中考二轮复习资料之证明两角相等的方法

1、中考二轮复习之证明两角相等的方法【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：(1)对顶角相等；(2)等角的余角(或补角)相等；(3)两直线平行，同位角相等、内错角相等；(4)凡直角都相等；(5)角的平分线分得的两个角相等.2、三角形(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一)；(3)三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和(4)全等三角形的对应角相等；(5)相似三角形的对应角相等.3、四边形(1)平行四边形的对角相等；(2)菱形的每一条对角线平分一组对角；(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆(1)在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两

2、条弦相等，那么它们所对的圆心角相等;(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.，圆心角相等.(3)圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(4)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角ED±(5)三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角(6)正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角(7)从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;5、利用等量代换、等式性质证明两角相等6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】(一)利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CDLAB于

3、点D,BELAC于点E,BE与CD交于点O,且BDCE.求证：AO平分BAC.例2如图，在四边形ABCD中，AD/BC,E是四边形内一点,AD,BE=DC,ZECB=45求证：/EBC=/EDCABCD中AC=BD,CD/BA,四边形AEBC例3如图，已知四边形是平行四边形.求证：/ABD=/ABE.(二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4.已知：4ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG±CE,G是垂足,例5如图，直线AC/BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA,PB,

4、构成PAC,APB,PBD三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.)(1)当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD;(2)当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立(直接回答成立或不成立)？(3)当动点P在第部分时，全面探究PAC,APB,PBD之间的关系，并写出动（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在ABC中，AB=AC,E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使，连结FC.求证：/F=ZA.（四）利用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，AbAg,AD±BC.求证：（

5、1）ZEAF=ZAFE(2)BE=AE=EF例8已知：如图，AD为锐角4ABC外接圆的直径，AEXBC于E,交OO于F。求证：Z1=Z2例9已知：如图，AB为。O的直径，AC为弦,=AC,BE交。O于点F,连结EF、DE.求证：(1)AE2=ADAB;CDLAB于D,若AE(2)ZACF=ZAED.(五)利用三角函数求两角之间的关系2.-例10已知抛物线yaxbxc的B两点(点A在点B的左边)，与y轴过点C作x轴的平行线与抛物线交于点BCEM匆象与x轴父十A、/%V/i交十点C(0,3),/,D,抛物线的顶点/为M,直线y=x+5经过D、(1)求此抛物线的解析式；(2)连接AM、AC、BC【智

6、能巧练】L如图，ABC中，/B的平安ZA的比是2.已知，如图，在ABC中，求证：ZACD=/ABC。3.如图，已知：平行四边形F是AC延长线上的点，且11aT1H1bM两点./-，试比较/MAB和/ACB的大小，并说明你的理由.线与/ACB的外角平分线相交于点D,则/D与AC2=ADAB。/飞6*ABCD中，E是CA延长线上的点，AE=CF&ADBCkF求证：/E=/F;BE=DF4.如图，4ABC中，高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF,求证：AGXAF第4题第5题5.RtAABC中，/A=90,AB=AC,D为BC上任意一点，DFAB,DEXAC,垂足分别为F、

7、E,M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并说明之6 .已知：如图，AD是3BC外角/EAC的平分线，交BC的延长线于点长DA交祥BC的外接圆于点F.求证：/FBC=/FCB;若FA273,AD4/3,求FB的长.7 .如图，已知直线AB过圆心O,交。于A、B,直线AF交。于F（不与B重合），直线l交。于C、D,交AB于E,且与AF垂直，垂足为G,连结AC、AD.求证：/BAD=/CAG;ACAD=AEAF.在问题中，直线l向下平行移动，与。O相切，其他条件不变.请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.8 .如

8、图，OO的内接4ABC的外角/ACE的平分线交。O于点D,DF，AC,垂足为F,DE±BC,垂足为E,给出下列4个结论：CE=CF;/ACB=/EDF;DE是。O的切线；AD=BD;其中一定成立的是（）A.B.C.D.9 .已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC,E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于K、H求证：/BKE=/CHE10 .已知：AB是。O的直径，弦CDXAB于M,点E是ACB上一动点.如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE,2求证：/CED=/ADEDN=NFNE2如图2,若DE与AC的延长线交于F,且D

