一轮复习：双曲线

1、授课主题双曲线1. 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2. 了解双曲线的定义（注意定义中的限制条件）、几何图形、标准方程，知道它的简单几何教学目标性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.3 .能够应用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的标准方程.4 . 了解双曲线的简单应用.教学内容1 .双曲线的定义平而内与两个定点R,巳（尸正21=200）的距离的差的绝对值为常数（小于旧F?l且不等于零）的点的轨迹叫做碘 线这两个定点叫做双曲线的焦底，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P=MIIMQI-IMBII = , IFiJI=2c,其中“，c 为常数且0,

2、 c0：当，”时,P点的轨迹是双曲线；（2）当=c时,尸点的轨迹是两条射线：（3）当0c时,尸点不存在.2 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程22工 _y -17 /厂1(心0,0)22302。)范围.72或才 R.rC K,y一以或性对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点人 1( ，0) A2 (a 0)A (0 a) 9 A2 (0 .a)住占F ( ts0). F2 (c-0)F)(0. -c) F2 (O.c)质渐近线,bV= 士 X ai a y=Tr离心率(1 +),其中 c= /+/ a实虚轴实轴:1 A A2 1 =2a；虚轴 | B, B21 =26a.b.c的关系c2 =

3、 /+/ C QQO )3 .必记结论(1)焦点到渐近线的距离为.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：储一)，2=以).翔).(3)等轴双曲线u离心率两条渐近线y=r相互垂直.题型一双曲线的定义及应用例1、(2017湖北武汉调研)若双曲线/为=1的左焦点为凡 点P是双曲线右支上的动点，414),则I/Y1+I加的最 小值是()A. 8B. 9C. 10D. 12方法点拨：利用双曲线定义得到IPFI + I%l=2a+俨81 + 1以I,再利用IM+IP8lNL48求出最小值.答案B解析 由题意知，双曲线?一W=1的左焦点尸的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦

4、点为5,则8(4,0),由双曲线的 定义知状” + 1用1=4+1尸8 + 1力区4+3例=4+、(4-1)2+(04)2=4+5=9,当且仅当A, P, 8三点共线且P在A, B 之间时取等号.IPFI+I用I的最小值为9.故选B.9例2、（2018.河北邯郸模拟）设动圆C与两圆G： Q+4户+），2=4, C?：户+卡=4中的一个内切，另一个外切, 则动圆圆心C的轨迹方程为.方法点拨：根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解.答案-2=1解析 设圆C的圆心。的坐标为a, y）,半径为几由题设知厂2,于是有flCCil=r+2, flCCil=r-2t 或CCi

5、=r-2191=r+2,A HCCi I - ICC2II=4 0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近 线相交于A, B, C,。四点，四边形ABC。的面积为助，则双曲线的方程为()A.乎乎=1B. 土竽=1年-9=1方法点拨：本题采用方程法.答案D解析不妨设月。0,和)在第一象限，由题意得-vo+yo=22,2q2,vo=2仇b 刈=委处，由得端=4 + ,的“ 2 。2164分有所以M=铲工)了=百层，由可得3=12.所以双曲线的方程为三一f1=l.故选D.条件探究1若将典例中条件变为“以旧F?l为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程.b

6、 4解 因为以旧为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5, 2=*又c2=/+，所以 =3, h a 3=4,所以此双曲线的方程为一卷=1.【条件探究2若将典例中变为“双曲线过点(24)，且双曲线与椭圆?+产=1共焦点”，求双曲线的方程.r2丫 2 V24 1解 椭圆+9=1的焦点坐标是(上国0).设双曲线方程为一方=13o, b0),所以7一7=1, 2+抉=3,解得/ = 2,按=1,所以所求双曲线方程是与一产=1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1 .定义法.2 .待定系数法.提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关

