第2章-电磁场基本规律

1、 本章主要讨论电动力学的实验和理论基础本章主要讨论电动力学的实验和理论基础 确立静止和稳定情况的分布电荷与分布电流的概念；在确立静止和稳定情况的分布电荷与分布电流的概念；在电荷守恒的前提下，确立电流连续性方程。电荷守恒的前提下，确立电流连续性方程。 在在库仑实验定律库仑实验定律和和安培力实验定律安培力实验定律的基础上建立的基础上建立电场强电场强度度和和磁感应强度磁感应强度的概念。的概念。 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式磁场的矢量积分公式。 在在电磁感应定理电磁感应定理的基础上引入的基础上引入位移电流位移电流的概

2、念的概念。引言2.1 2.1 电磁场的源变量电磁场的源变量1. 1. 电荷及电荷密度电荷及电荷密度q 体电荷密度体电荷密度 (Volume Charge Density)(Volume Charge Density)体电荷：体电荷：电荷分布于三唯空间。本教程约定：本教程约定：场源场源( (源点源点) )的分布空间一律用带撇的坐标的分布空间一律用带撇的坐标表示；场表示；场( (场点场点) )的分布空间用不带撇的坐标表示。的分布空间用不带撇的坐标表示。 VdVdqVqrlim0体电荷密度：体电荷密度：（3维）维）q 面电荷密度面电荷密度(Surface Charge Density)(Surfac

3、e Charge Density)面电荷：面电荷：电荷分布在某一薄层(曲面)上。 SsdSdqSqrlim0面电荷密度：面电荷密度：q 线电荷密度线电荷密度(Line Charge Density)(Line Charge Density)线电荷：线电荷：电荷分布在某一 曲线上。 lldldqlqrlim0线电荷密度：线电荷密度：（2维）维）（1维）维）q 点电荷点电荷 (Point Charge)(Point Charge) rqxy 位于空间位于空间 处带电量为处带电量为q的点电的点电荷，其电荷密度可以用数学上的荷，其电荷密度可以用数学上的 函函数描述：数描述： r rq r - r r是

4、场点的位置矢量。是场点的位置矢量。的点包含的点不包含 rr V rr VdV r - rV 1 0且且 rr rr r - r 0而而（0维）维）2. 2. 电流及电流密度电流及电流密度q 体电流密度体电流密度(Volume Current Density)(Volume Current Density)体电流：体电流： 电流分布于三维空间体电流密度：体电流密度：描述空间各点电流的大小和方向的差异定义定义 体电流密度矢量体电流密度矢量J: 空间任一点空间任一点J 的方向是该点上电流的方向，其大小的方向是该点上电流的方向，其大小等于在该点与等于在该点与J 垂直垂直的单位面积上的电流，即的单位面积

5、上的电流，即dSdieSieJnSnlim0J Sne 为电流密度的方向，也是为电流密度的方向，也是面元面元 S的法向单位矢量。的法向单位矢量。ne 通过任意曲面S的电流： SSdSJSdJicos即为电流密度矢量场J 的通量。体电流密度和体电荷密度的关系：体电流密度和体电荷密度的关系： v r rJv 是电荷定向运动的速度q 面电流密度面电流密度(Surface Current Density)(Surface Current Density)面电流：面电流： 电流分布在某一薄层(曲面)上面电流密度矢量面电流密度矢量JS ：其方向规定为电流的流向，其大小定义为在垂直于电流方向上单位长度的电流

6、垂直于电流方向上单位长度的电流，即dldielieJnlnSlim0lSSJ 是面电流方向的单位矢量。ne 通过薄层上任意有向曲线有向曲线l 的电流lSl dnJi1lSSJ1 n1 n 为薄层(即曲面S)的法向单位矢量l d为有向曲线l 的线元矢量 1 nSJl ddl 证明：证明：在有向曲线上任取一线元矢量 ，如图。流过线元 的电流l dl dsindlJdlJdiss是 与 的夹角。l dSJ令令 位矢量电流分布表面的法向单的单位矢量的单位矢量 1 nJel deSnl1 nSJl ddl且 、 和 构成右手螺旋关系。l d1 nSJ利用nleennnsinsin111sindlJdis

