高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 文

1、第二节等差数列及其前n项和总纲目录教材研读1.等差数列的定义2.等差数列的通项公式3.等差中项4.等差数列的常用性质5.等差数列的前n项和公式6.等差数列的前n项和公式与函数的关系7.等差数列的前n项和的最值考点突破考点二等差数列的判定与证明考点一等差数列的基本运算考点三等差数列性质的应用考点四等差数列的前n项和的最值1.等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第二项第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).教材研读教材研读2.等差数列的通项公式等差数列的通项

2、公式等差数列an的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项等差中项如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.2ab4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列.(5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列.5.等差数列的前等差数列的前n项和公式项

3、和公式等差数列an的前n项和Sn=或Sn=na1+.1()2nn aa(1)2n nd6.等差数列的前等差数列的前n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系Sn=n2+n.数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A、B为常数).2d12da7.等差数列的前等差数列的前n项和的最值项和的最值在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最大大值;若a10,则Sn存在最小小值.与等差数列有关的结论与等差数列有关的结论(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*),p+q=m+nap+aq=am+an(p、q、m、nN*).(2)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+

4、Sn+mnd.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列.(4)=n+是关于n的一次函数或常数函数,数列也是等差数列.(5)若非零等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,奇数项之和为S奇,偶nSn2d12danSn数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.(6)若非零等差数列an的项数为奇数2m-1,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.(7)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).SS偶奇1mmaaSS奇偶1mm1.等差数

5、列11,8,5,中-49是第()A.19项B.20项C.21项D.22项C答案答案Ca1=11,d=8-11=-3,所以an=11+(n-1)(-3)=-3n+14.由-3n+14=-49,得n=21.故选C.2.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为()A.1B.2C.3D.4答案答案B设公差为d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故选B.B3.等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于()A.1B.C.-2D.353C答案答案CS3=6=(a1+a3),且a3=a1+2d,a1=4,d=-2,故选C.324.已知p:数列a

6、n是等差数列,q:数列an的通项公式an=k1n+k2(k1,k2均为常数),则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C答案答案C若an是等差数列,不妨设公差为d.所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,令k1=d,k2=a1-d,则an=k1n+k2,若数列an的通项公式an=k1n+k2(k1,k2为常数,nN*),则当n2且nN*时,an-1=k1(n-1)+k2,所以an-an-1=k1(常数)(n2且nN*),所以an为等差数列,所以p是q的充要条件.5.小于20的所有正奇数的和为()A.64B.81C.100D.121C答案答案C

7、设小于20的正奇数构成的数列为an,则an是以a1=1,公差d=2的等差数列,an=2n-1.由an19,得n10,即共有10个数,S10=100.故选C.10 (1 19)21010 910 121002S 或6.设Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.-1答案答案-1解析解析由题意知解得所以a5=a4+d=1+(-2)=-1.1116 526,231,adadad17,2,ad 典例典例1(1)(2017课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8(2)(2017安徽合肥模拟)已知an

8、是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10D.12(3)若等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+a7的值是()A.20B.36C.24D.72172192考点一等差数列的基本运算考点一等差数列的基本运算考点突破考点突破答案答案(1)C(2)B(3)C解析解析(1)等差数列an中,S6=48,则a1+a6=16=a2+a5,16() 62aa又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.(2)由S8=4S4得8a1+1=4,解得a1=,a10=a1+9d=,故选B.(3)由a2+

9、S3=4及a3+S5=12,得解得a4+S7=8a1+24d=24.故选C.8 7214 3412a1219211444,61212,adad10,1,ad方法技巧方法技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用的解题方法.1-1设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=()A.5B.6C.7D.8D答案答案D由题意知Sn=na1+d=n+n(

10、n-1)=n2,则Sn+2=(n+2)2,因为Sn+2-Sn=36,所以(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.(1)2n n1-2设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6C答案答案C数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列也为等差数列.+=,即+=0,解得m=5,经检验,m=5为原方程的解.故选C.nSn11mSm11mSm2mSm21m31m典例典例2(2017贵州贵阳模拟)已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求an的通项公式.na

11、n考点二等差数列的判定与证明考点二等差数列的判定与证明解析解析(1)由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)证明:由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得=2,即-=2,所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列,则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.1(1)(1)nnnanan n11nannannan11anan规律总结规律总结等差数列的四种判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+

12、1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列.2-1若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求证:是等差数列;(2)求数列an的通项公式.121nS解析解析(1)证明:当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-

13、2SnSn-1,又易知Sn0,所以-=2,又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得=2n,Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=-.当n=1时,a1=不适合上式.故an=1nS11nS11S11a1nS1nS12n12n12(1)n12 (1)nnn n 12 (1)n n 121,1,21,2.2 (1)nnn n典例典例3(1)(2017湖南五市十校联考)已知Sn是数列an的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=()A.72B.88C.92D.98(2)已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.考点

14、三等差数列性质的应用考点三等差数列性质的应用命题方向一等差数列项的性质的应用命题方向一等差数列项的性质的应用答案答案(1)C(2)21解析解析(1)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列an是公差为3的等差数列,因为a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8=8a1+d=92.(2)因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.8 72典例典例4(1)在等差数列an中,a1=-2018,其前n项和为Sn,若-=2,则S20

15、18的值等于()A.-2018B.-2016C.-2019D.-2017(2)设等差数列an的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=.1212S1010S命题方向二等差数列前命题方向二等差数列前n项和的性质的应用项和的性质的应用答案答案(1)A(2)114解析解析(1)由题意知,数列为等差数列,且公差为1,所以=+(2018-1)1=-2018+2017=-1.所以S2018=-2018.(2)因为an是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.又2(

16、S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),nSn20182018S11S即2(45-3)=(3+12)+(S12-45),所以S12=114.方法技巧方法技巧等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列an中,am-an=(m-n)d=d(mn),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.mnaamn3-1设数列an,bn都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于()A.0B.37C.100

17、D.-37C答案答案C设an,bn的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以an+bn为等差数列.又a1+b1=a2+b2=100,所以an+bn为常数列.所以a37+b37=100.3-2(2018安徽合肥质检)等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=.nnST231nn1111ab2132答案答案2132解析解析由等差数列前n项和的性质,得=.1111ab2121ST2 213 21 12132典例典例5(1)在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的为()A.S

18、15B.S16C.S15和S16D.S17(2)设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=.考点四等差数列的前考点四等差数列的前n项和的最值项和的最值答案答案(1)A(2)130解析解析(1)S10=S20,10a1+d=20a1+d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.当n=15时,Sn取得最大值.(2)由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,n5时,an0,当n5时,an0,|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15)=20+110=130.10 9220 192(1)2n n方法技巧方法技巧求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法:当a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;当a10时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.10,0mmaa10,0mmaa4-1设等差数列an的前n项和为Sn,且=,则当Sn取最大值时,n的值为()A.