概率论与数理统计-概率论4-1ppt课件

1、第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征1 数学期望数学期望2 方差方差3 协方差及相关系数协方差及相关系数4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望2、延续型随机变量的数学期望、延续型随机变量的数学期望3、随机变量函数的期望公式、随机变量函数的期望公式4、两个随机变量函数的期望、两个随机变量函数的期望5、期望的有关性质、期望的有关性质 1 数学期望数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，假设知道了随机变量布，假设知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了

2、全部概率特征也就知道了. 然而，在实践问题中，概率分布普通是较难然而，在实践问题中，概率分布普通是较难确定的确定的. 而在一些实践运用中，人们并不需求知而在一些实践运用中，人们并不需求知道随机变量的一切概率性质，只需知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只需知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. 例如例如, 在评定某一地域的粮食产量的程度时在评定某一地域的粮食产量的程度时, 在许多场所只需知道该地域的平均产量在许多场所只需知道该地域的平均产量; 又如在又如在研讨水稻种类优劣时研讨水稻种类优劣时, 时常是关怀稻穗的平均稻时常是关怀稻穗的平均稻谷粒数谷粒数; 再如检查一批棉花的质量时再如检查一

3、批棉花的质量时, 即需求留意即需求留意纤维的平均长度纤维的平均长度, 又需求留意纤维长度与平均长又需求留意纤维长度与平均长度的偏离程度度的偏离程度. 因此因此, 与随机变量的有关数值与随机变量的有关数值, 可可以描画随机变量的重要特征以描画随机变量的重要特征. 因此，在对随机变量的研讨中，确定某些数因此，在对随机变量的研讨中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：我们来看一个引例我们来

4、看一个引例. 例例1 某车间对工人的消费情况进展调查某车间对工人的消费情况进展调查. 车工车工小张每天消费的废品数小张每天消费的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何定如何定义义X的平均值呢？的平均值呢？我们先察看小张我们先察看小张100天的消费情况天的消费情况假设统计假设统计100天天, 32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;3230172101231.27100100100100 可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为

5、X的平均值呢？的平均值呢？假定小张每天至多出假定小张每天至多出现三件废品现三件废品 可以想象，假设另外统计可以想象，假设另外统计100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天普通天普通不会完全一样，这另外不会完全一样，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.03120123nnnnnnnn 可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天

6、中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) 普通来说普通来说, 假设统计假设统计n天天 ,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均03120123nnnnnnnn 当当n很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数所以我们在求废品数X的平均值时，用概率替代的平均值时，用概率替代频率，得平均值为频率，得平均值为01230123pppp 这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值 .例：例： 一射手进展打靶练习一射

7、手进展打靶练习, 规定射入区域规定射入区域e2得得2分分, 射入区域射入区域e1得得1分分, 脱靶脱靶, 即射入区域即射入区域e0, 得得0分分. 射射手一次射击得分数手一次射击得分数X是一个随机变量是一个随机变量.e0e1e2设设X的分布律为的分布律为PX=k=pk, k=0,1,2.如今射击如今射击N次次, N是一个很大的数是一个很大的数, 也能够是一百也能够是一百, 也能够是一万也能够是一万, 等等等等. 其中得其中得0分的有分的有a0次次, 得得1分分的有的有a1次次, 得得2分的有分的有a2次次, a0+a1+a2=N.射击这射击这N次得分总和为次得分总和为a00+a11+a22.

8、于是于是平均一次射击的得分数为平均一次射击的得分数为20120012.kkaaaakNN 这里这里, ak/N是事件是事件X=k的频率的频率. 当当N很大时很大时, ak/N将将近似为事件近似为事件X=k的概率的概率pk. 就是说就是说,220020,/.kkkkkkXkaNkpkpX在试验次数很大时 随机变量 的观察值的算术平均近似等于我们称为随机变量 的数学期望或均值20120012.kkaaaakNN 定义定义 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请留意请留意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期

9、望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。1()kkkE Xx p假设级数假设级数1kkkx p绝对收敛，绝对收敛，那么称级数那么称级数1kkkx p()E X即为随机变量为随机变量X的数学期望，记为的数学期望，记为 ,例例12,XX甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.6 0.3 0.11Xkp2Xkp12XX解：我们先来算和的数学期望，12()0 0 1 0.22 0.81.8()0 0.6 1 0.32 0.10.5(E XE X 分）分）到站时刻到站时刻 8:10 8

