二项式定理知识点及跟踪典型例题

1、二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）重点，难点解析1 .熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律二项式定理口+产叩+侬,叫二项式系数（0Wr硝n.通项用Tr+i表示，为展开式的第r+1项，且“产,注意项的系数和二项式系数的区别2 .掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式户0_m<rl_-rJf-Lrrl_广对称性：，：二，：.增减性和最大值：C；9二°12，勾先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为;n为奇a-1=2”】数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为J；.+C；=2Rd+C；+C：+例题分析：一、与通项有关的一些问题例1.产十的展开式

2、中，指出1）第，项的二项式系数2项的系数3）求常数项例2.若（坂+诟7的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2）求（x2+3x+2）5的展开式中x的系数.（+±-2）3例3.1）求I工I的常数项;解：例4.(a+b+c)i°的展开式中，含a5b3c2的系数为例5.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)10°的展开式中x3的系数为.二、有关二项式系数Q的问题.例6.(2x+xg)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120,则x=(/+与。例7.&的展开式中系数最大的项为第项.三、赋值法：例8,已知0-2力5=%+旬"的

3、？+%/1)求3o,2)求31+32+33+34+353)求(ao+a2+a4)-(ai+a3+as)4)求ai+as+as5)|ao|+|ai|+胤+bn=62,例9,已知Q+力+Q+x)+W+Q+hJ沌+/+必，其中b0+b1+b2+贝“n=.例10.求（2+份的展开式中有理项系数的和四、逆用公式+2出例11.求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1例12.求值:五、应用问题13.求证:32n+2-8n-9能被64整除.14 .9192除以100的余数为15 .求0.9983的近似值（精确到0.001）由式的通项产f为展开式中的第r+1项.二项式系数为管=2&

4、#176;；2）由1）知项的系数为C：味=16°3）令6-3r=0,.r=2,二常数项为'2=24°.2,分析通项为*C表前三项的系数为“2,=2C1工,且成等差，22101+-线（附7）=物，-9;s+8=Of即8解得：n=8.从而；43广工丁（0<r<8,reZ）,要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.fad35一X2=上/256（I引十;-2）8=（向-3.1）向通项令6-2r=0,r=3,常数项为“.2）（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5展开式中含x项由（x+1）5中常数项乘（x+2）5的一次项与（x+1）5的一次项乘（x+2）5的常

5、数项相加得到.即为+C：xxC；25=240K，因而其系数为240.4. 分析:根据多项式相乘的特点，从（a+b+c）10的十个因式中选出5个因式中的a,三个因式中的b,两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为或，泣=2520.5. 分析：（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成,因而系数为武+村）+年+/（C；+C；"=C；Q=©+院）+C；+十%=%+%/&】=4082925(1+.)*2q+X)为=(1+X,01/(1+X)*(法二)不妨先化简多项式，由等比数列求和公式：原式=1(1+X)X要求x3项只要求分子的X4项，因而它的系数为，血

6、.6. 分析:二项式系数最大的为第5项，4=4(2以(声)4=1120工,他*"=解得>=1或1。.7. 分析：展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法设第r+1项的系数最大，101019(尸产nf+尸¥+1父+1乙"-cio乙解得：3,22则8.分析:1)可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解(1-0)5=a0,a0=1.令x=1,贝U(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5令x=1,得a0+a1+a2+as=-1(*)3,r=7,因而第8项系数最大.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,2)3)又ao=1,-ai

7、+a2+a3+a4+a5=-2.令x=-1,得35=ao-ai+a2-a3+a4-a5(*)22因而，(ao+a2+a4)-(ai+a3+a5)=(a0+Qj+d5X(3o41+白口仪三十口4-密)=-1><35=-243.4)联立(*),(*)两方程，解得ai+a3+a5=-122.5因而|氏|+冏|+|网即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，|比|+冏|+|a|=(1+2)5=35=243.小结:求展开式的系数和只需令x=1可解；赋值法也需合情合理的转化9.分析:令x=1,则2+22+23+一+2熊崎+4+质+也,由已知，2n+1-2=62,2n+1=64,n=5.10.分析

8、:研究其通项显然当r=2k(kCZ)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和设(2+t)n=a0+at+a2t2+antn令t=1,即3n=a0+a1+a2+由令t=-1,即1=a0-a1+a2-+(-1)nanr+i上两式相加，解得奇数项系数和一11解:S=c：(k1)"；(工十+沁7)+*KE+l0412 .原式=2电九s1 1-1="(+©?+”+01卜洲+2)”=丁乙乙乙,13 .证明：护戒-“一9=泮-的-9(8+1严-的7=髀+以田+*科+4岁+48+-的-9=+C；+g+C；：短+8(丹+1)+命_9二93夕，。3/'

9、+%L)妒能被64整除.14 .分析:9192=(90+1)92二喘90%+或90"+制好斗噌90+比二(喘90始+£90。】+©902)+92x90+1=©90魏+G9091+d90)+8281被9192100除的余数为81.15 .小结:若将9产整理成(100-9)92二6Otf3+%10叭-歹+穹；10汽-9州+党100-9)'1+/久-9产=%10萨+0炉】(-处+%100(-9产+产=108+严随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.16 .解：0函=。-0.«=l-3x0.002+3乂0002

