二项式定理学案

1、1.3二项式定理二项式定理及其相关概念(一)二项式定理(a+b)n=(nwN*)上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中C：(r=0,1,2,n)叫做,叫做二项展开式的通项，用符号表示，即通项为展开式的第项.公式特征：(1) 项数：(2) 指数规律：各项的次数都等于二项式的系数(关于a与b的齐次多项式)字母a按降哥排列，次数由递减到；字母b按升哥排列，次数由递增到(3) 二项式展开式的通项：，k=0,1,2,，n(4) 二项式系数：依次为。这里Ck(k=0,1,2,，n)称为二项式系数探究一二项式定理的正用与逆用典例1(1)写出?5+七，的展开式；(2)化简：

2、(x-1)5+5(x1)4+10(x1)3+10(x-1)2+5(x-1).(1)跟踪训练1的展开式。2,化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A.(2x+2)5B.2x5C.(2x1)5D.32x5探究二求展开式的特定项33、例1已知在版-n的展开式中，第6项为常数项.求n;(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.小11亡疗3.例2x的展开式中X的系数和中间项IX；跟踪训练212 .在(2而亍)6的展开式中，求:x第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项及项数.当堂检测1.(x+2)6的展开式中x3

3、的系数是()A.20B.40C.80D.16025必的展开式的常数项是()A.20B.20C.40D.-403 .(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28B.56C.112D.2244.使CN*)的展开式中含有常数项的最小的n为(A.4B.5C.6D.75 .若二项式匕x+x，的展开式中5的系数是84,则实数a=(A.2B.54c.12D76 .求(12x)15展开式的前4项；7 .在5乂2：；6的展开式中，中间项是8.¥9的展开式中，第4项的二项式系数是,第4项的系数是的展开式中的常数项二项式定理的综合应用例1.设(x握)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1：2,求含x2

4、的项.例2.求(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数跟踪训练1.(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为A. a=2,b=1,n=5B. a-2,b-1,n=6C.a-1,b=2,n=62.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中D.a=1,b=2,n=5x2的系数为5,则a=()A.-4B.3C.2D.整除或余数问题例1.求证：51511能被7整除.例2.1012008除以100的余数是多少?跟踪训练20091. )8除以7的余数是(2)证明99100-1能被1000整除.当堂检测1 .设aCZ,且0W

5、a<13,若512012+a能被13整除，则a=()A.0B.1C.11D.122. (x2+2)(41)5的展开式的常数项是()'x'A.-3B2C2D.33. (1+3x)n(其中nCN且n>6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n=()A.6B.7C.8D.94. (xy)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)5. 在(x+My)20的展开式中，系数为有理数的项共有项.6. 已知(仅十的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14：3,则展开式中的常数项为.7,用二项式定理证明1110-1能被100整除.展开式第9项与第10

6、项二项式系数相等，求x的一次项系数.10.在二项式9.若二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,求a的值.n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项.1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质二项式系数的性质:C：=C：*(0Mkwn).C：=C；C：；(0wken一1).nn若n是偶数，有C：<C：<<Cn>ACn,>C：,即中间一项的二项式系数C：最大.n-1n1若n是奇数，有C0<C：<<C7=C/>>C：>Cnn,即中项二项的二项式系数nn1C

7、：和Cn2相等且最大.各二项式系数和：2n=C：c：c；C；C：在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:C0C2=C3=2n探究一系数配对例1.(x2+1)(x2)7的展开式中x3项的系数是.跟踪训练(x+2)%21)的展开式中x10的系数为(用探究二系数和差型例1.设(1-2x)5=a0+ax+a2x2+a3x3+a4x4+asx5.求：(1)a1+a2+a3+a4+a§的值；(2)a1+a3+a5的值；(3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值.跟踪训练2 .若(x23x+2)5=a0+ax+a»2+,+a10x10.(1)求

8、a1+a2+，+a10；(2)求(a0+a2+a4+a6+as+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a。2.当堂检测1.已知(2x)10=a0+a1x+a2X2+,+a10x10,则a8等于()A.180B.180C.45D.-452,若(1+&)5=a+b/(a,b为有理数)，则a+b=()A.45B.55C.70D.803 .(1+x)+(1+x)2+,+(1+x)n的展开式中各项系数和为()A.2n+1B.2n1C.2n+11D.2n+1-24 .若(12x)2015=a0+ax+，+a2015x2°15(xCR),则尹罗+,+黄需的值为()D.-2A.2B.0C.-

9、1f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)D.800D.455,在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2106 .在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为A.160B.240C.3607 .(jx+1)4(x1)5展开式中x4的系数为A.-40B.10C.408,若(x2)5=a5x5+a4x4+2冰3+a»2+a1x+a0,则a+a2+23+a4+a§=.(用数字作答)9 .(x1)(x1)2+(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数是10 .若(1一2x)2004=a0

10、+ax+a2x2+,+a2004x2004(xCR)，则(a0+a)+(a0+a2)+(a0+a3)+,+(a0+a2004)=.(用数字作答)11、已知(1-2x)7=%+a1x+a2x2+a7x7,求下列各式的值。(1) a1+a2*a3+*a?;(2) a,a3a5a7；22(3) (a。a2a4a6)-(&a3a5a7);(4)现十a2+a3+十a7探究一与“杨辉三角”有关的问题例1.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:Sn,求S16的值.1,2,3,3,6,4,10,5,，记其前n项和为跟踪训练1.如图所示，满足第n行首尾两数均为n;表中的递推

11、关系类似杨辉三角，则第n行(n>2)的第2个数是.12 23 434 7745 11141156 162525166探究二二项展开式系数最值问题例1.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.跟踪训练.已知(版+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求gxX的展开式中：二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.当堂检测1.如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为133565711117918221892 .在（ab）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（）A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项3 .在(x、5)2006的二项展开式中，含X的奇次哥的项之和为S,当X=J2时，S等于()30083008o30093009A.2B.一2C.2D.一24 .设(x2+1)(2x+1)9=a0+a(x+2)+a2(x+2)2+,+a1(x+2)11,则a0+a+a2+,+a1的值为()A.-2B.-1C.1D.22_2545 .代数式(4x-2x-5)(x+1)的展开式中，含x项的系数是A.30B.30C.70D.903236 .若对于任意实数x,有x=a0+a(x2)+az(x2)+a3