10、:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例 按规定,某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站,但到站时辰是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为： 重要分布的数学期望：重要分布的数学期望：1、两点分布：设随机变量、两点分布：设随机变量X取值于取值于0,1，其分布律，其分布律为为PX=1=p，PX=0=1-p=q，那么它的期望为，那么它的期望为 E(X)=p;2、二项分布：设、二项分布：设XB(n,p)，那么，那么E(X)=np;3、泊松分布：设、

11、泊松分布：设X()，那么，那么E(X)= 。例：设例：设X的取值为的取值为 ，对应，对应12( 1)(1,2,.)kkkxkk 12kkp 那么它的期望为？那么它的期望为？概率分布为概率分布为 ，例例 在一群体中普查某种疾病在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检为此要抽检N个人的血个人的血, 可以用两种方法进展可以用两种方法进展. (1)将每个人的血分别去验将每个人的血分别去验, 这就需求验这就需求验N次次. (2)按按k个人一组进展分组个人一组进展分组, 把从把从k个人抽来的血混合个人抽来的血混合在一同进展检验在一同进展检验, 假设这混合血液呈阴性反响假设这混合血液呈阴性反响, 就阐就阐明明k

12、个人的血都呈阴性反响个人的血都呈阴性反响, 这样这样k个人的血就只需求个人的血就只需求验一次验一次. 假设呈阳性假设呈阳性, 那么再对这那么再对这k个人的血液分别进个人的血液分别进展化验展化验. 这样这样, k个人的血总共要化验个人的血总共要化验k+1次次. 假设每个假设每个人化验呈阳性的概率为人化验呈阳性的概率为p, 且这些人的实验的反响是且这些人的实验的反响是相互独立的相互独立的. 试阐明当试阐明当p较小时较小时, 取适当的取适当的k按第二种按第二种方法可减少化验的次数方法可减少化验的次数, 并阐明并阐明k取什么值时最适宜取什么值时最适宜.解解 各人的血呈阴性反响的概率为各人的血呈阴性反响

13、的概率为q=1-p. 因此因此k个个人的混合血呈阴性反响的概率为人的混合血呈阴性反响的概率为qk及呈阳性反及呈阳性反响的概率为响的概率为1-qk.设以设以k个人为一组时个人为一组时, 组内每人平均化验次数为组内每人平均化验次数为X, 那么那么X是一随机变量是一随机变量, 其分布律为其分布律为111kkkkXkkpqqX的数学期望为的数学期望为111()1(1)1kkkE Xqqqkkk 11.kNqkN个人平均需化验的次数为个人平均需化验的次数为由此可知由此可知, 只需选择只需选择k使使111kqk那么那么N个人平均需化验的次数个人平均需化验的次数0, 常数常数), 求求W的数学期望的数学期望

14、.四、两个随机变量函数的期望四、两个随机变量函数的期望 ,(, )()ZX YZg X Yg设 是随机变量的函数是连续函数Z则 也是随机变量且(1)(, ),( , ),X Yf x y若是二维连续型 概率密度为则有()( )( , )( )( )( , )( ) (, )( , ) ( , )XYE Xxfx dxxf x y dxdyE Yyfy dyyf x y dxdyE ZE g X Yg x y f x y dxdy .这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛(2)(, ),( ,1,2)ijijX YP Xx Yyp i j若是二维离散型 概率分布为则有11( ) (, )( ,

15、)ijijjiE ZE g X Yg x yp例例9 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度3231,1.2( , )0,.1( ),.yx xx yxf x yE YEXY其它求数学期望例例 知二维随机变量知二维随机变量X，Y的分布律为的分布律为 XY01210.10.20.120.30.10.2求求E(X),E(2X+3Y),E(XY). 五、数学期望的有关性质五、数学期望的有关性质 1. 设设C是常数，那么是常数，那么E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，那么相互独立，那么 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 假设假设C是常数，那么是常数，那么E(CX)=CE(X);

16、 3. 11:()nniiiiEXE X推广11:()nniiiiEXE X推广诸诸Xi相互独立时相互独立时请留意请留意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立()()( );E XYE XE Y例例 设设X和和Y均为随机变量，且均为随机变量，且E(X2)和和E(Y2)都存在，都存在，证明柯西证明柯西-斯瓦兹不等式：斯瓦兹不等式：E(XY)2E(X2)E(Y2)例例 设设X和和Y相互独立且服从正态分布相互独立且服从正态分布N(,2)，求，求1Emax(X,Y); (2)Emin(X,Y).例例11 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出, 旅客旅客有有10个车站可以下车个车站可以下车