角函数高考题

1、高 考 题 三 角 函 数 10 道1、2014?湖北卷某实验室一天的温度(单位：°C)随时间t(单位：h)的变化近似满 足函数关系：f(t) = 10- 3cos 冗 12t sin 兀 12t , t G 0 , 24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11C,则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为 f(t) =10 232cos 7112t+12sin 7112t = 102sin 7112t+ 兀 3,又 00t<24 ,所以花 30 7112t +花 3<7兀 3, 1< sin 7112t + 兀 301.当 t = 2

2、时，sin 7112t + 兀 3=1;当 t =14 时，sin 7112t +兀 3= 1.于是f(t)在0, 24)上取得的最大值是 12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 C,最低温度为8 C,最大温差为4 C.(2)依题意,当f(t)>11 时，实验室需要降温.由(1)得 f(t) =10 2sin % 12t + % 3,故有 10-2sin % 12t + % 3>11,即 sin % 12t + % 3<- 12.又00t<24 ,因止匕7兀6<九12t +兀3<11兀6,即 10<t<18.故在10时至18时实验室需要

3、降温.22014?江西卷已知函数 f(x) =sin(x + 9 ) +acos(x +29),其中 aG R, 8 G 九2, 2 2.(1)当a=2, 8 =兀4时，求f(x)在区间0 ,九上的最大值与最小值；(2)若f兀2=0, f(兀)=1,求a, 9的值.解：(1)f(x) =sinx + 4 4+2cosx+ 2 2 =22(sin x + cos x) 2sin x =22cos x 22sin x = sin 兀4 x.因为 xG0, tt,所以九4 一 xG 3ti4, 4 4,故f(x)在区间0,九上的最大值为22,最小值为一1.(2)由 f 兀 2= 0, f (兀)=1

4、,得 cos 0 (1 2asin 0)=0, 2asin2 0 sin 0 a =1.又e c 九2,九2,知cos e乎0,所以 1 2asin 0=0, (2asin 0 1) sin 0 a= 1,解得 a=1, 0=一兀 6.3, 2014?四川卷已知函数 f(x) =sin3x + % 4.(1) 求 f(x) 的单调递增区间；(2)若 a 是第二象限角，f a 3= 45cos a + 4 4cos 2 a ,求 cos a sin a 的值.解：(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为一九2+2k% , 2 2 + 2k% , kGZ,由一九 2 + 2k；t 0 3x+兀

5、 40 兀 2 + 2k 兀，kGZ,得一九 4 + 2k；t 3&x0 冗 12 + 2k；t3, k G Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为一九4 + 2k%3, 1 12+2k% 3, k G Z.(2)由已知，得 sin a + 4 4= 45cos a + % 4(cos2 a sin2 a ),所以 sin a cos % 4 + cos a sin k4 = 45cos a cos % 4 sina sin % 4(cos2 a 一sin2 a ),即 sina + cos a = 45(cos a sin a )2(sina + cos a ).当sina + co

6、s a = 0时，由a是第二象限角，得0=3兀4+2女兀,kGZ,止匕时，cos a sin a = 2.当 sin a + cos a 乎 0 时，(cos a sin a )2 = 54.由 a 是第二象限角，得 COS a Sin a <0,此时 COS a sin a = 52.综上所述，cos asin a=2 或一52.4、2014?辽宁卷在AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a>c.已知B2?B。=2, cos B = 13, b = 3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B C)的值.解：(1)由 B2?BCH =2得 c?a?cos B

7、=2,又 cos B=13,所以 ac = 6.由余弦定理，得 a2+c2= b2+2accos B,又 b=3,所以 a2+c2 = 9+2X 2= 13.解 ac = 6, a2+c2 = 13,得 a=2, c = 3 或 a = 3, c = 2.因为a>c,所以a=3, c=2.(2)在 ABC中，sin B = 1 cos2B= 1 132= 223.由正弦定理，得 sin C =cbsin B =23?2 23 = 4 29.因为a = b>c,所以C为锐角，因此 cos C = 1 sin2c =1 4 292 =79.所以 cos(BC)=cos Bcos C +

8、sin Bsin C = 13X79 + 2 23 X4 29 =2327.5、2014?全国卷 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知3acos C= 2ccosA, tan A = 13,求 B.解：由题设和正弦定理得3sin Acos C = 2sin Ccos A ,故 3tan Acos C = 2sin C.因为 tan A =13,所以 cos C = 2sin C ,所以 tan C = 12.所以 tan B =tan180-(A+C)=tan(A + C)=tan A + tan Ctan Atan C 1=T,所以 B= 135° .6、

