数学物理方法-09级考试要求ppt课件

1、2019. 6. 1709-10年第二学期数学物理方程年第二学期数学物理方程 复习大纲复习大纲第一章第一章 定解问题定解问题1.会写出简单的定解问题会写出简单的定解问题初始条件初始条件边界条件边界条件定解条件定解条件稳定场方程稳定场方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程泛定方程泛定方程1三类泛定方程三类泛定方程222 )( xx,tua 22 ),(ttxu 一维动摇方程一维动摇方程 222xuatu一维热传导方程一维热传导方程 . 022222 yuxuu二维二维laplace方程方程初始时辰的温度分布：初始时辰的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件0(, )|()

2、tu M tMC C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边境条件条件不含初始条件，只含边境条件条件00|( )( )ttuxuxtA A、 动摇方程的初始条件动摇方程的初始条件2三类方程的初始条件三类方程的初始条件第一类，第一类，直接给出物理量在边境上的分布：直接给出物理量在边境上的分布：. ),(| ) ,( tMftMuM , ),( n tMfu 其中 n 为边境的法线方向。第二类，第二类， 给出物理量的梯度在边境上的分布：给出物理量的梯度在边境上的分布：, 0 ) (xunu第三类，第三类，给出物理量及其边境上法线方导游数的给出物理量及

3、其边境上法线方导游数的线性关系线性关系3三类边境条件三类边境条件(2)自在端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。A、 动摇方程的边境条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端遭到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTkux 或0 x auuxB、热传导方程的边境条件(1) 给定温度在边境上的值|sufS给定区域v 的边境(2) 绝热形状0sun(3)热交换形状牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边境上单位面积流到周围介质的热量跟物体外表和外面的温

4、差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边境条件第二类边境条件第三类边境条件2.能认出不同维数，不同坐标系直角坐标，极坐标，能认出不同维数，不同坐标系直角坐标，极坐标，柱坐标，球坐标中各类方程柱坐标，球坐标中各类方程 . cos , 0| ) ( 0 11 0 22222 Euuauuua二维极坐标系圆二维极坐标系圆盘外盘外laplacelaplace问题问题. 0 , 0| | , 0| 0 0022222byyyyaxxuuyAuuyuxuu二维直角坐标系二维直角坐标系矩形域矩形域laplacelaplace

5、问问题题. 1| , 0| | , 0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2buuuubuuautttbtt二维极坐标系下二维极坐标系下圆形薄膜振动问圆形薄膜振动问题题. | , 0| | , 0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uuuuhzauuuahzzzz三维柱坐标系下三维柱坐标系下laplacelaplace问题问题. ),(| | , 0| ) 0 ( ), ( 0 0 2yxfuuubuuautbt二维极坐标系下二维极坐标系下圆盘热传导问题圆盘热传导问题轴对称3.会利用叠加原理会利用叠加原理三维球坐标系下三维球坐标系下laplacelaplace问题问题 . | ),(|

6、0sin1)(sinsin1)(102222222rarufuururrurrr第二章第二章 分别变量法分别变量法处置的是两个自变量的函数弦振动，杆上热处置的是两个自变量的函数弦振动，杆上热传导，二维传导，二维Laplace方程的定解问题方程的定解问题1.会用分别变量法求解定解问题会用分别变量法求解定解问题定解问题选择适宜的坐标系边境条件非齐次，转换为齐次边境条件非齐次方程，齐次边境条件齐次方程，齐次边境条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法运用分别变量法求解定解问题的步骤用分别变量法求解定解问题包括以下几个根本步骤：用分别变量法求解定解问题包括以下几个根本步骤：1. 1. 将偏微

7、问题经过分别变量化为常微问题将偏微问题经过分别变量化为常微问题2. 2. 确定特征值和特征函数确定特征值和特征函数3. 3. 求解其它常微分方程，进而得到满足边值条求解其它常微分方程，进而得到满足边值条4. 4. 令级数解满足初始条件，以确定其它参数，令级数解满足初始条件，以确定其它参数，件的偏微分方程的级数解。件的偏微分方程的级数解。最终得到定解问题的解。最终得到定解问题的解。第三章第三章 二阶常微级数解法，本征值问题二阶常微级数解法，本征值问题1.用幂级数解法解方程用幂级数解法解方程0)()( yxqyxpy2.会求解本征值问题本征值，本征函数会求解本征值问题本征值，本征函数自自然然周周期

