(完整word版)双曲线经典知识点总结

1、（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线标准方程54 = 1("。八0)图形 gk .OJt性质住日 八'、八、足（-0）段66米Or) &QG焦距| 巴鸟 |= 22* = 4d'1巴玛卜2e9 =也口范围耳卜§一湿或K 之 ywR(y y<-ay>a) 乂二知识点四：双曲线/g 与次*及（s）"X）的区别和联系双曲线知识点总结班级 姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点月、%的距离之差的绝对值等于常数 2厘（厘大于0且为M%片|）的动点尸的轨迹叫作双曲线.这两个定点耳、耳叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作 双曲线白

2、焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数2门应当满足的约束条件：怛用一声真小2口中园，这可以借助 于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2 .若去掉定义中的“绝对值”，常数厘满足约束条件： 闷卜朋|=2速V风周（鼻,0）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点用的一支；若忸耳卜归闻=2摩4区段（八0）,则动点轨迹仅表 示双曲线中靠焦点 式的一支；3 .若常数厘满足约束条件：归耳卜用h “二F用，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包 括端点）；4 .若常数党满足约束条件：归片卜阳卜2a邛闻，则动点轨迹不存在；5 .若常数白二0,则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的

3、标准方程-11 .当焦点在X轴上时，双曲线的标准方程：层/ g 0金> s,其中,二，十匕32匕-土 = 12.当焦点在T轴上时，双曲线的标准方程：/ /俗>0力>3,其中（？二十叫注意：1.只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标 准方程;2 .在双曲线的两种标准方程中，都有 e*=4=+分3 .双曲线的焦点总在实轴上， 即系数为正的项所对应的坐标轴上 .当解的系数为正时，焦点在大轴上， 双曲线的焦点坐标为（4°）,L一力0）；当产的系数为正时，焦点在y轴上，双曲线的焦点坐标为（QG,（）.知识点三：双曲线的简单几何性质44

4、=1双曲线口* 蹙 （a>0, b>0）的简单几何性质W Z-1（1）对称性：对于双曲线标准方程 口 §（a>0, b>0）,把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一x、y,方程都不变，所以双曲线>0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形， 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。x= -a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 xw-a或x>a。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。F 2 1双曲线口 由 （a>0, b>0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐

5、标分别为 A1 （a, 0） , A2 （a, 0）,顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 AA2叫作双曲线的实轴；设 B （0, b） , B2 （0, b）为y轴上的两个点， 则线段B及叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|AA|=2a , |BB|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。2ce （4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作 20 s3 = ->1-= J&quo

6、t; 一： = 与，-1 =-1因为c>a>0,所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2,可得度V 所以也决定双曲线的开口大小， 厘越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线,所以离心率e = 42 o（5）渐近线：经过点 A、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、区作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线一白 叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。7 / 4对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点（如1轴实轴长=2% 虚轴长=吕离心率

7、> 1) a渐近线方程y=±- b将有关线段网、小、E图和角结合起来-=1知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为乂 ，则/一/7-门二升 + 尸一n JI q U 一支一U y = ± 工其渐近线方程为£ F a b ="注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“ 0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程:若双曲线渐近线方程为现工土即口，则可设双曲线方程为求出足即可。（3）与双曲线口5支有公共渐近线的双曲线方程可设为-；（A>0,焦点在犬轴上，A<0,焦点在y

8、轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为了二土五，因此等轴双曲线可设为工-V三兄（鼻£为知识点六：双曲线图像中线段的几何特征:（1）实轴长 &耳卜2曰，虚轴长2b焦距I瓦月1= 2匚，（2）离心率:1 .如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线 的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2 .双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、 虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c&g

9、t;a,c>b,且c2=b2+a2。 3.如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上。注意：对于双 曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。4 .方程Ax2+By2=C （A、B C均不为零）表示双曲线的条件/皎 乏+可=+ -7 ry方程Ax2+By2=C可化为 CC ，即月丑 ，所以只有 A、B异号，方程表示双曲线。 当上 §时，双曲线的焦点在 x轴上；当5 B时，双曲线

10、的焦点在 y轴上。5 .求双曲线标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数S、&、匕的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b,即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论。6 .如何解决与焦点三角形4 PF 1F2 （P为双曲线上的点）有关的计算问题？与焦点三角形“尸耳为有关的计算问题时， 常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三

11、角形面积公式二眄网用相结合的方法进行计算与解题,将有关线段网;（3）顶点到焦点的距离：国与上阳、号 ,有关角物巡结合起来，建立阳卜质|、阳|F段之间的关系；（4） &FF居 中结合定义 归"】卜F%II 2”与余弦定理,7.如何确定离心率 e的取值情况与双曲线形状的关系?:离心率厘,因为c2=a2+b2,用a、b表示为,当e越大时，越大，即渐近线夹角(含x轴)越大，故开口越大；反之,e越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且e>1o8.椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆双曲线根据 |MFi|+|MF2|=2a根据 |MFi| |MF2|= ±2aa>