7、于参数a, b, C的方程并求出“，b, C的值.与双曲线3一冬=1,有相同渐近线时可设所求双曲线方程为*忘=挣0).【冲关针对训练】1 .己知双曲线。）的焦距为2，5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）XV2A.j-y2=lB./一疝=13 T2 3 V23F 3 V2C20-T=1Dr5_20 = 1答案A1Y2解析 由题意得。=,，-=2则=2, b=l,所以双曲线的方程为:一）2=1.故选A.2 . （2018福建漳州模拟）已知双曲线C： 一白=130, Q0）的左、右焦点为R,后，尸为双曲线。右支上异于顶Ar点的一点， PFR的内切圆与x轴切于点（10

8、）,且P与点Fi关于直线丁=一二对称，则双曲线的方程为答案r一9=1解析 设点A（l,0）,因为尸尸正2的内切圆与“轴切于点（1,0）,则IPBI-IP尸21=14川一14户21,所以2a=（。+1）一（C -1）,则“=1.因为点P与点“关于直线尸一9对称，所以NF与，且篇=从结合俨FblPgl=2, IPFil2 +lPB|2=4/=4+4/,可得b=2.所以双曲线的方程为一=1. 题型三双曲线的几何性质 角度1与双曲线有关的范围问题（多维探究）例4、（2015全国卷I ）已知M（xo,和）是双曲线C： 5一尸=1上的一点，Fi，B是C的两个焦点.若加山砥0,则 yo的取值范围是（）AT

9、阴B.（d *）C（一挛峭D（挛等方法点拨：根据已知而百必?0,列出刃的不等式求解.答案A解析 不妨令人为双曲线的左焦点，则B为右焦点，由题意可知屏=2, =1,.。2=3,.（一/，0）, F?（木, 0）,则A7/-Mfi=（5/3 Ao）, （a/3 ao）+（ yo）-（yo）=xo+,vo3.又知一）6=1, .,.aS=2+2）G, .,./谈1小蓿2=3,310.；一芈.vu0）的右支与焦点为尸的抛物线=2y（p 0）交于A, B两点.若从“+山=41。，则该双曲线的渐近线方程为方法点拨：涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法.答案y=x解析设A(xi, yi), 8(x2, yi

10、).,772= 1，.由 j a b 得 a2y-2pb2y+a2b2=09 胃=2/,又L4FI +由 “=410”,工+32+=4或，即 yi+”=p. 2Pb2pni-L . b 事H=P，即7=2，2=2，工双曲线的渐近线方程为y=角度3与双曲线离心率有关的问题 例6、（2016全国卷II）已知Q, F?是双曲线E： 萦=1的左、右焦点，点M在上上，MR与x轴垂直，sinZMF2F, =p则E的离心率为（）3C,小D. 2方法点拨：将等式sin/MBQ=；转化为关于n c的等式.答案A解析 由MFi_Lx轴，可得从一c,夕）， 1.IMEI=9sinNMF2Fi=；,可得 cos/A/

11、F2a = 1 -又 tanNMF2Fi=,，袅=3：.b2=act /=苏+2=/-42,./_“2一坐/=0=/一察一 1=0, .e=W.故选 A.方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1 .双曲线的离心率-=是一个比值，故只需根据条件得到关于诙b,。的一个关系式，利用/=2 /消去乩 a然后变形成关于e的关系式，并且需注意el.2 .求双曲线离心率或其范围的方法（2 （3+分2（1）求。，b, c的值，由/=-不一=1+7直接求已列出含有“，b,。的齐次方程（或不等式），借助于/=/一/消去从然后转化成关于e的方程（或不等式）求解.3 .求双曲线*烂1（0, Q0）的渐近线的

12、方法是令捻一弗=6即得两渐近线方程温=。【冲关针对训练】1. （2015 全国卷H）已知A, 8为双曲线上的左、右顶点，点、M在E上,aABM为等腰三角形，且顶角为120。,B. 2D.a/2则E的离心率为（） A.yf5 C巾 答案D22解析 设双曲线上的标准方程为，一/=1（“0, b0）,则A（一,0）, B（0）,不妨设点M在第一象限内，则易得M（2”，g）,又M点在双曲线E上，于是答一号正=1,可得=2,.e=yi+：=5.故选D.2. （2018成都统考）已知a/0,椭圆G的方程为+1=1,双曲线C2的方程为宗一昌=1, G与C?的离心率之积为坐，则。2的渐近线方程为（）A. 士y

