专插本高等数学13页练习进步

1、注：补充例题或习题已在题号前标注函数（1）求函数设函数g已知例5已知ln x第一章函数、极限和连续1 一、一=的定义域.（2）求函数f x12.2 ,1 x3x 2,2的定义域.x 32, fln x 2In 11口,则的定义域为全体实数，f x 1例6判断函数f xlgJx2 1的奇偶性.例1求下列各题的极限(1) limx 0sin 2x(2)x.x 2 x2 x 6lim12x2 1(4)lim . x2x2x 一 x2 x例2设当x0, J1 ax2 1与sin2 x是等价无穷小，则0时，下列变量与x为等价无穷小量的是（A. sin2xB.1 cosx C. 1 x . 1D. xsi

2、nx例4求下列各题的极限tan2x(1) lim. (2)x 0 sin 5xtanx sin x3sin x例5求下列各题的极限(1) limx 0111 2xlimx3x*例5求下列各题的极限(1) limx 0.(2)limxx一 42.(4)limxx 2aa为常数）limx1 cosx21 tanx 1 sin x lim.xx 0 x 1 sin2x x例6求下列各题的极限(1) limXsin x.(2)XlimX2x cosx例7求limn1 n2-例8在下列函数中,0时,函数X极限存在的是1,A. f0,B.1,limn(3)limn2nsinj (4)2n(5)已知2.X

3、limx 3 xkx 33、函数的连续性例1设函数一-sin x, xk,-1 xsin-xX1,C.120,(2)limXa°Xn 1a1Xan 1Xan0 D. f X1exm m 1b0xb|Xbm 1X bm1 2,cos2x xsin2x2X求吊数k的值.（6）已知lim - x 2 xaXb 2 ,求常数 x 2a,b的值.1,0在其定义域内连续，求常数k的值.X 2,X0例2设函数f X2X a,0Xbx,X1x2 1,X0例3设函数f XX,0X2 x,1X1在1,讨论f X的间断点及其类型.2上连续，求常数a, b的值.例4求下列函数的间断点并说明间断点类型x f

4、x在x 一处是否可导？ ( 2)若可导，求曲线过点一，0处的切线、法线方程 22 1/、/,1 x 1 x3x 22x.(2) f x 一 、一 、，一x 1， 一 , ，* 、，一例5证明方程4x 2x在0,-内至少有一个实根2ex 2,求证f x在0,2内至少有一个点x(o,使ex02x0.第二章一元函数微分学、导数与微分例1设y f x在x0处可导，则f x0 2h f x0f x0x f x0xlim x 0Vlnx2x2 1xsec e . (4) y 2 x例2求下列函数的导数(1) y v1 ln2 x . (2) y arctanVex. (3) y sin32x一 2(5)

5、y f x x ,其中f u及 x均可导.(6)已知f u可导，求 f ln xnnf x a 和 f x a一 一 x 1.(7)设 y f , f xx 1.2,、arctanx，求 y x 0(8)设f x为二阶可导函数，且 f tanx1 sin2 x2，cos x例3函数f xx, x 0在x 0处是否连续，是否可导，为什么?ln 1 x , x 0cosx, x 2例4设函数f xx , x 22例5设函数ax b, x 1x 1在x 1处可导，求常数 a,b的值.例6设曲线x 2上存在切线与直线y 4x 1平行,求切点.例7设函数2x 由万程sin xxy确定，求dy dx例8设

6、函数x由方程x3y33xy1确定，求dydx例9设函数x2 3101112设函数yx2sin x ，求(n 2)(1)设 y xcosx ,求 y(n). (2)设 y In 1 x(n),求yx et costdy已知 t ，求当t 时二的值.y e sin t3 dxx arctantdyd2 y*例12已知参数方程2 ，求和一y.y 1 ln 1 t dxdx练习题1.已知函数y f x在x a处可导，求lxmo2.求下列函数的一阶导数(1) y ln3arcsinjx In 2 . (2)xsin x3.用对数求导法求下列函数的一阶导数2 arcsinx(1) y 1 x(2)1 ta

