三角恒等式证明9种基本技巧窍门

1、三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。1 .化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异， 或改变角的表达形式以便更好地 沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证:tan x - tan21 2 sin xx =2 cosx cos2x思路分析：本题的关键是角度关系：x= 3x - 1x,可作以下证明:222.化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关

2、系，三角 变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式， 这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。2 -例2 设空+笆2=1 ,求证：tanA、tanC、tanB 顺次成等比数列。tan A sin A思路分析：欲证tan 2C = tanA tanB,将条件中的弦化切是关键。3 .化哥应用升、降哥公式作哥的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式 证明的一种技巧。例 3 求证 cos4 a-4cos2 a+3=8sin 4 a思路分析：应用降哥公式，从右证到左：4 .化常数将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面

3、的例子效多。如1=sin 2 a +cos 2 a =sec 2 a -tan 2 a =csc 2 a -cot 2 a =tan a cot a =sin a CSC a =cos a sec a , 1=tan45 0=sin90 0=cos0 0等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。例4求证1 2 sin cos 1 tan22- = cos sin 1 tan思路分析：将左式分子中“1”用“ sin2”+cos 2”代替，问题便迎刃而解。5.化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。例 5 已知 acos 2 a+bsin 2 a=mco

4、s 2 3 , asin 2 a+bcos 2 a=nsin 2 3 , mtan 2 a=ntan 2 3（ 3 布兀） 求证：（a+b）（m+n）=2mn一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。例 6 已知（1+ cos a）（1- cos 3）=1-2（ 却，1）。求证：tan 2= tan 2 一2 121思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中 为向导，应用合比定理1即可达到论证之目的。7 .化结构osBcosC222观察等式左右结构上的差异，

5、立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。例 7 设 A+B+C= 兀,求证：sinA+sinB+sinC=4cos思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。8 .化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。n 1 _._n cosxsin x例 8 求 cosx+cos2x+,22 +cosnx=xsin 2思路分析：左边同乘以sin ，去括号，积化和差可得29.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。上述例题可用数学归纳法证明。三角恒等式的证明【考点回顾】1 .三角公式在恒等变形中的应用；2 .常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化

6、弦等方法.例 1.求证：3 tanA 60)tanA 60) tanAtanA 60) tanAtanA 60) 0.1例 2 .求证：2 c0s 8s2c0s3cosncosn cosn 1)2(1 cos )cossin2(cos sin )例3.求证：1sin1cos1sincos【基础训练】求证:(sin a+tan a)(cos a+cot a)=(1+sin a)(1+cos a).2 .求证：(1 tan a)=(cos 2 a-cot a)(sec 2 a + 1tan a).3.求证：sin 3.2 _ 2sin2sin 1sin 1A.充分条件B.必要条件/24 cos2.

7、等于(cot tan 一22“1 .A. 一sin cos B. sin2 a213 .已知a、3均为锐角，且sin sin(4.求证：tan13 xtan8 xtan5 x = tan13 xtan8 xtan5 x.【拓展练习】1 .条件甲：3sinacos(a+3)=sin(2a+3),条件乙：tan(a+3)=2tan& ,则甲是乙的()C .充要条件D.即不充分也不必要条件）1C. sin2 aD . sin 216，则a、3的大小关系是（）B. a< 3Ca a < 3 D . a与3的大小不确定tan 5x tan 3x4 .求证： 4(tan5x tan3x

8、).cos2x cos4x5 .求证：(cscA+cotA)(1 sinA) (secA+tanA)(1-cosA)=(cscA secA)2 (1 cosA)(1 sinA).1 secx tan x 1 sin x6.求证： 1 secx tan x cosx7.求证：cot cot 2 cot 42 2cos2 3cos4sin 48 求证： cos8sin8 cos21-sin 4 sin 2a.49.求证：tan1 tan 1一 tan 一4412n 1tan； 2n 112n 18t齐 2cot2 .1012-,求证：(1) cos Cn cos 2Cn COS 3nCn cos(

9、n 1)n n2 cos cos2(2)sin C1 sin 2 C3 sin 3Cnsin(n 1)2ncosn-sinU2211 .在矩形ABCD中,P为时间线BD 上一点，APXBD , PE± BC, PFXDC.2+、户)3(BO)PFBD1.1.右式=,3131sinx cos- xcos xsinx2222=tan31cos- x cos- x22-x - tan 工x。 22三角恒等式证明答案312sin(xx)22c 312cos-xcos-x2222 ,2 tan C2 tan A2. 1.- sin2C= 2- , sin 2A= 2-1 tan C1 tan

10、A由已知可得sin2 C tan2C(1 tan2 A)2=2 ，2 _、sin A tan A(1 tan C)2 2 -、sin C tan( A B) tanB(1 tan A)3 =1-=sin A tan A tan A(1 tan Atan B)tanB(1 tan2 A) tan2 C(1 tan2 A)tan2 Ctan Btan A' ' =2tan A(1 tan AtanB) tan A(1 tan C) 1 tan C 1 tan A tan B即tan 2C = tanA tanB 命题成立。4 .思路分析：应用降哥公式，从右证到左：，-1 cos21

11、 cos 4,右边=8( )2=2(1-2cos2 a+cos 22 a)= 2(1-2cos2 a+)=cos4 a-4cos2 a+3= 左边。5 .思路分析：将左式分子中“1”用“ Sin 2 a+cos 2a”代替，问题便迎刃而解。左边=2(sin cos )(cos sin )(cos sin )(sin cos ) _ 1 tancos sin 1 tan=右边6 .思路分析：消去参数，当 m=0时，由mtan 2 a=ntan 2 3得n=0 ,显然成立。当 m W0时，只须消去 a、 3 即可。由 acos2 a+bsin 2 a=mcos 2 3 , asin 2 a+bco

12、s 2 a=nsin 2 3得.2,2.2,2=tan 2 a即可得asin bcos n 2 工,22 /口 a sin bcos22 = 一 tan 2 3, 再由 mtan a=ntan3 得22acos bsin ma cos bsin.2a tan b12-=tan 2 a , 解得 tan 2 a=1 , 所以 sin2 a=cos 2 a=一。a b tan2一 a b 一 a b一 一a b a b求得 cos2 3= , sin 2 3=, 又由 cos2 3+sin 2 3=1 不得。，+=1 ,2m2n2m 2n即(a+b)(m+n)=2mn17 .思路分析：综观条件与结

13、论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中 为向导，应用合比定1理即可达到论证之目的。 由已知得 1+ cos a- cos 3- 2cos acos 3=1-2,2(cos acos伊1)=cos cos (cos a-cos 3), -l=依合分比7E理得cos cos 1cos cos cos cos 1 _ (1 cos )(coscos cos 1 cos cos (1 cos )(cosn1),2. 24cos sin,2. 24cos sin21=tan 2 - cot2 -tan 2 -2 tan 2 一 二 一2 17.思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。_ 一 A B AB _.1 A+B+C=兀sinC=sin兀-(A+B)=sin(A+B).左边=2sin - cos-+ sin(A+B)=.AB, A