二项分布与超几何分布的区别

1、专题：超几何分布与二项分布知识点关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征：一个总体（共有N个）内含有两种不同的事物A（M个）、B（NM个），任取n个，其中恰有X个A.符合该条件的即可断定是超几何分布，按照超几何分布kn_k的分布列P（X=k）=CMCN-（k=0,1,2,|H,m）进行处理就可以了.CN二项分布必须同时满足以下两个条件：在一次试验中试验结果只有A与入这两个，且事件A发生的概率为p,事件A发生的概率为1-p；试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数p,事件又发生的概率为1-p.典

2、型例题1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等3品.(I)(n)(田)随机选取随机选取随机选取1件产品,3件产品,3件产品,求能够通过检测的概率；其中一等品的件数记为X,求X的分布列;求这三件产品都不能通过检测的概率.【解析】（IA）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为事件A等于事件1分“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”642p(A)二一一101031315.4分(II)由题可知X可能取值为0,1,2,3.PZX_m_C：C0_1PC4C6_3P(X0)3，P(X1)3，C

3、1030C1010P(X=2)=C30C：C；1,P(X=3)=言=1C106故X的分布列为01238分（田）设随机选取不能通过检测9分3件产品都的事件为B10分事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”P(B2、第26届世界大学生夏季运动会将于)0201113分(3了搞好接待工作，组委会在某学院招募了年8月12日到23日在深圳举行，为12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位上（包括175cm）定义为:cm）：若身度“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cn）定义为“非高个手电且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.1（I）如果用

4、分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取1151617%5cm以再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（n）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用巴表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出之的分布列，并求之的数学期望.【解析】（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是2=1,306所以选中的“高个子”有12=2人，“非高个子”有18=3人.一分用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”C2贝(JP(A)=1-C3C5=1.旦10105分因此，至少有一人是

5、“高个子”的概率是2.6分10（II）依题意，2的取值为551428121，二e£=0m+1m+2m+3m=1.12分C；14P伐=0)=W=,P(=1)=等C1255C12P(=2)=皆c3P(=3)=r=C1255C12因此，。的分布列如下：0,1,2,3.55110分555555553、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.>视觉X视觉记忆能力1偏低中等偏局超常听偏低0751觉记中等183忆能偏局201力超常02

6、11由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为2.5(I)试确定a、b的值；(n)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为J求随机变量亡的分布列.【解析】(I)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A,10a2贝(Jp(A)=二,解得a=6,从而b=40(32+a)=4038=2.405(n)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C；0,其中具有听觉记忆能力或视觉记

7、忆能力偏高或超常的学生共24人从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能k3*力偏高或超常的概率为P(£=k)=C4CJ(k=0,123).U的可能取值为0、1、2、3.C；°'C4C；为C；4C06253C：。12350123P（=0）=c4o,所以2的分布列为4、在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进14位C24C2672产片以552声=诟,P（川二高=说,P（=2）=诲,P（=3）=4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获

8、奖.已知教师甲投进每个球的概率都是2.3(I)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望；(n)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(田)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?【解析】（I）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,依条件可知XB（6,-）.36人1为事件(k=0,1,2,3,4,5,6)1(3Y)kP(X=k)=C：26333在一场比3（n）设教师甲p（a）C（1）2（3C413335_32赛中获奖6答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为81328

9、1（田）设教师乙在这场比赛中获奖为事件24B,则P(B)=jAlAa4=-.（此处为5*会更好！因为样本空间基于：已知6个球中恰好投进了4个球）即教师乙在这场比赛中获奖的概率为2.5显然2=医,%，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中58081获奖的概率不相等.5、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示.（I）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30,35岁的人（n）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分

10、层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.分组（单位：岁）频数频率所以X的分布列为:PEX=0211152=-3838382合计人.【解析】(I)处填20,处填0.35；门门目补全频率分布直方图如图所示500名志愿者中年龄在130,35)0.07606频率组距LJL7分故X的可能取值为0,1,2;的人数为0.35x500=175人.6分":二:0.C1-口丫(n)用分层抽样的方法，从中选取心0人6则其中“年龄低于30岁”的有5人，di60S“年龄不低于30岁”的。看由59.