12、c>0,a2 c2=b2 ( b> 0)0 V a< c,c2a2=b2 (b>0)【变式3】已知点P(x,y)的坐标满足JS - iy+U-l)? 一+ 3十3) J4,则动点p的轨迹是()A.椭圆B .双曲线中的一支 C .两条射线 D .以上都不对答案：B类型二：双曲线的标准方程：2 .求与双曲线16-1有公共焦点，且过点01，2)的双曲线的标准方程。解法一：依题意设双曲线方程为口？宁=1由已知得 公+* = = 20 ,又双曲线过点12 8解法二：依题意设双曲线方程为16-归4+i，将点(3e，2)代入16-无4+此，解得二4,(a> b> 0)(a

13、>0, b>0, a 不一定大于 b)所以双曲线方程为1；-4的双曲线的标准方程.【答案】169工 y r-4- 1标准方程统一为： 亡 .类型一：双曲线的定义1.已知。Q: (x+5) 2+y2=4, OQ: (x5)2+y2=9(1)若动圆P与。i,。2均内切，求动圆圆心 P点的轨迹；(2)若动圆Q与O 1,。2均外切，求动圆 圆心Q点的轨迹。解析：(1)设。P 半径为 R,丁。与。Q相离，|POi|=R-2, |PO2|=R-3 . . |POi| |PO2|=1 ,又 |OiQ|=10由双曲线的定义，P点的轨迹是以Q为焦点，2a=1, 2c= 10的双曲线的右支。(2)设。

14、Q半径为 r ,则 |QQ|=r+2 , |Q6|=r+3. . |Q6| - |QOi|=1 ,又 |OiQ|=10由双曲线的定义，Q点的轨迹是以 Q, Q为焦点，2a=1, 2c= 10的双曲线的左支。举一反三：【变式1】已知定点Fi(2,0)、F2(2,0),平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是()A. |PFi| |PF2|= ±3B. |PFi| |PF2|= ±4C. |PFi| |PF2|= ±5 D. |PFi| 2|PFz| 2=± 4 【答案】 A【变式2】已知点Fi(0, 13)、F2(0,13),动点P到Fi与F2的距离之

15、差的绝对值为 26,则动点P 的轨迹方程为()A. y=0 B. y=0 (xW13 或 x>13) C. x=0 (|y| >13) D.以上都不又【答案】C.【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在尸 轴，焦距为10,3.已知双曲线的两个焦点 Fi、F2之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的标准方程。解析：由题意得 2a=24, 2c=26。，a=12, c=13, b2=132 122 =25。二 J当双曲线的焦点在 x轴上时，双曲线的方程为 144 25；当双曲线的焦点在 y轴上时，双曲线工上二1的方程为144 25。总结升华：求双

16、曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、y2的系数的正负。工Z 11【类型三：双曲线的几何性质 4.方程取一$ I取1-2 表示双曲线，求实数 m的取值范围。解析：由题意得烟一 5>°m-5 < 0m <5-2<2，（8折7，丁点在双曲线上，.49，解得工=40初5或-2七僧立2。.实数m的取值范围为 网心5或-2,二2）。总结升华：方程 Ax2+By2=1表示双曲线时，A B异号。土-匕=1曲线方程为16 36【变式1】k>9是方程9-上 k-A-1表示

17、双曲线的（）总结升华：求双曲线的方程，关键是求出、万，在解题过程中应熟悉各元素（b、b、匕、白及A.充分必要条件B.充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax±fy-Q ,可设双曲线方【变式2】求双曲线 点+12 4期二1的焦距。工 ? 根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线9 161有共同的渐近线，且过点（T入国；（2）4-4=-土，蚱土金总结升华：双曲线的渐近线方程为 口 即 b;若双曲线的方程为一渐近线方程为孑工+2=q,且双曲线过点解析：（i）解法一：当焦点在x轴上时,工 7

18、m n（我司AD,兄>0 ,焦点在或轴上，A.<0 ,焦点在y轴上），则其渐近线方程为设双曲线的方程为-=1由题意，得b _Aa 3(3尸Q后 1占二4 所以双曲线的总结升华：求双曲线的方程，关键是求、% ,在解题过程中应熟悉各元素（8、疗、白及准上I方程为线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax±by = O ,可设双曲线方程士Ji当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为金及由题意,为小-比（”。）.8.已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交左半支于W、3两点，且1"卜8，设右焦点骂，/4巡的周长.解析：由双曲线的定义有：小6 , I啊-网1=6*二，4 （舍去） 综上所得，双曲线的方程为(| . 1 + 1 廖 ILI + I 巡 1)