7、n x(1) y 1 xey. (2)ex yx 1 (3) y 21nx. (4) yarctanVx2 1ln xx1 x2cos xy 0.5.求下列函数的二阶导数y2e(1) y In x V1x . (2) y .x6 .求下列函数的微分(1) y arctan1-x2. (2) y arcsinTlx2, x 0 1 x7 .写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程3atx 2x sint1 t22处.(1),在 t 一处.(2)2 ,在 ty cos2t 43aty rr1(1) lim 1 2x 瓦(2) x 0lim xsinx. (3) lim x 0xx2

8、2x2 11(4) lim x ex 1x4(5) lim x 1x1 cos x(6)_ x _e sin x sin x limx 01 cosx例6证明不等式x , ,(1) ln 1 x x, x1 xn 1n n* (3) nb a b a bx一0 .(用单倜性或拉格朗)(2) 2 arctanx x, x 0 .1 xn 1a b a a bnan 1 a b ,(a b 0,n 1).* (4) ln- ,(aa b bb 0)例7证明不等式ex 1 x,x 1,0例8证明下列不等式2 x 1(1) ln x x 11x 1 .(2)当 0 x 时，sinx tanx 2x.

9、(3)当 x 1 时，2Vx 3 一. 2x例9求函数f xx2e x2的单调区间和极值x 例10求函数y r的凹凸区间和拐点.1 x2例11求函数y x4 2x 10的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值例12求函数y x 1 后 的凹凸性和拐点.例13求函数y J x2 2x 2在0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线(1) y(2) y1.2(1)fx 2x x.(2)fx x e9 94 .当a为何值时，点 1,3是曲线y ax - x的拐点.5 . （1）求曲线f x3x5 20x3 7x 5的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y 次 的拐点.6 .证明下列不等式x1 2（

10、1）当 x 1 时，e ex. （2） 1 - x cosx x 0 .27.设f x在a, 可导，且x a时f x k 0,其中k是常数.f a证明：若f a 0,则方程f x 0在a,a 上有且仅有一根.k第三章不定积分与定积分、不定积分1例 1 (1)已知 f x e xdx1x . (2)已知 xf x dx arcsinx C ,求f xdx.、积分法（一）直接积分法（公式法）例1求下列不定积分(1)1/ dx. (2)Vx 1 Tx3 &3 x1 dx. (3)dx. 22x 1 x(4)3xexdx. (5)x x423xx-dx . (6)61 x万dx.例2求下列不定

11、积分一 . 2 x .(1) sin -dx. (2)cos2x , 22dx. (3)sin xcos x111 cos2x2,dx. (4) tan xdx.（二）换元积分法1 .第一类换元法（凑微分法）例1求下列不定积分2,、x2(1) xe dx. (2)X ,e dx.arctanx32x x2dx. (3) sin xcos xdx. (4) e sine dx. * (5) 1 x(5)(6)2dx . (7)x 4x 5xxdx. (8) e e_ 3arctan、. x=dx.、x 1 x例2求下列不定积分，一 22(1) sin xcos xdx. (2)4-dx. (3)

12、 cos xdx. (4)1dx.sinxcosx2 .第二类换元法2x例 1dx a 0 .22a x例2 1 x2 .1dx .2 xY 4dx.例 4 ( 1 )d -dx . ( 2)1 .1 x1 dx.1 ex(3)x 13 sX-=dx. (4) 11 dx.ex（三）分部积分法22例 1 (1) x cosxdx.(2) x exdx.(3)ln xdx. (4)arctanxdx. (5)ex sin xdx. (6) sin ln x dx.3*例 1 sec xdx.例2已知f x的一个原函数是xfx dx.（四）一些简单的有理函数的积分例 1 (1 )2 1 2dx .