9、E=AC,那么DN=NFNE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.【自主检测】1 .已知如左图，在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,M为AC的中点,AD±BMo求证：/AMB=ZDMC2 .如右图在ABC中，EFXAB,CDXAB,G在AC边上并且/GDC=ZEFB,求证：ZAGD=ZACBDE3、如图，4ABC内接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于巳求证：ZABD=ZAEC4、已知：AB是。的直径，C是。上一点，连接AC,过点C作直线CDLAB于点D,E是AB上一点，直线点G.求证：ZACD=ZF.证明两角相等的方法【重点解读】证明两角相等是中考命题中

10、常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法，仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：(1)对顶角相等；(2)等角的余角(或补角)相等；(3)两直线平行，同位角相等、内错角相等；(4)凡直角都相等；(5)角的平分线分得的两个角相等.2、三角形(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一)；(3)三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和(4)全等三角形的对应角相等；(5)相似三角形的对应角相等.

11、3、四边形(1)平行四边形的对角相等；(2)菱形的每一条对角线平分一组对角；(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等4、圆(1)在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.，圆心角相等.(3)圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(4)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角(5)三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角(6)正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角(7)从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；

12、5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】(一)利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CDLAB于点D,BELAC于点E,BE与CD交于点O,且BDCE.求证：AO平分BAC.分析：要证AO平分BAC,因为CDLAB于点D,BEXAC于点E,所以只要证明OD=OE;若能证明若能证OBD0/OCE即可，因为可证ZODB=/OEC=90。，/BOD=/COE,而BD=CE,故问题得至U解决.证明：.CDAB于点D,BEXAC于点EJDDB=ZOEC=90°在AOBD和4OCE中/ODB=zoecZBOD=/COEBD=CE.ZOBD/OCE

13、.OD=OE.CD±AB于点D,BE，AC于点E.AO平分BAC.说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2如图，在梯形ABCD中，AD/BC,E是梯形内一点，EDXAD,BE=DC,ZECB=45o.求证：/EBC=/EDCDE与BC交于点于点F,这分析：要证明/EBC=/EDC,容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长样就很容易证BEFzDCF,从而问题得到解决。证明：延长DE与BC交于点于点FAD/BC,EDXADDFXBCZBFE=ZDFC=903 ZECB=450ZECB=ZCEB=450.CF=EF在RtABEF和R

14、tRCF中EF=CF,BE=DC4 .Rt怎EF至t垣CF5 .ZEBC=ZEDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD/BA,四边形AEBC是平行四边形.求证：/ABD=/ABE.分析：要证/ABD=/ABE,若能证ABD0BE即可.因为可证,不二BE=AC=BD,AE=BC=AD,而AB为公共边，故问题得到解决.证明：:四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC,AC=BD.k四边形AEBC是平行四边形，BC=AE,AC=BE.AD=AE,BD=BE.又.AB=AB,.必BD3BE."BD=/ABE.说明：本例通过运用等腰梯形的

15、性质来证明三角形全等从而证明两角相等.总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4.已知：4ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG±CE,G是垂足，求证：G是CE的中点；/B=2/BCE.A分析：已知中多垂直和中线条件,可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DGLCE,符合等腰三角形三线合一中的两个条件,故连结DE,证明4DCE是等腰三角形，由DGLCE,可得G是CE的中点.由直角三角形斜

16、边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,ZB转化为/EDB.证明：连结DE,"DB=90°,£是AB的中点，DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），X/DC=BE,.1.DC=DE,又.DG±CE,.G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.DE=DC,ZDCE=/DEC（等边对等角）,.ZEDB=ZDEC+ZDCE=2/BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），X/DE=BE,，/B=/EDB,./B=2/BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以

17、下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例5如图，直线AC/BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA,PB,构成PAC,APB,PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.）（1）当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD；（2）当动点P落在第部分时,APBPACPBD是否成立（直接回答成立或不成立)？(3)当动点P在第部分时，全面探究PAC,APB,PBD之间的关系，并写出动分析：本题主