7、代入上式nlseendlJ 1 nsleJedln1S1Jldndi则通过有向曲线l 的电流lSlSldnJJldni11得证。面电流密度和面电荷密度的关系：面电流密度和面电荷密度的关系： v r rJSSv 是电荷定向运动的速度q 线电流线电流(Line Current )(Line Current )线电流：线电流： 电流沿某一细线(导线)流动电流元矢量电流元矢量 ：其方向规定为电流的方向， 是导线上的任意线元矢量。lIdl dIIlId2.2 2.2 电流连续性方程电流连续性方程S 考虑任意闭合曲面S，由于电荷守恒，单位时间内从S内流出的电荷量(i.e. 流过S的电流)应该等于闭曲面S所

8、包围的体积V内的电荷减少量，即qVSdVdtddtdqSdJ- 电流连续性方程之积分形式电流连续性方程之积分形式VSdVtSdJ改写成应用散度定理VSdVJSdJ0tVdVJ则有由于S任意，故体积V也任意，则0tJ- 电流连续性方程之微分形式电流连续性方程之微分形式讨论：讨论：对于恒定电流，有00ttJ及故恒定电流的电流连续性方程为0SSdJ或0 J说明恒定电流场说明恒定电流场J 是无散场，无散度源是无散场，无散度源(通量源通量源)。 由于 ，故令 ，A是某个矢量场，则流过任意曲面S的电流0 JAJlSSl dASdASdJi最后一步使用了Stockes定理。对比恒定磁场B的环路定理il dB

9、l0不难发现HBA0HJ所以有ll dAi 即可见，恒定磁场可见，恒定磁场H的旋度等于磁场的漩涡源密度，即电流密度。的旋度等于磁场的漩涡源密度，即电流密度。2.3 2.3 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律 静电场的基本静电场的基本实验定律实验定律是是库仑定律库仑定律，由库仑定律可以导出，由库仑定律可以导出电场强度的表达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导电场强度的表达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导出静电场其他的基本规律出静电场其他的基本规律-Gauss定理定理和和环路定理环路定理。库仑定律库仑定律电场强度电场强度矢量分析矢量分析电场散度电场散度 (Gauss定理定理)电场

10、旋度电场旋度 (环路环路定理定理)定义定义（本节知识结构框图）1. 1. 库仑定律库仑定律 ( (Koulombs Law)真空中两个点电荷q1、q2之间的静电力RRqqF302112412F表示q1对q2的作用力1221FF表示q2对q1的作用力迭加原理：迭加原理：NiiiiRRqqF1304(N个点电荷系统)12rrReRRq1q21r2rR12F21F2. 2. 电场强度电场强度 ( (Electric Field)定义式定义式000limqFEq(q0是检验电荷)根据定义式导出不同电荷分布激发的电场强度：q 点电荷的电场点电荷的电场RRqE304rrReRRqP rrR场点场点源点源点

11、oEq 点电荷系统的电场点电荷系统的电场31014NiiiqERR（迭加原理）（迭加原理）q 电荷连续分布的带电体的电场电荷连续分布的带电体的电场 体电荷的场体电荷的场 dV r rr rrEV3041 面电荷的场面电荷的场 dS r rr rrESS3041 线电荷的场线电荷的场 dl r rr rrEll3041+_doPr2r1rz例例1： 计算电偶极子的电场强度。电偶极子电偶极子 - 相距很小距离小距离d的两个等量异号的点电荷(+q和-q)组成的系统。EE解：解：以两点电荷连线为z轴，连线的中点为原点建立坐标系，如图。 由迭加原理，偶极子在任意场点P的场强EEEEE和分别是+q和-q在

12、场点P的电场强度。3220311044rr-qrrqE22derrz21derrz而 以及 33022224derderderderqEzzzz在电磁理论中，通常讨论的是远离偶极子的区域内的场，即有 ，此时dr 233222derderderzzz+_doPr2r1rzEE2323232214rderrdderrz-z利用级数展开22322311rderrderzz代入上式有2332312rderrderzz2332312rderrderzz类似地33022224derderderderqEzzzz因此，场点P的电场强度近似为derrderrqEzz34230引入电偶极矩矢量 则qdePePz