10、2-钎-3乂0002=0.9M选择题B、C、1 .（a+b+i）10的展开式中含ab的项的系数是（）2 .在（1-xh（1+x）10的展开式中，xi的系数是（）A、-297B、-252rC、2970D2073 .如果展开式（1+x）2-（1-x+x2）卜中，x3的系数是0,那么自然数k的值是（）LLLA2B、3C、4D5什（丁十=日疗田UN第白，nr八帕b曰4 .若X2展开式中第6项系数最大，则不含x的项是（）LLL八LA210B、120C、461D、4165 .在，足的展开式中，系数是有理数的项共有（）项LLr_rA4B、5C、6D76 .f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(

11、1+x)10的展开式中各项系数之和等于()AA211-2,B、211-10C211rD211+1答案与解析答案：1.C2.D3.C4.A5.A6.A解析:1 .答案：C.解法:&=C>+旷，,s，含ab的项为r=8的项，即第9项，系数为端2'”=2C；.2 .答案D.3 .答案：C解法：(1+x)2-(1-x+x2)k=(1+2x+x2)1+(x2-x)k,其中x2系数必与1+(x2-x)卜中x%xi,x2系数有关.又(1-x+x2)k的通项是：故x0的系数为C；,x'的系数为,x2的系数为C；+C；,即有+*3,k2-3k-4=0k1=4,k2=-1(舍).4.

12、答案：A解法：n=10,x3(10-x)-x_2r=1,r=6。加=210为不含x的项.71r+l5 .答案：A解法：如tr2%,2为为有理数，即40-%6为整数，则r为2,8,14,20,故有4项.6.答案：A.解法：取x=1,2+2*+23+-+210止修.22-1L在的展开式中常数项是（）.2A.28B,-7C,7D,282. （«臂看79展开式中X*的系数为（）.A.-40B-10C.40D.45（w-全国,理.文）3.在U-M1+h之的展开式申，V的系数是（）.A.-297B,一252C.297D.2071M«1S理.文）4,在9+3+2的展开式中工的系数为）.A

13、J60民240C,360D.800191*全国,）5.由（，3Iq¥2J00展开所得的工的多项式中，系数为有理数的共有（八A.50孽B.17项C.16项D.15项“3全国理，文）6.（了-1尸技的降耗排列系数最大的顼是（）.A,第四项和第五项a第五项C.第五项和第六项D.第六项193上小7*若（21+/3=口+%丁+%，+电*则（浜+也-（%+的的值为（）.A.-1B,1C.0D.2（«*±0文）8,普（2r+/T）'=4.+口11+%/+公工'+7工、则（即+/+0*）*（%+可产的值为f八A.1B.-1C.022网*嚏国，事）答窠:1 .答案：

14、选C.本小题考杳二项式定理的概念及应用(MJTrO=G<Y>'<*令8l：=0解幅r=6二丁尸口，*(-1)'=7.故选C2答选D.本小题考去二项式定理.(«(/r+i)y-i”(/+4丁+&J+4.+1)(*'51*+107lQr*+5mI)由多个式索法知工的系B1是1T-10)+61。+17-5)=45,故者D.说第本电维度系数是Q.56.通过率较低*看来很多考生处理方法不对.用I.二*式定理屋开再作案法是最基本的作法：不要特别技巧，却是铮.最可喜的作法.3.答送D.本小疆考森二事式定同的有关知识.M】欲求(I-，)(1+工评的展

15、升式中/的系数，只索求出(1+工产展仟式中一和1的系数.而“+工产=(】+Cq/+。°丁+)，故卢曜知式中的果敢是a.-CA»=2O7,所以造口.一本题与上一题(93试题1类M,得分率为0.85,有大福提高.某一母的某类优题答的不好，以后重复科号,也是高考命危的特点.4*fftfiB*率小意考完二项式定理的知识及运算值力.IKO能13+沙+2)-5+1)“才+2户=(+”+*4IMx*+5*2*+2“./的系数是52.+152,-24d故选B.2(工'+3工+2),=0(，寸3)+2了/(1+2p+)口+3)2*+Cl-2上式中只有虞=(1+3)2,中有含丁的项”的

16、系数是C*3一二2小说明关于二次三里式展忏式的向依,或如X法I,将二次三项式分醇因式每个困式及开，然后求枳，或如解法2,用母带号的方法,出用丽式定拌履升.105 .答：选B年小题考有二项式定理的知识和推理运算的亚力（Ml兀产好31V一2。=a.33"I21J1*收开式系数为有理数,只要r是6的倍数，且OrClOO,取-0,1X6.2X6.16X6*系数为有理数的现有17项故选B.6 .答：选B.本小题考查二项式定理及二项式系数的性质，【解】（一1）*的展开式共有10项,中间两项第五项、第六项的二项式系数相等并且最大,（#一1户的履开式的各项系数的绝对值等于它二项式的系数，且优开式的奇

17、数项系数为正，偶数项系数为负所以第五项二项式系数大7,答*选A本小胭考看二项式定理的知识.【解】解法1（勿+C/=媪+12/TV+18i+3/T，所以u.H31*山工】8山=12/33»，Q.+。，*一（山+小户工3JT+12/T»-nB+BUn-】故选A*解法2令.r=I*（2+v3P=u“+ui+出+山，i令-I（2+/T尸h“,一T+/一为.二Q“十出（叫+为'（加+5+四+5+"厂”。/=（2+ZT（-2+/!）*-（/3"-2"1-=I.8答；选A.本小睡考查二项式定理的有关知识【解】X法11由二项式定理，十JT）*9+24/3