泰勒公式的余项学习教案

1、会计学1泰勒泰勒(ti l)公式的余项公式的余项第一页，共11页。)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx特例特例(tl):(1) 当 n = 0 时, 泰勒(ti l)公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒(ti l)公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与

2、在xx第2页/共11页第二页，共11页。误差(wch)估计1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnMxxnfxR 上的一个上界，那么或，在是设,| )(|M00)1(xxxxxfn泰勒(ti l)公式的误差)()(xfxRn)(!)(00)(nnxxnxf)(0 xf)(00 xxxfnnxxnxf)(!)(00)(有下列估计(gj)公式：第3页/共11页第三页，共11页。, ) 10(,00 xx则马克(mk)劳林为：)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒(ti l)公式中若取)(xf)

3、(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)() 1(Mxfn则有误差(wch)估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式第4页/共11页第四页，共11页。211321113!21 !cos1;21 !nnnnxxxxnxxn 2. sin 2211112!2!cos122 !nnnxxxnxn 3. cos xe. 11x!33x!nxn!22x).(!) 1(1xxnen初等函数(hn

4、sh)带拉格朗日余项的几个泰勒公式:第5页/共11页第五页，共11页。 11111 1nnnxxn . 1231111;23nnnxxxxxo xn 5. ln 1+211112!ana aa aanxaxxxn 4. 1+111111 !a nna aanxxn 习题(xt) 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.第6页/共11页第六页，共11页。已知补例补例 计算计算(j sun)无理数无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111ne

5、n) 10(由于(yuy), 30ee欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由计算(j sun)可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为!91!2111第7页/共11页第七页，共11页。)()(xfn解解),2sin(nxxsinx!33x!55x!) 12(12nxn1) 1(n)sin(212mx其误差(wch)|)!12(cos) 1( | )(|122nnnxnxR)!12(|12nxn例例1的泰勒公式在使用带拉格朗日余项设,44x取多少项？。应在泰勒公式中时，为使公式误差小于计算7105sinx)!12()4(12n

6、n.)!12(1n.)!12(cos) 1(12 nnxn,1057为使公式误差小于.103!1118因为即可取,5n第8页/共11页第八页，共11页。需解问题(wnt)的类型:1) 已知 x 和误差(wch)限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计(gj)误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.第9页/共11页第九页，共11页。补例补例 用近似用近似(jn s)公式公式!21cos2xx计算(j sun) cos x 的近似值,使其精确(jngqu)到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0