13、zPrrPrrE230341球坐标中，偶极矩矢量eePPePrzsincos则 rPeePrePrrrcossincoseerPErsincos2430故+_doPr2r1rzEE2. 2. 静电场的散度和旋度静电场的散度和旋度 亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和 边界条件唯一确定，因此要确定静电场，就需要先讨论边界条件唯一确定，因此要确定静电场，就需要先讨论它的散度和旋度。它的散度和旋度。q 静电场的散度和静电场的散度和GaussGauss定理定理 dV rRREV3041由电场强度的表达式取其散度，并利用函数的性质，可得结果(附录)

14、：0E （1）两边作体积分00qdVdVEencVVqenc代表V内的电荷总量。左边利用散度定理之后，有 (1)式表明静电场是式表明静电场是有散场有散场，任意点的散度和该点的电荷，任意点的散度和该点的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称密度有关，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称发散源发散源；为负则称；为负则称汇聚源汇聚源。0qSdEencS（2）(2)式即为式即为Gauss定理得积分形式，定理得积分形式，(1)式为其微分形式。式为其微分形式。Gauss定理是库仑定律的必然结果。定理是库仑定律的必然结果。高斯定理高斯定理0E 0qSdEencS微分形式微分形式积分形式积

15、分形式附录附录： (1)式证明式证明 33001144VVRRE r dV r dVRR利用利用34RrrR 0001441 VVErr r dVrr r dV r则有则有(此处利用率此处利用率 函数的积分性质函数的积分性质)也可以不使用也可以不使用 函数的性质作出证明：函数的性质作出证明：3334333113131 ; RRRR RRRRRRRRRRRRR =Rrr3 30RrrRrR 当时，则此时，上面的积分结果为此时，上面的积分结果为0；因此只有当；因此只有当 时，积分才时，积分才为不为不0，此时，此时 可提出积分号外：可提出积分号外： = r r =rr 330000=444VS r

16、rRR dSdVRR r rd 0E 故有故有q 静电场的旋度和环路定理静电场的旋度和环路定理 rrRdV rRREV ;4130由电场强度的表达式取其旋度： VdVR rE041利用 ，将E 改写 31RRR dVR rdVR rEVV0041141这里最后一步是由于算符只对场点坐标(不带撇)作用。表明静电场是表明静电场是无旋无旋的，电场线不构成闭合曲线的，电场线不构成闭合曲线(非涡漩结构非涡漩结构)结果：结果：0E(3)意义：意义：单位正点电荷沿闭合路径l运动一周，电场做功为0- 静电场是保守场。静电场是保守场。取其面积分，并利用Stockes定理lSl dESdElldE0(4)-环路定

17、理环路定理环路定理也是库仑定律的必然结果。环路定理也是库仑定律的必然结果。q 真空中真空中静电场的基本方程静电场的基本方程微分形式微分形式0E 0E0qSdEencSlldE0积分形式积分形式这组方程揭示静电场的基本性质：这组方程揭示静电场的基本性质：有散有散、无旋无旋、保守性保守性或或回顾本节知识结构回顾本节知识结构2.4 2.4 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律 恒定磁场的基本实验定律是安培定律，由安培定律可以导出磁场强度的表达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导出恒定磁场其他的基本规律磁通连续性原理和环路定理。安培定律磁场强度(毕-萨定理)矢量分析磁场散度 (连续性原理

18、)磁场旋度 (环路定理)定义定义（本节知识结构框图）1. 1. 安培力定律安培力定律 (Ampres Law) O1r2rR11l dI22l dI1I2I1C2C 安培力定律描述了真空中两个电流回路间作用力(安培力)的规律。定律内容：定律内容： 真空中两电流回路C1、C2，载流分别为I1、I2，则C1上电流元 对C2上电流元 的作用力为 11l dI22l dI02211123()4I dlI dlRdFR70410 H/m21RRRrr 其中真空中磁导率则回路C1对C2的作用力为 21311220214C CRRl dIl dIF回路C2对C1的作用力为2112FF2. 2. 磁感应强度矢