13、=0B./2xy=0C. x2y=0D. 2vy=0答案A解析 设椭圆G和双曲线C2的离心率分别为门和62,则e产业了,白=亚产.因为462=乎，所以亚中4即0T所以评故双曲线的渐近线方程为），=3=皆工，即x42y=O.故选A.题型四直线与双曲线的综合问题 例7、以P（L8）为中点作双曲线为产4必=4的一条弦AB,求直线AB的方程.方法点拨：本题采用“点差法4xt=4,解 设 A(xi, yi), 8(x2, yz),贝 )Lv2-4x2=4, G1 +竺)。1 一%)=4(总 +X2)(X -X2)，弦AB的中点是尸(1,8),川+a=2, yi+y2=16.A 16(yiy2)=8(.i

14、.2),，直线AB的斜率为岂二X1X2 2直线AB的方程为y-8=g(xl),即直线AB的方程为x-2y+15=0.例8、已知中心在原点的双曲线。的右焦点为(2.0),右顶点为(小,0).(1)求双曲线。的方程；(2)若直线/： y=H+碑与双曲线。恒有两个不同的交点A和B,且汉加2(其中。为原点)，求4的取值范围. 方法点拨：(2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解.解(1)设双曲线方程为今一1=130, b0).由已知得“=小，c=2,于是2+乂=22, /=,故双曲线C的方程为与一)，2=1.x2(2)将 =h+也代入3一)2= 1，得(1 3标)/一6/5公一9=

15、0.由直线/与双曲线交于不同的两点，得13丘0,i 一1 二 ,.J=(6y2k)2+36( 1 -3/:2)=36( 1 -k2)0,即汽且 k 2,得 *trs+yA)*2.xaxb+VAya=xaxh+(Icxa+y2)(to+a/2)=(2 + 1次四+也欠(总+a70+2=伏2+16g-3k233+72 = 3k2-Y*7于是Kt2,即一3必+9门3-1 0解得gR3,又Rvi, !20,比0）的位置关系的分析:y=kx+m91 .代数法 A-2 y2 消去y，得（分一*女22 2h4、一”2（?2 +乒）=0.L 庐=1，（1）二次项系数为o时，直线4%=4）与双曲线的渐近线平行或

16、重合.重合：无交点；平行：有一个交点.（2）二次项系数不为。时，上式为一元二次方程，10气直线与双曲线相交（两个交点）；=0=直线与双曲线相切；0u0）的离心率等于艰，直线、=狂一1与双曲线E的右支交于A, B两点.（1）求的取值范围;（2）若匕81=依3，点C是双曲线上一点，且求=K殖+仍），求A,小的值.解由卜g.2-1e=2,故双曲线七的方程为-y2=l.y=kx 1, 设A（r, Vi）,仇必，力），由f）x2y2=l,得（1一/以2+2一2=0,（*）,直线与双曲线右支交于A, 8两点，%1,=（2攵）24（1 M）x（2）0,k.r 厂 所以ivyji I 一班 VkV 建，故人的

17、取值范围是伙ii vzv艰.（2）由（*）得处+也=后二ye+4但 +也）2-4与阳=2/ ； j）二 ”=6小,整理得 283一55k2+25=0,./ = 或又iv%（淄，.*=坐，所以 X+x2=4a，VI +y2 = k（x +x2） 2 = 8.设C（X3,力），由浣=j（次+仍），得（小，乃）=相（川+刀2, yi+y2）=（相6,北8小）.点。是双曲线上一点，/ 80m264m2 = 1,得 m=土：.m , 51故攵=右,？=七.E真题模拟回关1 .（2016.全国卷【）己知方程一-一丁4=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是（） nr+n 3/n-nA.

