情况讨论 型区域型区域11(3) 若极点O在区域D的内部 Drrrrfdd)sin,cos(则有则有).(0 ,20rr )( rr xo.d)sin,cos(d)(020 rrrrrfDo

7、)(1 r)(2 r且且,),(r)(:D2 20 02 21 1 rr特殊地特殊地D. rdr )sinr ,cosr ( fd)(r)(r 2 21 12 20 0 Drrrrfdd)sin,cos(D:二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算x12或被积函数为或被积函数为f (x2+y2)、利用极坐标计算二重积分积分特征利用极坐标计算二重积分积分特征利用极坐标常能简化计算利用极坐标常能简化计算. .如果积分区域如果积分区域 D D为为圆圆、半圆半圆、圆环圆环、扇形域扇形域等等，等形式，等形式，),(xyf)(yxf要点与步骤要点与步骤: : 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用

8、用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算极坐标计算; ;(2) 画区域图画区域图, , 列出列出 型区域型区域, , 写成极坐标下的写成极坐标下的二次积分二次积分. .二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算133.极坐标下二重积分计算的基本步骤 (1)(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分二重积分. . 将将 代入被积函数代入被积函数, ,sin,cosryrx 将区域将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的式，确定相应的积分限积分限. . 将面积元素将面积元素 dxdy

9、换为换为 .,dd rr(2)(2)将极坐标系下的将极坐标系下的二重积分二重积分转化为转化为二次积分二次积分. . Dyxyxfdd),(.dd)sin,cos( Drrrrf(3)(3)计算计算二次积分二次积分. .则则14例例1 1 计算计算其中其中解解,200: arD故故,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD Drrredd2 D)yx(ydxde2 22 2).1(2ae 注注：由于：由于 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题故本题无法用直角坐标计算无法用直角坐标计算. .2xe xyo 2 0 0 dd2arrred210202are 在极坐标系下在极坐标

10、系下二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算15. 1:,12222 yxDyxdxdyID计计算算 20 , 10| ),( rrD1 r DrrdrdI21 .2110220 rrdrd 21212121)()()()(,rrrrrdrrrgdxfrdrdrgf 一一般般地地xy例例2 2二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算解解16例例3 3 计算积分计算积分.ddsin2222422 yxyxyx积分域是圆环，积分域是圆环，.2,20 r 2222422ddsinyxyxyxdcoscos222 rrrrxyo 220dsindrrr解解D：.62 22224drds

11、inyxrr二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算(例例3.14) r2 2 r17 Ddxdyyxyx2222)sin( 2120sin rdrd . 4 20 , 21| ),( rrD Drdrdrr )sin(1 r2 r例例4 4二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算解解18 例例5 5 计算二重积分计算二重积分 其中区域其中区域D为由为由x=0及及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域围成的第一象限内的区域. .， Dyxyxdd22解解D的边界曲线为的边界曲线为x2+y2=2y，此时此时D可以表示为可以表示为,sin2 r，sin20 ,20 r Dyxy

12、xdd22 20sin203d31r 203dsin38 202cosd)cos1 (38203coscos3138 xyo其极坐标表达式其极坐标表达式 rrsin20220dd.916 D rdrdr Dyxyxdd22 2020222yydxyxdy二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算19解解32 61 sin4 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 03 yx03 xyrsin2 yyx222 故故, yyxDydx)dy(xD222 22 22 2 由由圆圆，其其中中计计算算.xy,yx, yyx所所围围成成的的平平面面区区

13、域域0 03 30 03 34 42 22 2 例例6 6二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算20解解因为被积函数为偶函数因为被积函数为偶函数,例例7 7 求广义积分求广义积分所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。( (泊松积分泊松积分, ,例例3.193.19）.202dxeIx 所所以以又因为被积函数又因为被积函数 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,2xe .2dxeIx 二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算D22xyDHedxdy 令令( , )|0,0Dx yxy 其其中中dxex 02dyey 0220)(2d

14、xex 42I 利用极坐标计算利用极坐标计算H，( , )|0,02Drr 2122xyDHedxdy 令令2xIedx 2200rderdr 22xyDHedxdy 220012red 20124d 利用极坐标计算利用极坐标计算H，( , )|0,02Drr 所以所以D正态分布正态分布 222 dxexdxex 02242I 42I dxeIx 2. 22 当积分区域由当积分区域由直线直线和和除圆以外的其它曲线除圆以外的其它曲线围成时，围成时， 一般说来，当积分区域为一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，圆形、扇形、环形区域， 选取选取适当的坐标系适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关

15、重要的对计算二重积分的计算是至关重要的. . 而被积函数中含有而被积函数中含有 项时项时,yxxyyx,22 选择坐标系选择积分次序二重积分计算过程二重积分计算过程通常选择在通常选择在直角坐标系直角坐标系下计算下计算. 下的计算方法往往比较简便下的计算方法往往比较简便.二重积分计算方法总结：二重积分计算方法总结：化为累次积分计算累次积分 二重积分可在两种坐标系下计算二重积分可在两种坐标系下计算 . .采用采用极坐标系极坐标系23 .分分数数的的奇奇偶偶性性计计算算二二重重积积利利用用区区域域的的对对称称性性和和函函二二则则轴轴对对称称关关于于若若,)1(yD则则轴对称轴对称关于关于若若,)2(

16、xD二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算 ),(),( ),(yxfyxfdxdyyxfD ),(),( ),(yxfyxfdxdyyxfD,),(2dxdyyxfD 右右),(),(yxfyxf ,0 0,),(2dxdyyxfD 上上),(),(yxfyxf ,0 024.1 yxdxdyxy计计算算由区域的对称性和由区域的对称性和函数的奇偶性可得函数的奇偶性可得oxyDdxdyxyD 4原原式式 xxydydx10104二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算解解例例7 725.10112 yxdxdyxy计计算算oxy11 1DdxdyxyD 22原式原式1D2Dd

17、xdyxydxdyxyDD 212222 12102)(2xdyxydx.)(220210 xdyyxdxdxdyyxdxdyxyDD 21)(2)(222解解二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标下的计算例例3.173.18不作要求不作要求例例8 826二、二重积分在极坐标系中的计算一、二重积分在直角坐标系中计算小结 Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD Ddxdyyxf),( )()(21d),(dxyxybayyxfx选择积分次序选择积分限化为累次积分. )d),(d()()(21 yxyxdcxyxfy27作业：作业：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3)下次课内容下次课内容3.3 3.3 二重积分的应用二重积分的应用28二、二重积分在极坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算复习 Ddxdyyxf),( )()(21d),(dxyxybayyxfx. )d),(d()()(21 yxy