19、量磁感应强度矢量B磁场：磁场：电流在其周围形成的一种物质。磁场的重要特性：磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷(电流电流)产生力的作用，称为磁场力，从而表现为电流与电流之间的作用力。磁感应强度磁感应强度B: 描述磁场分布，可由安培力定律得到其表达式 从场的观点，从场的观点，C1和和C2间的作用是经由某种间的作用是经由某种特殊媒介特殊媒介场场(磁场磁场)完完成的成的.21311022214CCRRl dIl dIF因 是I1的磁场对I2的作用，改写 的表达式为21F21F21311220214C CRRl dIl dIF13110214CRRl dIB中的项只和电流I1有关，可视为电流I1在电

20、流元 处的磁场，称为磁感应强度磁感应强度，表示为22l dI去掉所有的脚标，得到电流I的磁场CRRlIdB304-定义式定义式 O rrRICP rrRRRlIdBC ;430表示任意的电流回路C在空间任意点P的磁感应强度。 lId根据矢量迭加原理，回路C上的电流元 产生的磁场 lIdBd 304RRlIdBd-毕奥毕奥-萨伐尔定理萨伐尔定理体分布电流的磁场：体分布电流的磁场： 430dV RR rJBV体电流元体电流元 dV rJ面分布电流的磁场：面分布电流的磁场： dS RR rJBSS304面电流元面电流元 dS rJS线分布电流的磁场：线分布电流的磁场： 430 RR lIdBC线电流

21、元线电流元 lId矢性点源矢性点源xyzI lId rP(0,0,z)rR例：例： 计算半径为a的电流圆环轴线上任意点的磁感应强度。解：解：由毕奥-沙伐尔定理CRRlIdB3041 222Rzaaeze rrRz dIaeIazdeaezeadeIR lIdzz220232204 dazaezeIaBz由于0sincos2020deedeyx故2322202 azIaeBz3. 3. 恒定磁场的散度和旋度恒定磁场的散度和旋度q 恒定磁场的散度和磁通连续性原理恒定磁场的散度和磁通连续性原理利用 ，将B 改写为 31RRR 430dV RR rJBV由毕-萨定理，磁感应强度 140dV R rJB

22、V再利用矢量恒等式(见本教程附录)AuAuAu 140dV rJRR rJBV进一步将B 改写为由于算符只对场点坐标(不带撇)微分，故上式第二项为0，则 4400 dVR rJdVR rJBVV取其散度 40 dVR rJBV 0 B 0SdBS散度散度定理定理磁通连续性原理磁通连续性原理 0 B 0SdBS(微分形式微分形式)(积分形式）积分形式）无散场无散场磁力线是无磁力线是无头无尾的闭头无尾的闭合线合线q 恒定磁场的旋度和安培环路定理恒定磁场的旋度和安培环路定理 430dV RR rJBV对磁感应强度取旋度，可得JB0Stockes定理定理Il dBC0(环路定理环路定理)恒定磁场是有旋

23、场，电流恒定磁场是有旋场，电流J就是恒定磁场的漩涡源就是恒定磁场的漩涡源q 真空中真空中恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 0 B微分形式微分形式JB0 0SdBSIl dBC0积分形式积分形式场的基本性质：场的基本性质：有旋、无散、磁感应线是闭合线、电流是磁场的漩涡源有旋、无散、磁感应线是闭合线、电流是磁场的漩涡源或或回顾本节知识结构回顾本节知识结构2.5 2.5 媒质的电磁特性媒质的电磁特性介质的电磁特性介质的电磁特性介质的极化性质介质的极化性质介质的磁化性质介质的磁化性质介质的导电特性介质的导电特性特征参量特征参量介电常数介电常数 磁导率磁导率 电导率电导率 -+-+-+-+-+-+-

24、+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(a) 加电场前加电场前(b) 加电场时加电场时0E1. 1. 电介质的极化电介质的极化-+FFp-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(c) 极化后极化后0EE EEE0极化后介质内部的场被“削弱”了：介质被极化程度越高，其内部场削弱的也越多。介质中的体元 V介质分子的等效偶极矩 ip分子（偶极子）数密度 N介质分子的平均偶极矩 avpq 极化强度极化强度极化强度矢量极化强度矢量P： 描述介质极化程度的物理量。定义式：