11、坐.Q.02aqio一20-25-3C2P(X=0)=/=C20P(X=1)=萼C2021港'381538，C2P(X=2)=-2-C20238'3811分202513分6、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为1,第二轮检测不合格的概率为工，两轮610检测是否合格相互没有影响.(I)求该产品不能销售的概率；(n)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X

12、元，求X的分布列，并求出均值E(X).【解析】(I)记“该产品不能销售”为事件A,则p(a)=1-(1/产(1-1).6104所以，该产品不能销售的概率为1.4分4(II)由已知，可知X的取值为-320,-200,-80,40,160.5分P(X=-320)=(1)41284464=,P(X=-200)=C；(工)P(X=-80)。(二)(二)F，P(X=40)9(二),，3=,425644643481”P(X=160)=()4=.104256分所以X的分布列为X-320-200-8040160P11分11272781RX)=320父-200X-80x+40父+160父=40,故均值E(的为2

13、56641286425640.12分7、张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图)，L1路线上有A,A,A三个路口，各路口遇到红灯的概率均为-;2L2路线上有B,B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为3,J/44(I)若走L1路线，求最多,遇到1次红灯的概率；口/L(n)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；、+L(田)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生BB2从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.【解析】(I)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，P(A)=C；乂(1)3+C；父mJ)2J.4分2222所以走L1路线

14、，最多遇到1次红灯的概率为1.2(n)依题意，X的可能取值为0,1,2.5分33133339P(X=0)=(1-)(1二)，P(X=1)=-(1-)(1-)-4510454520012P20_1EX二一0102020992712=-339P(X=2)=父一=.8分4520故随机变量X的分布列为:10分皿设选择L路线遇到红灯次数为丫，随机变量Y服从二项分布，丫小3%所以EY=3/=3.12分因为EX<EY,所以选择L2路线上班最22好.14分8、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.（I）求这4位乘客中至

15、少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（n）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.【解析】（I）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是1,分P(A)=1-P(A)=1-（n）X的可能取值为0,1,2,3,4,7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为1,且每个人下电梯互不影响,31所以XB（4,）.9分30123411分14八E（X）=4-=13分339、“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪

16、刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.（I）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；（n）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列及其期望.【解析】（I）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）.共有9个基本事件，3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个.所以，在1次游戏中玩家

17、甲胜玩家乙的概率p=3(n)X的可能取值分别为0,1,2,3.=0=C03-27,p(x=1)=c313221232716PX27X-B=2=C；272727271EX=np=3父=1).-13分310、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为2P1=-，乙的命中率为P2,在3射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；(I)若P2=1,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；2(n)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数4如果E：之5,求P2的取值范围.【解析】

18、(I)p=(cH)(c2H)+eg(2$=36(n)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率而ZL|B(12,P),所以E之=12P,由E5知12(8P2-品22)之5,解得993,3 <P21.12分411、一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分。没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为2.3(I)求此人得20分的概率；(n)求此人得分的数学期望与方差。【解析】(I)此人得20分的概率为p=C；(2)24分3392(n)记此人三次射击击中目标办次得分为0分，则。B(3,<),七=10列63 一_2一 .E()=10E()=103=20320012分2 1D()二100D

19、()=1003二3 312、设不等式x2+y2E4确定的平面区域为U,|x+|yW1确定的平面区域为V.(I)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；(II)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X,求X的分布列和数学期望.【解析】(I)依题可知平面区域U的整点为(0,0),(0,±1),(0，工2),(±1,0),(±2,0)(土1,土1)共有13个,平面区域V的整点为(0,0),(0,±1>(±1,0洪有5个,(n)依题可得：平面区域U的面积为n.22=4n,1,M

20、2M2=22，p*C；1433平面区域V的面积为：在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为易知：X的可能取值为0,1,2,3,且01P(X=0)=C32-2二P(X122土C3.圉1一才干X的分布列为:012332X的数学期望：EX=0X(27r一。+仆3(27T1)2321)+3=38二38二38二38二3212分1 ,13(或者：XB(3,),故EX=np=3M=一)2 二'2二2二13、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，

21、就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为2,服用B有效的概率为-.3 2(I)求一个试验组为甲类组的概率；(n)观察3个试验组，用且表示这3个试验组中甲类组的个数，求2的分布列和数学期望。【解析】(I)设A表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只"，i=0,1,2;Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只"，i=0,1,2依题意有.1、224411_111P(A|=-=-)P(A2)T=T?P(B0),P(B1)=2T7=7,33399242221414144所求的概率为P=P(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)二4949299，,由勺分

22、布列为4,4,5c,(n)?的可能取值为0,1,2,3,且%B(3,-),P(t=k)=C：(t)k(?)k=0,1,2,39999'0123所以数学期望E=33=4.9314、盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球.规定:一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元.(I)若某人摸一次球，求他获奖励的概率；(n)若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回.，记随机变量匕为获奖励的人数，(i)求P代>1)(ii)求这10人所得钱数的期望.10(结果用分数表示，参考数据:152【解析】(D2C：1G2。15(n)(i)由题意知Lb(10,),则1514101114g1P(-,1)=1-P(=0)-P(=1)=1()C10()=一1515157(ii)设刈为在一局中的输赢，则E1=X10_14X2=-,15155所以E(10")=10E"=10父(-6)=-12，即这10人所得钱数的期望为-12.515、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出