13、 (2)x a2 1dx.x2 2x 3(3)x2 6x 10dx. (4)Tvx.练习题1.计算下列不定积分x x2(1)3 4 tan x2x11 e7： dx . (2)xdx . (3)3 x1 e xtan x se(3 xdx.(4),1dx . (5)1dx. (6) 1.2x x2x2 5x 6x2 x 121.dx .2 dx.J 4、x2nn ln xIn x ,(8) arcsinxdx. (9) x 2 Jx 4dx. (10) dx.xx三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式（二）变上限积分（三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限）1例2计算工 o2x .d

14、x1 x22.定积分的分部积分法1例 1 计算 2arcsinxdx.0例2计算下列定积分1(1) x arctan xdx.o(2)Jxlnxdx.(3)xcosxdx. (4) sin In x dx .01例3计算定积分 彳sinjxdx.0（四）定积分的综合题【热点】例1求下列各题的导数0. t .(1) x_te dt. (2) xfdt.x2xt*例1已知 f - dt e x1212,1f x dx.o例2求下列各题的极限arctan .tdt(1) lim -3x 0 x3.(2)limx 0sin x0 tanx,tdtlimxx.2 t* 2 x2t e dt0.(此题HB

15、补充)22z x y .例3用积分变换证明等式(1 )证明x1dx x2dx(2)设 f为连续函数，证明xf sinx dxsinx dx.0txx的最大值和最小值.costf x dx.(五)定积分的性质【热点】7历年未考查过)参见习题5-1 (2012年最后一题考查了性质6,性质4.设f x为连续函数，且 f xxx 1f t dt dt , xab f ta,b ,证明方程F x0在区间a,b上有且仅有一个实根x 25.设 x 3x t x t f t dt 1 cosx,证明 2 f x dx 1. 1dt,求 x的极值. 0x*5 设 f x 连续，求一tf x t dt. dx 0

16、四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积 1例1求由曲线y , x 2与y 3所围成平面图形的面积.例2求抛物线y22Pxp 0与直线y x 3 p所围成的图形的面积.例3求抛物线yx2 4x 3及其点0, 3和点3,0处的切线所围成的平面图形的面积.2例4求曲线y x , x 2与直线y 0所围成的平面图形绕 x轴旋转后生成旋转体的体积.2例5试求抛物线y x2在点1,1处的切线与抛物线自身及 x轴所围成的平面图形绕 y轴旋转后所得旋转体的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形32 二例1计算曲线yx2上相应于3x从a到b的一段弧的长度.x a例2计算摆线y a 1si

17、n的长度.cos五、广义积分的计算例1计算下列广义积分,、x2(1) o xe dx . (2)x .-2dx.x(3)一1一3dx. (4) x lnx12x-dx. 2第四章多元函数微积分、多元函数的定义例1写出下列二元函数 zx,y的几何意义（表示何种空间曲面）(1) z ax by c. (2)VR2xy2 . (3) z xxy2 .(4)二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域(1) z 44X2y2. (2) z三、多元函数的偏导数x,y0,0在原点0,0的偏导数.x, y0,0xy22，例1求函数f x, y x y0,例 2 设 z tan ，求-z和一z . y x x

18、y例 3 设 z xe xy sin xy ,求一z 和一z. x y四、全微分的概念例1求z arctan xy的全微分五、复合函数的偏导数22,、 z 缶 z例 1 设z u v , u x y, v x y,求一和一.例 2 设z uv, u 3x2 y2, v 4x 2y,求一z 和一z. x y",一 x .例 3 设 z f xy, 一，求 dz. y2.-.*例 3 设 z f 2x,x ，求 dz.例4求z f 2x 3y,exy的全微分.2,、 f /z*例 4 设 z f x,u x u , u cos xy ,求一和一. x x六、隐函数的导数及偏导数y例1设z

19、 z x, y由下列方程确定, x 2y z 2Txyz 0. (2) x221 zzln .2.一 222 一一Z*例 1 设 xy z 4z 0 ,求一2-x七、高阶偏导数一 、isin x y , Z 一 Z例1设z ye ，求一2-和.x x y*八、高阶复合偏导数参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）练习题1.求下列函数偏导数和：（1 ） Zln x 4rx* 2y2 . (2) zxe例3计算一 x. zz 一 z2 .设一In 一 ,求和.z yx y3 .设 ez xyz 确定 z f x, y，求-z 和-z . x y22z z _x 1,0 y 1