25、定义式：0limiiavVpPNpV 求和偶极子内所有分子对)( Viq 极化电荷密度极化电荷密度 极化电荷体密度极化电荷体密度 在介质内任取一闭合面S，在S上取一面元dS,以dS为底，偶极子之正负电荷间距l为斜高构成如图所示的体积元V。dS-+-+-+-+l 显然只有中心在V内的偶极子才有正电荷穿出面元dS，则从面元dS穿出去的正电荷量： avqNP dl dSNpSdS 故从闭合面S穿出的正电荷量：SSdP而留在S内的极化电荷量为VPVdVdVPSdPS极化电荷体密度。P由于S及V任意，所以有PP若介质被均匀极化，则若介质被均匀极化，则P与位置无关，有与位置无关，有 ，因此均，因此均匀极化

26、时介质内部无体极化电荷。匀极化时介质内部无体极化电荷。 0P 第一个等号的理由？ 介质分界面上的极化电荷面密度介质分界面上的极化电荷面密度介质1介质2Sdne ne 分界面上由介质介质1指向指向介质介质2的法向单位矢-+-+Sd包含dS的薄层12从薄层右侧面穿出的正电荷量SdP2P2右侧面上(介质2)的极化强度从薄层左侧面穿入的正电荷量SdP1P1左侧面上(介质1)的极化强度而薄层内的净剩极化电荷量为dSSdPPP12极化电荷面密度，PnPePP21若介质2是真空，则02PnPePP是介质的极化强度 ： 介质1介质2ne q 介质中的介质中的GaussGauss定理定理真空中的Gauss定理：

27、0E 是静电场的通量源。存在电介质时，极化产生的极化电荷P也是产生电场的通量源，故0PE代入关系式 有PPPE0定义电位移矢量DPED0介质中的介质中的Gauss定理定理D qSdDS或对于线性、各向同性介质，一般有EPe0则电位移矢量DEEEDre001-电介质的电介质的本构关系本构关系 是自由电荷密度例：例：半径为a、介电常数为的球形电介质内的极化强度 式中k为常数。 （1）计算极化电荷体密度和面密度； （2）计算介质球内的自由电荷体密度。rkePr解解: (1) 极化电荷体密度22222P11rkrkrdrdrPrdrdrPr球面上极化电荷面密度(介质球中心为球坐标原点)akerkeeP

28、arrrn(2) 由介质中的Gauss定理，介质球内的自由电荷密度DPDPED00而P01PD即20P0rk所以2. 2. 磁介质的磁化磁介质的磁化q 分子电流模型分子电流模型iSne 由于电子绕核运动，每个磁介质分子等效于一个环形电流，称分子电流，分子电流，其磁特性可由磁偶极矩表示：nmeSipne 和分子电流i的方向构成右手螺旋S为分子电流所围面元q 介质的磁化机理介质的磁化机理(a)磁化前(b)磁化时0B宏观上出现宏观上出现了磁化电流了磁化电流磁化后介质内部的磁感应强度:BBB0(c)磁化后0B磁化电流的场B0 BB若介质为顺磁体顺磁体 0 BB若介质为抗磁体抗磁体 q 磁化强度磁化强度

29、磁化强度矢量磁化强度矢量M ： 描述介质磁化程度(i.e.分子磁矩取向程度)的物理量。定义式定义式VpMimiV0lim对介质中体积V内的所有分子求和。q 磁化电流磁化电流 介质内部的磁化电流体密度介质内部的磁化电流体密度MJM 介质表面的磁化电流面密度介质表面的磁化电流面密度由Stockes定理，流过介质中任意曲面S的磁化电流CSSMMl dMSdMSdJIneMJSMne 介质表面的法向单位矢量q 磁介质中的安培环路定理磁介质中的安培环路定理真空中的环路定理：JB0J是磁场的漩涡源。存在磁介质时，磁化产生的磁化电流JM也是产生磁场的漩涡源，故MJJB0代入关系式MJMJMB0有引入包含磁化

