河海大学几何与代数-5-3相似矩阵与对角化ppt课件

1、., , 11相相似似与与或或说说矩矩阵阵的的相相似似矩矩阵阵是是则则称称使使若若有有可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵都都是是设设定定义义BAABBAPPPnBA 证明证明相似相似与与BA APPPEPBE11 PAEP 1PAEP 1.AE BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn推论推论 假设假设 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵n n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn ., 1对对角角化化这这就就称称为为把把方方阵阵为为对对角角阵阵使使

2、若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵阶阶方方阵阵对对AAPPPAn 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把.)( 2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要条条件件是是能能对对角角化化即即与与对对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特

3、特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个个特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩这这个个特特征征向向量量得得并并可可对对应应地地求求个个特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之阐明阐明 假设假设 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，那么那么 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn假设假设 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定

4、能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例1.1为为对对角角阵阵使使APP 解解163053064 AE 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A 得得方方程程组组代代入入将将0121 xAE 000000021063063063AE解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 022 3 xAE .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1