一阶线性微分方程1ppt课件

1、 第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：( )0,Q x 当当称为齐次线性微分方程称为齐次线性微分方程. .称为非齐次线性微分方程称为非齐次线性微分方程. ., 0)( xQ当当一、线性微分方程一、线性微分方程例如例如,2xydxdy dxxttdt2sin, 32 xyyyyycos1 线性的线性的; ;非线性的非线性的. .一般形式一般形式未知函数及其导数都是一次的微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程. . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通

2、解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1.1.齐次线性微分方程齐次线性微分方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法( (分离变量方程分离变量方程) )0y 若若，分分离离变变量量后后得得0.y 也也是是方方程程的的解解，并并且且在在通通解解中中2. 2. 非齐次线性方程非齐次线性方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论 yy x , 设设非非齐齐次次方方程程的的解解为为 ().P x dxyu x e 非齐次方程通解形式：非齐次方程通解形式： ( )P x dxy xxe 则则必必是是 的的函函数数. .则它为齐次线性方程的解则它为齐次线性方程的解. .启发启发与齐次线性方程的通

3、解相比与齐次线性方程的通解相比: :)(xuC ()P x dxyCe 若是一个常数，若是一个常数， dxxPexuy)()( )( )( )( )( )P x dxP x dxyu x eu xP x e 假设假设是非齐次方程的解，是非齐次方程的解， ( )u x 是是待待定定函函数数代入代入( )( )dyP x yQ xdx ( )( ) ( )P x dxP x u x eQ x 从而得从而得 (),P x dxuxQ x e 所以所以 (),P x dxu xQ x edxC 左边左边右边右边代回代回, ,得非齐次方程的通解得非齐次方程的通解 ( )( )P x dxP x dxye

4、Q x edxC 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程()()( )P x dxP x dxyeQ x edxC dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法常数变易法. .的通解为的通解为: :( )( )dyP x yQ xdx 通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次线性方程的通解线性方程的通解通解公式通解公式的方法称为的方法称为0 C两种解法：两种解法： 套用公式套用公式常数变易法常数变易法 1sin.xyyxx 求求方方程程的的通通解解,1)(xxP ,sin)

5、(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1套用通解公式套用通解公式()()( )P x dxP x dxyeQ x edxC xln1xex 解解2 2 用常数变易法用常数变易法1sinxyyxx 10yyx 对应的齐次线性方程对应的齐次线性方程通解为通解为dydxyx lnlnlnyxC .Cyx * ,uCuyx 将将 换换成成 ，即即令令代入原方程，得代入原方程，得21sin+,uuuxxxxxx sin ,ux 即即sincosuxdxxC 代回代回 *所求通解为所求通解为 1cos.yCx

6、x与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长之长例例2 2 如下图如下图, , 平行于平行于y y轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线)(xfy ) 0(3 xxy数值上等于阴影部分的面积数值上等于阴影部分的面积, ,求曲线求曲线 . .( )yf x ,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解微分方程微分方程xyox3xy )(xfy PQ由题意，有由题意，有即即 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex0|0,xy 由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 求解微分方程求解微分方程一阶线性方程一阶线性方程由

7、通解公式，得由通解公式，得二、伯努利方程二、伯努利方程324dyyx ydxx 求求方方程程的的通通解解. .2y方方程程两两边边同同除除以以, ,得得3214 1dyxy dxx y 211dydy dxdxy 注注意意到到1zy 令令， 则则34dzzxdxx 关于关于 的一阶线性方程的一阶线性方程z例例由一阶线性方程的通解公式，得由一阶线性方程的通解公式，得443+dxdxxxzex edx C 代回原变量，得代回原变量，得故故所所求求方方程程的的通通解解为为 3441+xx dx Cx 84118xCx4818xyxC 324dyyx ydxx1zy 令令34dzzxdxx 84111

8、8xCyx 0,1ndyP x yQ x yndx 1nndyyP x yQ xdx变变形形-关于新变量的一阶线性方程关于新变量的一阶线性方程1 nzy 令令， 1ndzdyn ydxdx 则则 11dzn P x zn Q xdx 伯努利方程的一般形式：伯努利方程的一般形式：解法：解法：作变量代换作变量代换原方程变为原方程变为求出通解后，将求出通解后，将 代回即得代回即得. .nyz 124.dyyxydxx求求方方程程的的通通解解,412xyxdxdyy ,zy 令令,422xzxdxdz 2,2xzxC解解得得24.2xyxC即即解解y两两端端除除以以，得得例例 3 3由通解公式，得由通

9、解公式，得222+2dxdxxxxzeedx C 12dydydxdxy 1dydxxy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量，得分离变量，得,)1ln(Cxuu ,uxy 将将代代回回所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或例例4 4 求解微分方程求解微分方程变量代换变量代换另解另解dxxydy方方程程变变形形为为关于关于x x的一阶线性方程的一阶线性方程1dydxxy dxxydy即即+dydyxeyedy C 11yyyeeyCCey 通解为：通解为：一、一阶微分方程的解法一、一阶微分方程的解法 1yg x h y

10、 可可分分离离变变量量方方程程分离变量法分离变量法2yyx . .齐齐次次方方程程 小小 结结 类型类型 解法解法 yux 令令可可分分离离变变量量方方程程 3yP x yQ x . .一一阶阶线线性性方方程程法法1.1.通解公式通解公式法法2.2.常数变易法常数变易法 nyP x yQ x y 4 4. .伯伯努努利利方方程程1 nz y 令令 zP x zQ x 一一阶阶线线性性方方程程 类型类型 解法解法 区分类型区分类型 对症下药对症下药1.1.齐次方程齐次方程2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.3.伯努利方程伯努利方程()yyx yxu 令令( )( )P x dxyu x e 令令通通解解1,nyz 令令二、利用变量代换求解微分方程二、利用变量代换求解微分方程根据具体问题灵活运用根据具体问题灵活运用 yP x yQ x nyP x yQ x y zP x zQ x 思考题思考题220221xxyyxyxey 求求= =满满足足条条件件的的特特解解. . 2222xyxyxe 变变形形2=z y令令，则则22xzxzxe 222xxzeC 解解之之，得得222