30、效应的物理量引入包含磁化效应的物理量-磁场强度矢量磁场强度矢量H：对于线性、各向同性磁介质HMm磁化率 是无量纲常数。对于顺磁性物质10-3的正数；抗磁性物质10-6 - 10-5的负数。mMBH0(磁场强度磁场强度)则有HHHBrm001-磁介质的本构关系磁介质的本构关系对非铁磁性材料非铁磁性材料0引入磁场强度矢量之后，介质中的环路定理介质中的环路定理写为：JHIl dHC或或等式的右边仅为传导电流，磁化电流的影响则包含在磁场强度H中。例题：例题：无限长线电流位于z轴，介质分界面为平面，求磁化电流分布。解：解：由磁场强度的定义知HHBM100由于磁场呈轴对称分布，可用安培环路定律求解磁场强度

31、，其方向沿 方向。e IeH2是离导线的距离xz10Io0 20 0001zIezM介质中的磁化强度介质内的磁化电流0 :0MJzM介质分界面(z=0)的磁化面电流eIeeMeMeMJznM2001zSxz10Io0020z1001zIeeerIeMJzM2 :00013. 3. 介质的导电特性介质的导电特性 对于线性、各向同性的导电介质，介质内任意点的电流密度和电场强度成正比关系：EJ(欧姆定律之微分形式、本构关系欧姆定律之微分形式、本构关系) 称为介质的电导率，SI单位S/m 。q 导电介质的本构关系导电介质的本构关系 EJl dSddSdll dESdJRUI lnlneeeEeJ理想导

32、体理想导体: 强导电介质强导电介质(良导体良导体)： 107 S/m理想介质理想介质: 0导电介质分类导电介质分类链接：链接：常见材料的电导率和相对介电常数说明：说明：JEEJ1) 只有理想导体理想导体内的恒定电场为0；2) 在均匀导电媒质(是常量)内，电场E和J的方向相同；材料电导率材料电导率相对介电常数银6.17107海水581.0铜5.80107蒸馏水210-480.0金4.10107干土110-52.8铝3.82107清水110-380.0黄铜1.57107石灰石110-2青铜1.00107蜡110-114.0铁1.00107聚乙烯110-132.2钨1.82107石英110-175.

33、0镍1.45107橡胶110-153.0常见材料的电导率和相对介电常数常见材料的电导率和相对介电常数有漏电的介质有漏电的介质 由于介质的电导率有限，外电场迫使电荷在介质中定向运动时要消耗电场能量，表现为发热损耗发热损耗(或焦耳热焦耳热)。q 导电媒质中的能量损耗关系导电媒质中的能量损耗关系小体积元内，产生的焦耳热功率为2222UE dldPEdS dldlRdS所以，单位体积的功率损耗(i.e.热功率密度热功率密度)为：2EdVdPp EJl dSdEJp(焦耳定律之微分形式焦耳定律之微分形式)则体积V中的导电介质消耗的功率(i.e.热功率热功率)：VVdVEJpdVP(焦耳定律之积分形式焦耳

34、定律之积分形式) 例题：例题： 一同心球形电容器的内、外半径a和b，其间媒质的电导率为，求电容器的漏电电导。 rJ解：解： 由于媒质的电导率不为0，故存在漏电电流，其方向沿径向从内导体流向外导体。 设流过半径为r的同心球面的漏电电流I，则媒质内的电流密度和电场为：rerIJ42rerIJE42（电流球对称分布）（电流球对称分布）媒质内的损耗功率为：drrrIdVEJPbaV222244baI1142媒质的漏电电阻：baIPR11412媒质的漏电电导：ababRG41介质的电磁特性介质的电磁特性介质的极化性质介质的极化性质介质的磁化性质介质的磁化性质介质的导电特性介质的导电特性特征参量特征参量介

