复合函数求导法则ppt课件

1、-链式法则链式法则 第四节第四节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 情形一: 中间变量为多元函数),(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv

2、 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu22sin(3 )().xyzzzxyxy例2 ,求和(,),.xzzf xyfyxy例3 z可微,求和 类类似似地地再再推推广广，设设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，复复合合函函数数),(),(),(yxwyxyxfz 在在对对应应点点),(yx两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xwwzxvvzxuuzxz

3、, ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx证证),()(tttu 则则);()(tttv 情形二情形二:中间变量为一元函数中间变量为一元函数定定理理如如果果函函数数)(tu 及及)(tv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(ttfz 在在对对应应点点t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获获得得增增量量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时

4、时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.dtdz解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 22(,),.xdzz f x efdx例5 =可微,求情形三:中间变量既有一元函数,又

5、有多元函数 zfuuuxzfuf dvvuyv dy( , ),( , ),( ),zf u v uu x y vv y则特别一特别一:),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似:( ),( , ),zf u ux yzdfuxdux特别二则sin.xzz

6、zyxy例6 ,求和解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 小结：（多元复合函数求偏导数小结：（多元复合函数求偏导数链式链式法则，应注意以下几点）法则，应注意以下几点）（1先要搞清复合关系，哪些是自变

7、量，哪些先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些是中间变量，要画结构图；是中间变量，要画结构图；（2对某个自变量求偏导数时，要经过一切与对某个自变量求偏导数时，要经过一切与其有关的中间变量，最后归结到该自变量。其有关的中间变量，最后归结到该自变量。（3求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结构图相同。构图相同。二、多元复合函数的高阶偏导数二、多元复合函数的高阶偏导数22(2)(,) ,.例2求zzzzy f xy x yfCxyx y 2222(2)21(,),.xzzzf xyfCyx

8、x y 例 设求222222( )( ) ,.xyuyfxgfgyxuuuuxyxx yxx y 例3设其中 、 具有二阶导数求及注意：注意：., ),(21变变量量和和相相同同的的自自变变量量具具有有相相同同的的中中间间它它们们与与均均仍仍然然是是多多元元复复合合函函数数、或或、其其偏偏导导数数对对抽抽象象函函数数fffffvufvu 解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211

9、fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分vvzuuzzddd ; 三、全微分形式不变性三、全微分形式不变性当当),(yxu 、),(yxv 时时， 有有yyzxxzzddd . yyzxxzzddd .ddvvzuuz 全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质： 无论无论z是自变量是自变量u、v 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，

10、它的全微分形式是一样的.xxvvzxuuzd yyzxxzzddd yyvvzyuuzd yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 补充补充: :全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间的函数或中间变量变量 的函数，它的全微分形式是的函数，它的全微分形式是一样的一样的.zvu、vu、,.yz33xyx例如设z=f(x,x +y ,e ),求z( , , ),( , ),( , ),( ),.uf x y z zg x yyh x tdutxdx例5 设求2,.yztxzuuue dtxy例 6 已 知求和 3,1,1,1,11(1,1)2

11、,(1,1)3,( ,( , ).( )1.zfx yfffxf x f x xxydx xdx例7 设函数在点处可微 且求222222( )( ),.xyuuuyfxgyxxx yuuxyxx y 例8 设求及链式法则分三种情况）链式法则分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况（特别要注意课中所讲的特殊情况;在计算在计算过程中要结合结构图！）过程中要结合结构图！）二、小结二、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题答：答：不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是

12、作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz ,

13、,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(