9、2014?辽宁卷已知函数 f(x) =(cos x x)(九+ 2x) 83(sin x +1), g(x)= 3(x % )cos x 4(1 + sin x)ln3 2x 九.证明：(1)存在唯一 x0G 0,兀 2,使 f(x0) =0;(2)存在唯一 x1 E 2 2,兀，使 g(x1) =0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1<Tt .证明： 当 xG0,兀2 时，f' (x)=(1+sin x)?(九+ 2x) 2x 23cos x<0 ,函 数f(x)在0,九2上为减函数.又f(0)=九一83>0, f兀2=九2163<0,所以存在 唯一 x0G

10、 0,兀 2,使 f(x0) =0.(2)记函数 h(x) =3 (x % ) cos x1 + sin x 4ln3 2ttx, xGtt2, % .令 t = Tt x,则当 xGtt2,九时，tG0, 2 2.记 u(t) = h(九一t) = 3tcos t1 + sin t -4 ln1 +2% t ,则 u' (t) = 3f (t)(九十 2t) ( 1 sin t ) .由(1)得，当 t G (0, x0)时，u' (t)>0 ,当 t G x0,兀 2 时，u' (t)<0.故在(0, x0)上u(t)是增函数，又u(0) =0,从而可知

11、当tG(0, x0时，u(t)>0 ,所 以 u(t) 在 (0 ， x0 上无零点在 x0,九2 上 u(t)为减函数，由 u(x0)>0 , uti2= 4ln 2<0 ,知存在唯一 t1 6x0, 兀2,使 u(t1) =0,故存在唯一的t1 G0,兀2,使u(t1) =0.因此存在唯一的 x1=兀一t1 G兀2,冗，使h(x1) =h(九一t1) =u(t1) =0.因为当xG兀2,冗时，1 + sin x>0 ,故g(x) =(1 +sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1 G九2,冗，使g(x1) =0.因为 x1 =九一t1 , t1&

12、gt;x0 ,所以 x0 + x1< 兀.7、浙江卷在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知a乎b, c = 3, cos2A cos2B= 3sin Acos A 3sin Bcos B.求角C的大小；(2)若 sin A =45,求 ABC的面积.解：(1)由题意得 1 + cos 2A21 + cos 2B2=32sin 2A - 32sin 2B ,即 32sin 2A 12cos 2A = 32sin 2B 12cos 2B , sin2A 兀 6= sin2B 九 6.由a乎b,得A乎B,又A+ BG (0 ,兀)，得2A兀6 + 2B-兀6=兀，即

13、A+ B= 2兀3,所以C= 3 3.(2)由 c=3, sin A =45, asin A =csin C ,得 a=85.由 a<c,得 A<C 从而 cos A = 35,故 sin B =sin(A +C)=sin Acos C + cos Asin C = 4 + 3 310.所以， ABC的面积为 S= 12acsin B =8 3 + 1825.8、2014?重庆卷已知函数f(x) =3sin( ax+(|)3>0,九20小 < 九2的图像关 于直线x =兀3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为兀 .(1)求3和小的值；(2)若 f a 2=34% 6&l

14、t;a <2兀 3,求 cos a + 3 兀 2 的值.解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为兀，所以 ?(x)的最小正周期T= 冗,从而a = 2几T= 2.又因为f(x)的图像关于直线x=ti3对称，所以 2XTt3+()= knt + 7t2, k = 0, ±1, ±2,.因为- 2 2<()<% 2,所以（）=一九6.(2)由(1)得？ a 2 = 3sin(2 Xa2；t 6) = 34,所以 sin a % 6=14.由 Tt6VaV 2冗3 得 0Va 7t 6 V 2 2,所以 cos a % 6=1 sin2 a - 6

15、 6=1142 =154.因止匕cos a + 3 % 2=sin a=sin (a 冗 6) + 九6=sin a 6 6cos % 6+ cos a % 6sin % 6 = 14X 32+ 154X 12 = 3+158.C5两角和与差的正弦、余弦、正切9、(08安徽 17)已知函数 f(x) cos(2x ) 2sin(x )sin( x )(1)求函数 f(x)的344最小正周期和图象的对称轴方程；(n)求函数f(x)在区间,上的值域12 2解：(1)函数图象的对称轴方程为上单调递增， 在区间上单调递减,时,.当取得最小值上的值域为函数 f ( x ) 在10、2013年 天津理科卷（第15题）（本小题满分13分）已知函数(I)求的最