35、电常数介电常数 磁导率磁导率 电导率电导率 小小结结pP MJM 静电场的基本规律：静电场的基本规律：静磁场的基本规律：静磁场的基本规律：(介质介质)E 0E 0 B BJ 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组的静态场情形的静态场情形0E 0E 0 B 0BJ 库仑定律库仑定律安倍力定律安倍力定律(真空真空)2.6 2.6 电磁感应和位移电流电磁感应和位移电流“电和磁之间相互关联电和磁之间相互关联” 1831年法拉第发现电磁感应定律年法拉第发现电磁感应定律 变化的磁场产生电变化的磁场产生电场场 1862年麦克斯韦提出位移电流假说年麦克斯韦提出位移电流假说 变化的电场产生磁变化的电场产生磁场场 1864

36、年麦克斯韦方程组，预言电磁波的存在年麦克斯韦方程组，预言电磁波的存在 宏观电磁宏观电磁现象的基本理论现象的基本理论 1888年赫兹实验证实了电磁波的存在年赫兹实验证实了电磁波的存在 1901年马可尼利用电波实现越洋通话年马可尼利用电波实现越洋通话1. 1. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律SBindSBdtddtd另一方面，根据电动势定义有Cininl dE 代表感应电场，S是回路C所张的曲面。inE感应电场是有旋场感应电场是有旋场(旋涡状旋涡状)、非保守场。、非保守场。0or 0inCinEl dE空间的总电场:SEEEinSE代表静电场CCinCl dEl dEl dESCinCCl

37、dEl dEl dE0SSinCSdBdtdl dE时变场时变场(随时间变化，非静态场)情况下，电场的环流环流：讨讨论论1) 若回路C静止，磁场B随时间变化SCSdtBl dEinStockes定理tBE表明表明: (a) 随时间变化的磁场（漩涡源）将产生电场,若B是时间的非线性函数，则感应电场也是时间的函数。(b) 若B不随时间变化，即恒定磁场，则上式过渡到：0E(静电场的旋度方程静电场的旋度方程)(c) 时变场情况下，电场E是有旋场，变化磁场是其漩涡源；在静态场情况下，电场E是无旋场。讨讨论论2) 若回路C运动，磁场B恒定BvqFBvqFEin则回路运动引起的感应电动势：CCinl dEl

38、 dEinCCl dBvl dEinBvE+ BvCFinE讨讨论论3) 若回路C运动，且磁场B随时间变化CSCl dBvSdtBl dEinBvtBE感生电动感生电动势势动生电动动生电动势势SinSSSdDSdDSdDS电场的通量电场的通量由于感应电场Ein是有旋的，其电场线是无头无尾的闭合线，则0SinSdDSSSdDSdDS时变场时变场的情况下，电位移的通量：qSdDS D2. 2. 位移电流位移电流时变磁场的旋度JH？0 0tJ H而(电荷守恒定律电荷守恒定律)因恒定磁场的旋度(安培定理)JH0JH(J 恒定恒定)JH故?H(时变场时变场)将 代入电荷守恒定律:DtDDttJ即0tDJ

39、显然，项 和电流密度J 有相同的量纲，且与电位移D有关，故称之为位移电流密度位移电流密度，记为tDtDJd(位移电流密度位移电流密度)则有0dJJ另一方面0HtDJH( 广义的广义的安培环路安培环路定理定理 ) 位移电流的几点说明：位移电流的几点说明： 位移电流代表位移电流代表电场随时间的变化率电场随时间的变化率，当电场发生变化时，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源会形成磁场的旋涡源(位移电流位移电流)，从而激起磁场。，从而激起磁场。 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流外，还有流外，还有位移电流。位移电流。 位移电流是一种位移电流是

40、一种假想电流假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，但在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。2.7 2.7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由麦克斯韦于麦克斯韦方程组由麦克斯韦于1864年总结出来的，年总结出来的，是揭示时变电磁场基本性质的基本方程组；在时变电磁场是揭示时变电磁场基本性质的基本方程组；在时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。 麦克斯韦方程组由四个方程构成，有微分和积分两种麦克斯韦方程组由四个方程构成，有微分和积分两种表达方式。

41、表达方式。1. 1. 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式SSCSdtDSdJl dHSCSdtBl dE0SSdBVSdVSdD(广义的安培环路定理广义的安培环路定理)(法拉第电磁感应定理法拉第电磁感应定理)(磁通连续性原理磁通连续性原理)(高斯定理高斯定理)2. 2. 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式tDJHtBE0 BD 变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场磁通永远连续，磁场是无散场磁通永远连续，磁场是无散场存在正电荷的点发出电位移线；存在正电荷的点发出电位移线；存在负电荷的点汇聚电位移线存在负电荷的点汇聚电位移线电磁波电磁

