一,自变量趋于有限值时函数的极限ppt课件

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数的极限(17)( ),yf x自变量变化过程的六种形式:对趋于有限值趋于无穷大一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx机动 目录 上页 下页 返回 完毕

2、定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有假设记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:AAAx0 xy)(xfy 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x0 xy)(xfy AAA0 x0 x01x02x12min, 取例例1. 证明证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因而0limxxCC总有机动 目录 上页 下页 返回

3、完毕 由于重要结论重要结论: 常数的极限就是它本身常数的极限就是它本身.证毕.由函数极限存在函数局部有界(P36定理2) Axf)( ),Af xA可得这表明:例例2. 证明证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x要使,0取,2则当10 x时 , 必有不等式1) 12()(xAxf因而,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 由于成立,证毕.例例3. 证明证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 2112xx因而211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 由于成立

4、,必有不等式证毕.注意注意: 本题中在处无定义.这表明函数在一点处有无定义 , 与函数在该点处有无极限无关! 211xf xx1x 例例4. 证明证明: 当当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx要使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因而,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 由于成立,证毕.2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 假设假设,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证

5、: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P37定理3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 假设,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx(P37 推论)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回

6、完毕 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A证证: 用反证法用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)考虑: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不是不是! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xf

7、Axfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋

8、于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,假设,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或( )f xA XxXx或记作,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 A 为函数注意注意:xX( )f xA即为:即为:也即为:AxfA)(1X2XAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:取12max,XXX机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxy)(xfy AAAXX直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线.Axfx)(lim例例6. 证明证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx

9、01x因而01limxx注注:就有故,0要使,01x即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .10的水平渐近线为xyy由于成立,证毕 .直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，xxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1yoxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 4 .lim( )xf xA lim( )lim.xxf xf xA内容小结内容小结1. 函数极限的及X定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xf