20、 .2y1所围成的第一象限的图形4 .设 z ln x xy y ,证明 x- y 2. x yD是由直线yx与抛物线yx2所围成的区域例4计算2x y dxdy ,口由丫1,2*丫3 0, x y 3 0 围成.（三）利用极坐标计算二重积分22例1计算 ex y dxdy , D是圆心在原点，半径为 a的圆.D例2计算 ln 1 x2y2 d , D是圆周x2y2 1及坐标轴围成的第一象限内的闭域D练习题1.设zln .,x2 y2arctan ,求一Z 和一Z .2.设Z2x ye sin x3.设ZIn 12x23y ，求 dz.24 .设 3xy x1确定y是x的函数，求dydxxy5

21、 .求 ye dxdy ,其中积分区域D是由y轴,y 2及xy 2所围成的平面区域.6 .求 2ydxdy,式中积分区域DD 由 J2 x21 x2所确定.7 .变换积分次序,1 x y2dx xe dy022dx1y2dy.2y 1, x 0, y0 所确te .x2 y28.计算 e 2 dxdy,式中积分区域D由x2D第五章常微分方程、微分方程的基本概念d2x2例1验证x Ci coskt C2Sin kt （ C1、C2为任意常数）是万程 k x 0的通解. dt例2已知方程d2x dt2一 2 _ 一k x 0 的通解为 x C1coskt C2sin kt , xt 0a 4 dx

22、人，求一 dt0条件下的特解例2求下列方程的特解例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件22(1) xyc ,y x 05._ 2x-，(2) yCiC?xe ,yx 00，y x 0 y Gsin x C2 , yx 1, y x 0.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程dy 2xy.dx例2求下列方程的通解(1) M x2y出例3求方程的初始问题尸(2)包 10x y.(3)dxcosx sin ydxsin xcos ydy0.(4)2 dy 3y 1 xdx0.y sin xyx_ e2yiny的特解.例 4 求初值问题 cosydx 1 e x sin ydy 0

23、, y x 0一的特解.4、一阶线性微分方程例1求微分方程y y cosx e sinx的通解.例2求下列非齐次方程的通解d2(1) y y tan x sin2x.(2) 32.(3) x 1 y 2xyd例 3 求 dy ytanx secx, y y n 0 的特解.dxx 0cosx.(4) x 2dydx例4求下列方程的特解“、dy y sin x, ,、 dy x 广 cosx 1,(1)一 , y x 1.(2) ycotx 5e , y x _4.dx x xdx2四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程(1) y 7y 12y 0.(2) 4y 4y 10y

24、0.(3) y 2y y 0.(1) y 3y 4y 0, yx00, y x 05. (2) y 25y 0, yx 0 2, y x0 5.* 五、微分方程综合题【热点】 . 2 ，一* 例 1 设 f x 2 0 f t dt x ,求 f x .* 例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点x, y处的切线余率等于2x y .(2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多)练习题1.求方程dx 10xy的通解.2 .求方程xdy dxeydx的通解.3 .求方程cosxdy dxysinx 1的通解4 .求下列方程满足初始条件的特解:y yyx 05.求下

25、列二阶齐次方程的通解(1) y 3y 4y 0.(2)d2dx25dy dx0. (3) 2sdv 0. (4) x t 2x t x t dt20.6.求下列初值问题的特解(1)求 y 4y 3y06.(2)求 y 25y 0 , y2, y5.第一章 函数的连续性例6设：f(x)=eAx 2 x因为：f(0)=1 2 0= 1<0f(2)=e 2-2-2=e 2 4>0且函数f(x)在(0 , 2)上不间断，则：存在 x0 C (0, 2),使得 f(x0)=0即存在 x0C(0, 2),使得：eA(x0) -2=x0第二章sinx(2) lim xx 0解:原式=lim(x -0)eAsinx(lnx)=eAlim(x 一 0)sinx(lnx)=eAlim(x 一 0)(sinx/x)(xlnx)=eAlim(x 一 0)(xlnx)(等价无穷小 sinxx 代换)=eAlim(x 一 0)lnx/(1/x)=eAlim(x - 0)1/x/(-1/xA2)(洛必达