42、波3. 3. 关于麦氏方程的几点说明关于麦氏方程的几点说明 因时变的电场和磁场可以相互激发，故它们能脱离场源（和）而存在；在离开场源的区域内，电场和磁场都是无散有旋的，电力线和磁力线形成无头无尾的闭合环，且相互交链，在空间形成电磁波传播。EH伟大伟大的预的预言！言！ 若场变量不随时间变化，则麦氏方程过渡到静态场的基本方程：JH0 B0ED 因此静态场只是时变场的特例。 麦氏方程中只有个方程独立，其中麦克斯韦第三方程可以由第二方程导出，因为0tBE0tB假定在过去或将来某个时刻，的散度为，则总有0 B. . 麦氏方程的辅助方程本构关系麦氏方程的辅助方程本构关系 麦氏方程组中只有个独立方程（个旋度

43、方程和个散度方程），总计个标量方程。而变量的数目有个（个矢量和个标量），总计个标量，因此要完全确定场量必须引入辅助方程介质的本构关系。tEEHtHE0 HE 麦氏方程的限麦氏方程的限定形式定形式EDHBEJ本构关系本构关系(9个标量方程个标量方程)2.8 2.8 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 微分形式的麦氏方程要求场矢量必须处处可微，但在不同介质的分界面上，存在电荷和电流分布，导致界面上的场矢量不连续，有突变，因此界面上不适用微分形式的麦氏方程（但积分形式的麦氏方程则仍然可用），故可利用积分形式的麦氏方程导出利用积分形式的麦氏方程导出界面上的场矢量满足的关系边界条件边界条件来代替界面上的微

44、分形式的麦氏方程。1. 1. 边界条件的一般形式边界条件的一般形式abcd介质介质2介质介质11H2H 磁场强度磁场强度H的边界条件的边界条件 在界面上取矩形闭合回路abcd，短边长h 0，长边平行界面,长度l，将麦氏第一方程应用于回路：SdtDSdJl dHSSCne t e:ne介质介质21addccbbal dHl dHl dHl dH左边dcbal dHl dH210 dabcdleHHtl21左边abcd介质介质2介质介质11H2Hne t et ene p e 是回路所围面积是回路所围面积S的法向单位矢，的法向单位矢，与绕行方向与绕行方向abcd成右螺关系成右螺关系p eSdtDS

45、dJSS 右边：因h0，第一项实际上是回路包围的自由面电流，利用面电流公式(幻灯片9)，该项为lnSSl deJSdJlpSdleJltnSdleeJ右边第二项0lim 0hltDSdtDhS有限tD 因此dleJdleHHltlpS21t ene p edleJdleeHHllpSnp21ACBCBA利用矢量恒等式dleJdleHHellpSp21nS21nJHHe:ne介质介质21即得磁场强度磁场强度H的边界条件的边界条件St2t 1JHH或表明：表明： 界面上的自由面电流界面上的自由面电流JS分布导致界面两侧磁场强分布导致界面两侧磁场强度度H的切向分量不连续。的切向分量不连续。 电场强度

46、电场强度E的边界条件的边界条件 将麦氏第二方程应用于回路abcd，与类似的分析，可得021nEEe:ne介质介质21ttEE21或表明：表明： 界面上电场强度界面上电场强度E的切向分量始终连续。的切向分量始终连续。 磁感应强度磁感应强度B的边界条件的边界条件 介质介质2介质介质11B2Bne 如图，取一小的闭合圆柱面，其高h0，两底面S平行界面，应用麦氏第三方程：SSdB00侧面下底上底SdBSdBSdB0 0侧面hSdB0下底2上底1dSeBdSeBnn即得磁感应强度磁感应强度B的边界条件的边界条件 表明：表明： 界面上磁感应强度界面上磁感应强度B的法向分量始终连续。的法向分量始终连续。 电位移矢量电位移矢量D的边界条件的边界条件 021BBenn