18、 （1,3）B. （ L a/3）C. （03）D. （0,切）答案A解析 由题意可知：c2=（m24-n）+（3/?rn）=4nr,其中c为半焦距，2c=2x2IjI=4, A m= 1,方程wW=i表示双曲线， nr+n 3nin/ （nr+）（35n ）0,/. m2ji3m29 .* 1 v0, Q0）的一条渐近线方程为尸坐x，且与椭圆卷+= 1有公共焦l0）,即卷-5=1, 双曲线与椭圆*+与=1有公共焦点，4k+5k=123,解得k=l,故双曲线C的方程为千一5=1 .故选B.解法二：椭圆5+9=1的焦点为（3.0）,双曲线与椭圆卷+91有公共焦点，2+分=（3）2=9，;双曲I

19、Xr J1 4 J线的一条渐近线为尸埠，4W，联立可解得/=4,从=5.，双曲线c的方程为5=1,故选B.x2 正3. （2017全国卷I ）已知双曲线C /一7=1（心0,力0）的右顶点为A,以A为圆心，为半径作圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M, N两点.若NMAN=60。，则C的离心率为.竺案11又NM4N=60。，MA=N4=，1MAN 为等边三角形,4. （2018.兰州诊断）若双曲线捻一=1（，1。）一条渐近线的倾斜角埼离心率为e，则土产的最小值为答案平解析 由题意，可得k=，=taig=，i抉/ f，=小4,则 t/ （2018唐山统考）“v9”是“方程苴工+三 =1表示双曲

20、线”的（ ND K K y= ；.e=yj 1 +7=2.U 2a/6、一：=xb 3 -a2+ev=ir=3+当且仅当按=6, ）=2时取“=”.一、选择题A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A解析:方程天口+为=1表示双曲线. （25T）（9）v。，.“0,即.故选 A.C5) ,7dJ J”2 5 1答案解析X2 V2设双曲线方程/一京=L M（X9 Mm,竺），a2 b2豆一旦 了一庐=1,=1,-，得已玷震212，1=二二, ：.5a2=2b2.er 5-3又层+按=7,，岸=2,方=5,故选D.4 .过双曲线/一方=1的右焦点/作直线/交双曲

21、线于A, 8两点，若从81=4,则这样的直线/有（B. 2条D. 4条A. 1条C. 3条答案C解析 设A（m, yi）, BQ?, yz）,当直线/的斜率不存在时，其方程为由0, 0）的左、右焦点分别为Q, F2, M是双曲线 C的一条渐近线上的点，且。WLWB，。为坐标原点，若SaOMF2=16,则双曲线的实轴长是（） A. 32B. 16 C. 84 答案B I2V+8 /-/16（+1） 4（1+的一阳=/1 +7（箱 +也）2+k-yjJ-（.-2）2 = M21 =4,解得攵=号，故这样的直线有3条.故选C.25 .（2016.浙江高考汜知椭圆G：卡+），2=1（心1）与双曲线.：

22、奈一产=1（0）的焦点重合，勺，c分别为G，Cz的 离心率，贝lj（）A. mn K ee2B. z】且 2VlC. 且 eglD. y且 eg0, m 可得】，巨加一20从而 evel=、 ，=r;一9 则 Ed-1=不一;一又一D. 4解析由题意知尸2（g0）.不妨令点M在渐近线=，上，由题意可知IF2Ml =be，屏十分b,所以10知1=9匚一分=广广（?一2）nr（m一一2）”.由OMB=16,可得引=16,即而=32,又“2+=/,，杀 所以”=8, b=4, c=4#,所以双曲线。的实轴长为16.故选B.7. （2018湖南十校联考）设双曲线狼一*=1的两条渐近线与直线x=f分别交

23、于A, 8两点，尸为该双曲线的右焦点.若60OVNAF8V90。，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. （1,业B.（也,2）C. （1,2）D. （a/2, 4-oo）答案B解析 双曲线萦一%=1的两条渐近线方程为），=各，时，y=不妨设A（，%，的，60。8】0）与双曲线C2：滔一方=1（。20,岳0）有相同的焦点Fl, B，点P是两曲线的一个公共点，门，62分别是两曲线的离心率，若PF4PF2,则4ef+e3的最小值为（）B. 49C-D. 9答案C解析 由题意设焦距为2c,令尸在双曲线的右支上，由双曲线的定义知IPEI -1尸危1=勿2,由椭圆定义知IPFil+IPF2l=2a】，X