8、期条条件件自自然然有有限限条条件件三三类类条条件件齐齐次次边边界界条条件件方方程程方方程程欧欧拉拉方方程程二二阶阶常常系系数数常常微微方方程程LegendreBessel不要求3.会写出常微分方程的解会写出常微分方程的解 0 )( 222 yxyxyx . )()(xBYxAJy , 0 )1( 2 )1(2 yllyxyx ),()(1100 xyaxyay . ) 0 ( , ,ln000 mDCRDCRmmmmm . 0)( )( )( 22 RmRR第四，五章第四，五章 Bessel函数，函数，Legendre多项式多项式1.Bessel函数，函数，Legendre多项式性质的证明多项

9、式性质的证明递推性，正交性，模方递推性，正交性，模方(1).原点处原点处 )(xJm有有限值，有有限值， )(xYm无有限值。无有限值。nnnnnxxnxP1)(dd!21)(2(2). , )(d 1)(22112 Lnnnxzzzi .)x(P)21 (),(n212的的母母函函数数为为txttxw(3).(1)Bessel(1)Bessel函数，函数，LegenderLegender多项式初等性质：多项式初等性质：(2)Bessel(2)Bessel函数满足如下递推公式：函数满足如下递推公式：1. ; )( )(dd1mmmmxxJxxJx 2.3. ; )()()( 1xxJxmJxx

10、Jmmm ; )( )( dd1xJxxJxxmmmm 4. ; )()()( 1xxJxmJxxJmmm 5. ;)( )(2)(11xJxJxxmJmmm 6. . )( )(21)( 11xJxJxJmmm (3)Legendre 多项式满足如下递推公式：多项式满足如下递推公式：1. 0;)( )( ) 12()( ) 1(11 xnPxPxnxPnnnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPnnnn3. . 0 )( )( )(11 xPxxPxnPnnn4. . )( 1) (2 )( )( 11xPnxPxPnnn lklkJJblmkm,N0 d )( )(m)k0 ，

11、. )()(21 )( 22 222 2)(bJmbbJbNkmkkmmk . ),1(22 , 0 d )()(1 1 knnknxxPxPkn(4)Bessel(4)Bessel函数，函数，Legendre Legendre 多项式模方正交性多项式模方正交性(5)(5)含含BesselBessel函数，函数，Legendre Legendre 多项式积分留意多项式积分留意 xxxJId )(01 . )(1CxxJ xxJxId )(032 )(d12xxJx xxJxxJxd )(2)(1213 . )(2)(2213CxJxxJx 012223334245351cos313cos1(

12、)22535cos3cos( )2211( )(35303)(35cos420cos29)86411( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128PPxxP xxxP xP xxxP xxxx2.会将不同方程在不同坐标系下分别成常微分方程会将不同方程在不同坐标系下分别成常微分方程 . cos , 0| ) ( 0 11 0 22222 Euuauuua二维极坐标系圆二维极坐标系圆盘外盘外laplacelaplace问题问题.,欧拉方程欧拉方程关于关于二阶常微二阶常微关于关于. 1| , 0| | , 0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2buuuubuuautt

13、tbtt二维极坐标系下圆形薄二维极坐标系下圆形薄膜振动问题膜振动问题. | ,0| | ,0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uuuuhzauuuahzzzz三维柱坐标系下三维柱坐标系下laplacelaplace问题问题. ),(| | , 0| ) 0 ( ), ( 0 0 2yxfuuubuuautbt二维极坐标系下圆盘热二维极坐标系下圆盘热传导问题传导问题.Bessel0方程，欧拉方程方程，欧拉方程阶的阶的为为关于关于三维球坐标系下三维球坐标系下laplacelaplace问题问题 . | ),(| 0sin1)(sinsin1)(102222222rarufuururrurrr.

14、Legenderxr方方程程为为关关于于为为欧欧拉拉方方程程，为为二二阶阶常常微微，关关于于关关于于4.会用分别变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，会用分别变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，柱面的稳定场等定解问题采用极坐标系，柱坐标柱面的稳定场等定解问题采用极坐标系，柱坐标系求解系求解5.会用分别变量法求解球坐标系下会用分别变量法求解球坐标系下Laplace方程方程注：球坐标系下轴对称问题可直接写通解注：球坐标系下轴对称问题可直接写通解3.将非规范方程经过简单变换化为规范型将非规范方程经过简单变换化为规范型(化规范化规范Bessel，化为，化为Legender) )(cos )( ),(0)1( nnnnnnPrBrAru 第六