18、要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质(1)解法一：如图1延长BP交直线AC于点E AC/BD,/PEA=/PBD. /APB=/PAE+/PEA,/APB=/PAC+/PBD.解法二：如图2过点P作FP/AC,/PAC=ZAPF. AC/BD,.FP/BD.ZFPB=/PBD./APB=ZAPF+ZFPB=/PAC+/PBD.解法三：如图3, AC/BD,/CAB+/ABD=180°即/PAC+ZPAB+ZPBA+/PBD=180°.又/APB+ZPBA+ZPAB=180°,/APB=/PAC+/PBD.(2)不成立.(3) (a)当动点P在射线BA的右

19、侧时，结论是ZPBD=ZPAC+/APB.(b)当动点P在射线BA上，结论是/PBD=/PAC+/APB.或/PAC=/PBD+/APB或/APB=0°,/PAC=ZPBD（任写一个即可）.（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是/PAC=ZAPB+ZPBD.选择（a）证明：如图4,连接PA,连接PB交AC于M AC/BD,/PMC=ZPBD.y.ZPMC=/PAM+"PM,ZPBD=/PAC+/APB.选择（b）证明：如图5.点P在射线BA上，ZAPB=0; AC/BD,.ZPBD=/PAC.ZPBD=/PAC+ZAPB或/PAC=ZPBD+ZAPB或/APB=0

20、6;,zPAC=ZPBD.选择（c）证明：如图6,连接PA,连接PB交AC于F AC/BD,zPFA=ZPBD. /PAC=ZAPF+ZPFA,/PAC=ZAPB+ZPBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和,外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在那BC中，AB=AC,E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED

21、,并延长ED到点F,使，连结FC.求证：/F=/A.分析：要证明/F=ZA,由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。证明：.AB=ACzABC=ZACB.EB=EDzEBD=ZEDBzEDB=ZACB.EF/ACE是AB的中点.AE=EB .DF=DE,EB=ED.AE=EB=DF=DE .AE+EB=DF+DE即AB=EF .AB=AC.EF=AC又EF/7AC 四边形AEFC是平行四边形zF=/A说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。（四）利用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，AbAg,AD±BC.求证：（1）ZEAF=ZAFE（2）BE=

22、AE=EF分析：由bc是直径，得到/bac是直角，再利用AbAg,得至ij/ABE=/BAE;再证/EAF=/FAE。证明：(1).BC是直径ZBAC=900ZABE+ZEFA=900,ZBAE+ZEAF=900.AbAgzABE=/BAEzEAF=ZAFE(2)略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等例8已知：如图，AD为锐角4ABC外接圆的直径，AELBC于E,交。于F。求证：/1=/2分析：Z1和/2分别是Bd和Cf所对的两个圆周角，故只需证由于/2+ZC=900,联想到把/1放到直角三角形中，连结可得/ABD=900,从而问题得证。证明：连结BD.AD为直径，&qu

23、ot;BD=900./+ZD=900.AEXBC于E/+ZC=900ZC=ZD./=Z2总结：此题关键是见直径构造900的圆周角?d=Cf，但不易证明,BD,DFF例9已知：如图，AB为。O的直径，AC为弦，CDXAB于D,若AE=AC,BE交。O于点F,连结EF、DE.求证：(1)AE2=ADAB;(2)ZACF=ZAED.分析：（1）因为AE=AC,要证AE2=ADAB,实际上证AC2=ADAB,可转化成比例式,放入三角形中用相似三角形来证明。(2)欲证/ACF=/AED,又知/ACF=/ABE,贝U只需证/AED=/ABE,由(1)得MDEZAEB,对应角相等得证证明：（1）连结BC.

24、.AB是。的直径，/ACB=90°又CD，AB于D,.ZADC=90°而/CAB=/DAC,.且ABs/dac.AC些，AC2-ADAB.ADAC又AE=AC,，AE2=ADAB.ABAEcAE(2)由(1),AE2=ADAB,AD在AAED和AABE中，ZEAB=ZDAE, ZEABs/DAE.1.ZABE=ZAED.而/ABE=/ACF, .zACF=ZAED.总结：圆周角定理可提供等角、直角等结论,进而可用于相似三角形判定，从而可得比例式,求线段长等结论，解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容，并适时添加辅助线。（五）利用三角函数求两角之间的关系2例10已知抛物

