二次函数——常见二次函数模型

1、二次函数(一)所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数知识点回顾1.函数概念小结2特定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、典例剖析考点1【二次函数的相关概念】(4)y=J一(5)y=(x+3)2-x2(6)v=10兀r2x-xB.二次函数自变量的取值范围是所有实数D.二次函数的取值范围是非零实数例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)2+1(2)y=x+-(3)s=3-2tx随堂练习11.下列结论正确的是A.y=ax2是二次函数C.二次方程是二次函数的特例2,下列函数中：y=-x2；y=2x;y=22+x2x3;m=3tt2是二次函数的是(其中x、t为自变量).3.下列各关系式中

2、，属于二次函数的是(x为自变量).122J_12A.y=_xB.y=vx-1C.y=_2D.y=ax8x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=(m1)xm2-6m-7是二次函数，则m=()B. 7C. 1或7D.以上都不对例2-2.已知抛物线y=ax2g过点A(2,8)(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(1,4)是否在此抛物线上.(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21 .函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数的条件是A.aw0,bw0,cw0B.a<0,bw0,g0C.a>0,bw0,cw0D.aw02 .已知函数y=(m2m)x2+(

3、m1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？23 .如果函数y=xk-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5,一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为ym2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.用60m例3-2【密8则题】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树平均每棵树就会少结5个橙

4、子.假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y(元)与年利率x的函数表达式。随堂练习31.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么?是函数关系吗？是哪一种函数？2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得

5、高于每千克70元也不得低于30元,市场调查发现；单价定为70元时，日均销售60kg.单价每降低1元，日均多售出2kg,在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按整天计算).设销售单价为x元，日均获利为y元，求y关于x的二次函数关系式.考点4二次函数的图像特点例4【对称性】填右表并填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最抛物线y=x2y=-x2顶点坐标对称轴小，最小值是，抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(2)抛物线y=-1/3x2x轴的方(除顶点外),在对称轴白左侧，y随着x的;

6、开口方向增减性最值在对称轴白右侧，y随着x的,当x-0时，函数y的值最大，最大值是,当x0时,y<0。随堂练习4.1.二次函数y=3x2的图象是关于对称的曲线，这条曲线叫做,它的开口与x轴交点坐标是。当x>0,y的值随x的值增大而。当xv0,y的值随着x值的增大而,当x=时，y有最小值，最小值是2.点A(3,m)是抛物线y=x2上一点，则m=，点A关于y轴对称点B的坐标是2点A关于原点对称点C的坐标是;点B、C关于对称。函数y=axa是二次函数，当a=时，其图象开口向上；当a=时，其图象开口向下.(1)你能列出面积S与边长a的函数关系式吗？(2) S是a的次函数；(3) a能否小于

7、零？3/8（4）你能作出面积S随边长a变化而变化的函数图象吗?考点5y=ax2的图像特点】例5-1对于y=ax2（aw0）的图象，下列叙述正确的是（）A.a越大开口越大，a越小开口越小B,a越大开口越小，a越小开口越大C.Ia|越大开口越小，Ia|越小开口越大D.1a|越大开口大，Ia|越小开口越小例5-2抛物线y=3x2，y=4x2，y=1x,它们的图像在同一坐标系下开口大小顺序是（）33A.下B.下>C.下D.下随堂练习51.抛物线y=-x2不具有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是Y轴C.与Y轴不相交D.最高点是原点2,二次函数y=x2,若y>0,则自变量x的取值范围是（）A

8、.可取一切实数B.xw0C.x>0D.x<03 .求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标。4 .已知二次函数的图象开口向下，且经过原点。请写出一个符合条件的二次函数的解析式考点61y=ax2+c的图像特点】例6.若二次函数y=ax2+c（aW0）中，a>0,c>0时，它的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向上或向下D.无法判断随堂练习61 .若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2（x产x2）时函数值相等，则当xWx-x2时，函数值为（）A.a+cB.acC.cD.c2 .抛物线y=ax2+b（aw0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a,b的取值范围是（）A.a

9、>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b<0D,a<0,b>03 .抛物线y=x2+b与抛物线y=ax22的形状相同，只是位置不同，则a、b值分别是（）A.a=1,bw-2B,a=-2,bw2C,a=1,bw2D,a=2,bw24,函数y=kx23与y=4(kw0)在同一直角坐标系中的图象可能是()例7.将抛物线y=3x2向上平移两个单位得到抛物线的表达式()考点71图像的上下平移】A.y=3x2-2B.y=3(x+2)2C.y=3x2+2D.y=3(x-2)2随堂练习71 .将抛物线y=-x2-1向上平移两个单位得到抛物线的表达式()A.y

10、=x2B.y=x22C.y=x2+1D.y=x2+12 .抛物线y=3x2+4可以由抛物线y=3x2沿平移得到；同样，y=3x24可以由抛物线y=3x2沿平移得到3 .二次函数y=4x22的图象与y=4x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？三、经典习题一、选择题(10*3)1,已知丫个=x,那么y是x的()x-32A.一次函数B.二次函数C,正比例函数D.反比例函数2.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0,那么必有()A.a>0,m取任意实数B.a>0,m>0C.a<0,m>0D.a,m均可取任意实数3 .抛物线y=a

11、x2+c与y轴相交于坐标原点，则下列判断正确的是()A.c>0B.c=0C.c<0D.c的符号与a无关4 .抛物线y=x2-4的顶点坐标是()A.(2,0)B.(2,0)C.(1,3)D.(0,4)5 .在半彳空为5cm的圆面上，从中挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm则y与x的函数关系式为()A.y=nx25B.y=n(5x)2C.y=(x2+5)D.y=-nx2+25n6 .函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数的条件是A.aw0,bw0,cw0B.a<0,bw0,cw0C.a>0,bw0,g0D.aw07.1. 函数y=ax2(a

12、w0)的图象与a的符号有关的是A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴8.函数y=ax2(aw0)的图象经过点(a,8),则a的值为A.±2B.-2C.2D.319 .下列结论正确的是A.y=ax2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数10 .在图4中，函数尸2*2与y=ax+b的图象可能是二、填空题(6*3AC11.过点A(0,1)作一条与x轴平行的直线与抛物线y=4x2相交于点MN则MN两点的坐标分别是:12 .抛物线y=-1x2-3的图象开口,对称轴是,顶点坐标/为,当x=时，y有最值为13 .已知函数

13、y=x2+1,y=2x2+1,函数(填序号)有最小叶|值，当x时，该函数的最小值是14 .已知，抛物线y=ax2+c与抛物线y=2x21关于x轴对称，贝Ua=,c=15 .已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于A、B两点，其中A点坐标是(1,4),则a=k=,B点坐标是216 .函数y=axaa是二次函数，当a=时，其图象开口向上；当a=时，其图象开口向下.三(计算题)17 .(6分)已知函数y=(m2m)x2+(m1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样?18 .(6分)已知直线AB过点A(3,0)且与抛物线y=ax2相交于B、C两

14、点，若B点坐标为(1,1).(1)求直线和抛物线的函数表达式；(2)求C点坐标。19 .(7分)如图，二次函数y=mx2+4m图象的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点BC在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD&抛物线与x轴所围成的图形内。(1)求二次函数的表达式(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD勺周长P关于自变量x的函数表达式，并求自变量x的取值范围。20(7分).已知抛物线y=ax2(aw0)与直线y=2x+3交于点(1,b)(1)求a、b的值；(2)求抛物线与y=x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积。21. (8分)已知二次函数y=x2+4x3的图象交y轴于点B,交x轴于A,C两点，求：(1)