24、VPF1PF2, ：.IPFi12+IPF2I2=4c29 。+2,得IPFi|2+IPB|2=2（d+243,将代入，得山+5=2M,寿+枭1+2源圣号当且仅当当=条即，L,取9.（2017.青州市模拟）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F2,这两条曲线在 第一象限的交点为P，尸是以尸H为底边的等腰三角形.若IPRI=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为ei，0 则e-e2的取值范围是（）C.& +8）D. （0, +co）答案A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c, IPFlI=，PF2=n（mn）.由于是以PR为底边的等腰三角形.若IPF】l=10,即有 m=10,

25、 n=2c9由椭圆的定义可得利+=2为，由双曲线的定义可得小一=2s,即有 ” = 5+c, “2=5c（c10, 可得c|,即有|5.c c 2由离心率公式可得462 = 77 =又一7 =左一，1由于141；.p1 .则eig的取值范围为Q, +8）.故选A.10.已知椭圆C 5+=1（力0）的离心率为孚,双曲线/一产=1的渐近线与椭圆。有四个交点，以这四个交点为 14 tx乙顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为（）A-8 + 2 = 1Bfi+6 = 1厚+9=1D皋答案D解析椭圆的离心率为当，.*=业涪=噂，.椭圆的方程为r+4）2=4人 c11乙双曲线一尸=1的渐近线方程为人为

26、，= 0,，渐近线Ay=0与椭圆储+4产=4/在第一象限的交点为（邛与八 邛与），由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为芈力弟=4, JJ，抉=5,，“2=4/=20.椭圆。的方程为去9=1.故选D.二、填空题11 .若点尸在曲线G：放- 5=1上，点。在曲线。2：（X5）2+产=1上，点R在曲线Q：。+5）2+），2=1上，则PQI一 IPRI的最大值是.答案10解析 依题意得，点FK-5.0）,尸2（5,0）分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有IPQ-IPRkKIPBI+DdPQI 一 DKIIP产2lIPRII+2=2x4+2=10,故IPQIIPRI的最大值是 10.12 .

27、过双曲线五一%=1（0,岳0）的左焦点F（c,0）（c0）,作圆炉+产号的切线，切点为E,延长FE交曲线右支于 点P,若旗=；（舁+分），则双曲线的离心率为.乂秦迎解析 圆小+尸=的半径为条 由成=上拚+办）知，E是FP的中点，设广（gO）,由于。是尸产的中点，所以 r乙乙0E工PF, 0E = hpFPF = 20E=a. 乙由双曲线定义，IFPI = 3a,因为F尸是圆的切线，切点为所以FPJ_OE,从而NF尸尸=90。,由勾股定理，得IFPF + IFPP=0尸平=9a2+“2 =4/=e =华.13 .（2018,安徽江南十校联考）已知/是双曲线C： -=1的一条渐近线，P是/上的一点

28、，R, F?是C的两个焦点, 若讨I拜2 = 0,则尸到X轴的距离为.答案2解析 由题意取 “一水, 0）, F2（y0）.则由余弦定理得 4c2 =x2+y2a）cos60oxy,当点P看作是椭圆上的点时，有4c2=（x+）.）23=4IX2l 时，S& oab = S&oad i 51A OBD = 卜21)=1卜1 Al； 当 A, 8 在双曲线的两支上且 XX2 时，S o = Sa ODa+S 0BD = 2(IXl + k2l) = /k Xzl.所以S0 八6=声刈=5，所以(X1 *)2 = (2艰)2,即_4+ ) 2 = 8, 解得女=0或左=白季，又因为一位0,0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为一$=母0).2 .已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中为0”就得到两渐近线方程，即方程捻b2=0就是双曲线x2 y2不一百=130,。0)的两条渐近线方程.失误与防范1 .区分双曲线中的“，b, C大小关系与椭圆中的“，b, C大小关系，在椭圆中“2 =5+ /,而在双曲线中 = / + 出2 .双曲线的离心率e(l, +8),而椭圆的离心率e(0J).3 .双曲线宏一齐=1 (00, 0)的渐近线方程是产备，-余=1 30,0)的渐近线方程是)=玲.4 .若利用弦长公式计算，在