25、线yaxbxc的图象与x轴父于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D、M两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)连接AM、AC、BC,试比较/MAB和/ACB的大小，并说明你的理由.解：(1).CD/x轴且点C(0,3),设点D的坐标为(x,3).;直线y=x+5经过D点， -3=x+5.x=2.即点D(2,3).根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M(1,y),又,直线y=x+5经过M点, .y=1+5,y=4.即M(1,4).2 设抛物线的解析式为ya(x1)4.丁点C(0,3)在抛物线上，a=-1

26、.即抛物线的解析式为yx22x3.(2)作BPXAC于点P,MN±AB于点N.2一一一由(1)中抛物线yx2x3可得点A(3,0),B(1,0),.AB=4,AO=CO=3,AC=3后.ZPAB=45"BP=45°,.PA=PB=2>/2.PC=ACTA=丘.在Rt旭PC中，tanZBCP=PB=2.PC在Rt必NM中，.M(-1,4),.1.MN=4.，AN=2.tanZNAM=2.AN.ZBCP=ZNAM.即/ACB=/MAB说明：本例第二问判断/ACB和/MAB的大小关系是通过构造直角三角形，通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如

27、果不能用全等等方法来寻找思路时，不妨从直角三角形入手，分别计算所求角的三角函数值，从而使问题得到解决.同时还要注意通过一些特殊的点，可能构成特殊的三角形。【智能巧练】L如图，4ABC中，/B的平分线与/ACB的外角平分线相交于点D,则/D与2.1. 知，如图，在ABC中，AC2=ADAB。t>Z求证：ZACD=/ABC。4.如图，4ABC中，高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF,3.如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点,F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：/E=/F;BE=DF求证：AGXAF第4题第5题5.RtAABC中，/A=90,AB=AC

28、,D为BC上任意一点，DFAB,DEXAC,垂足分别为F、E,M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并说明之6 .已知：如图，AD是那BC外角/EAC的平分线，交BC的延长线于点D.延长DA交二ABC的外接圆于点F.求证：/FBC=/FCB;若FA26,AD4向，求FB的长.7 .梯形ABCD中AB/CD,对角线AC、BD垂直相交于H,M是AD上的点，MH所在直线交BC于N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题.AD=BCMN±BCAM=DM8 .如图，已知直线AB过圆心O,交。于A、B,直线AF交。于F（不与B重合），

29、直线l交。于C、D,交AB于E,且与AF垂直，垂足为G,连结AC、AD.求证：/BAD=/CAG;ACAD=AEAF.在问题中，直线l向下平行移动，与。O相切，其他条件不变.请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理9 .如图，OO的内接ABC的外角/ACE的平分线交。O于点D,DFAC,垂足为F,DEXBC,垂足为E,给出下列4个结论：CE=CF;/ACB=/EDF;DE是。O的切线；AD=BD其中一定成立的是（）DA.B.C.10 .已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC,E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延

30、长线分别与EF的延长线交于H、G.求证：/BHE=/CGE11.已知：AB是。O的直径，弦CDXAB于M,点E是ACB上一动点.如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE,求证：/CED=/ADEDN2=NFNE如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC,那么DN2=NFNE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由【答案点击】1.1：2;2.证明AACDs逸BC;3.证明ABECDF,或连结ED、FB,证明平行四边形EBFD;4.证明CAGZZBFA,，/G=/BAF,/G+/GAE=90°,.zBAF+/GAE=90°,.AGAF;5

31、.AMEF是等腰RtA,连结AM,ffiAAMEBMF6、ZDAC=ZFBC,ZEAD=ZFAB=ZFCB,/ZDAC=ZEAD,.ZFBC=/FCB证明FBAs/FDB,得FB=67、题设结论证明略8、略，连结DF,可证得ACEs公FD,结论仍成立.9、分析可证得CDF/CDE,得CE=CF成立；/ACB和/EDF（无直接关系，找相关的角）：/ACB与/ACE邻角互补，/EDF也和/ACE互补（四边形的内角和360°）,同角的补角相等，即/ACB=/EDF;AD所对的圆周角为/DCA,BD所对的圆周角为/DAB,/DAB=ZDCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又/DCA=ZDCE,ZDCA=ZDCE,AD=BD,故选D.一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题10、提示：连结BD,取BD