高数 7-3曲面及其方程ppt课件

1、7-3 曲面及其方程曲面及其方程p曲面方程的概念曲面方程的概念p讨论曲面时的两个根本问题：讨论曲面时的两个根本问题：p (a)旋转曲面；旋转曲面；(b)柱面；柱面；(c)二次二次曲面曲面0000: (,),MxyzR例求球心在半径为 的球面方程。( , , )M x y z解：设为球面上任意一点. 根据已知得：2220000()()()MMxxyyzzR即：2222000()()() (*)xxyyzzR(*)即是球面上点的坐标所满足的方程。而不在球面上的点的坐标都不满足方程(*).故，(*)即为所求.1. 曲面方程的概念曲面方程的概念 ( , , )0 (*)DefSF x y z 若曲面

2、与三元方程 满足下列关系：(1)(*);S 上任一点的坐标满足方程(2)(*).S 不在 上的点的坐标都不满足(*)S称为 的方程，(*).S为的图形举例举例1 (2,3,1), (4,5,6)AB例一动点与点等距离，求动点 轨迹方程。2222 2420 xyzxyz例方程表示什么曲面？2220AxAyAzDxEyFzG注：一般地，形如下列的三元二次方程： 表示一个球面。2.两个根本问题：两个根本问题：(1)知曲面是动点的轨迹，求曲面方程；(2)知一个三元方程，研讨该方程所表示曲面的外形。2.xozzxz 求将面上的抛物线绕 轴旋转一周 所得曲面的方程22.zxy-旋转抛物面旋转抛物面思索：思

3、索：a. 旋转曲面旋转曲面Def 1 平面曲线绕其平面内的一条直线旋转一周所成的平面曲线绕其平面内的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。曲面叫做旋转曲面。 称旋转曲线为母线；称旋转曲线为母线； 称定直线为轴。称定直线为轴。 旋转曲面的方程：(1)( , )0yozf y zz面上的曲线绕 轴旋转所得的 旋转曲面的方程：22(, )0fxyz22(2)( , )0( ,)0 xozf x zxf xyz面上的曲线绕 轴旋转所得的 旋转曲面的方程： 旋转曲面举例：2:DefL 直线 绕与其相交的直线旋转一周所得曲面称其为锥面；称两直线的交点为锥面的顶点；(0).2称两直线的夹角为半顶角1,Oz

4、例 建立顶点在原点旋转轴为 轴 半顶角为 的圆锥面方程.222222(). (=cot).zaxya22222 1 xozxzacxz例求面上的双曲线 分别绕 轴、 轴旋转一周所得曲面的方程。222221xyzxac绕 轴：222221xyzzac绕 轴：(旋转双叶双曲面)(旋转单叶双曲面)222OxyzxyR在中，方程 表示什么？222.zxoyxyR该方程表示：以平行于 轴的直线为母线，以面上的圆周为准线的圆柱面b. 柱面柱面Def 平行于定直线并绕定曲线平行于定直线并绕定曲线C挪动的动直线挪动的动直线L构构成的轨迹叫做柱面；成的轨迹叫做柱面； 称称L为柱面的母线；为柱面的母线； 称称C为

5、柱面的准线。为柱面的准线。结论：结论：1. F(x,y)=0 表示母线平行于Z轴的柱面，该柱面的准线是在xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.2. G(x,z)=0,H(y,z)=0有类似结论。思索题思索题 指出以下方程在平面解析几何中和空指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思索题解答思索题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的

6、的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程c. 二次曲面二次曲面Def 称三元二次方程称三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面为表示的曲面为 二次曲面；相应地，把一次曲面称为平面二次曲面；相应地，把一次曲面称为平面.1.截痕法截痕：平面与曲面截痕：平面与曲面F(x,y,z)=0的交线；的交线；截痕法：经过综合截痕的变化去研讨曲面的外形。截痕法：经过综合截痕的变化去研讨曲面的外形。2.伸缩变形法ozyx一椭球面一椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 ycza

7、x.012222 xczby,012222 zbyax二抛物面二抛物面2222xyzab椭圆抛物面椭圆抛物面xyzo2222xyzab双曲抛物面马鞍面双曲抛物面马鞍面用截痕法讨论：用截痕法讨论：图形如下：图形如下：xyzo三双曲面三双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是两对相交直线的截痕是两对相交直线.ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo22222xyz

8、ab 椭圆锥面；22221xyab 椭圆柱面；22221xyab 双曲柱面；2xay 抛物柱面思索与练习：思索与练习：22211.4832.xyzyy已知准线方程为，母线平行于 轴求此柱面方程222222. (1)2 ; (2)240.xyzxyzx下列方程表示什么图形：内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面