第8章 应力状态分析与强度理论

1、第第8 8章章 应力状态分析应力状态分析和强度理论和强度理论第第8 8章章 应力状态分析和强度理论应力状态分析和强度理论8.18.1、 应力状态概述应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力8.28.2、 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例8.38.3、 二向应力状态分析二向应力状态分析8.48.4、 二向应力状态的应力圆二向应力状态的应力圆8.58.5、 三向应力状态简介三向应力状态简介8.68.6、 广义胡克定律广义胡克定律8.88.8、 强度理论概述强度理论概述8.98.9、 四种常用强度理论四种常用强度理论 FFkkpFkk直杆拉伸直杆拉伸8.1.1单

2、向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力 设横截面面积为设横截面面积为A，斜面面积为，斜面面积为A，则有则有A/A=cos，由正，由正应力公式有应力公式有=F/A。 研究斜截面以左部分，在拉力研究斜截面以左部分，在拉力F作用下杆件平衡，由于杆件作用下杆件平衡，由于杆件纵向伸长相同，所以在斜截面上应力也是均匀分布的，于是得：纵向伸长相同，所以在斜截面上应力也是均匀分布的，于是得：coscosAFAFP FFkkpFkk2coscospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸8.1.1 单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力 把把P分解为垂直于截面的分解为垂直于截面的正应力

3、正应力和切于斜截面的切和切于斜截面的切应力应力 直杆拉伸应力分析结果表明：斜截面上的正应力和切应力都直杆拉伸应力分析结果表明：斜截面上的正应力和切应力都是是的函数，亦即斜截面的方位不同，应力就不同。的函数，亦即斜截面的方位不同，应力就不同。 FFkkpFkk2coscospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸8.1.1 单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力（1）当）当为为0时，斜截面变成横截面。正应力可得极大值，切应时，斜截面变成横截面。正应力可得极大值，切应力为力为0。（2）当）当为为/4时，切应力可得极大值。在时，切应力可得极大值。在45度方向上切应力有度方向上切应

4、力有最大值。最大值。（3）当）当为为/2度时，正应力和切应力都为度时，正应力和切应力都为0，这说明在平行于轴，这说明在平行于轴线的纵向截面上，既无正应力，也无切应力。线的纵向截面上，既无正应力，也无切应力。 FFkkpFkk直杆拉伸直杆拉伸8.1.1 单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力2sin2cos2低碳钢构件拉伸时：横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。铸铁构件压缩实验：构件破坏并不都发生在横截面上。因此，既要研究横截面上的应力，也要研究斜截面上的应力。为什么要研究应力状态？弯曲和扭转时：横截面上的应力呈线性分布。强度校核时必须研究其危险点处的应力8.1.2 应力状态概述应力

5、状态概述低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？8.1. 2 应力状态概述应力状态概述铸铁压缩实验铸铁压缩实验 脆性材料压缩时为什么会沿脆性材料压缩时为什么会沿45 45 方向破坏？方向破坏？8.1.2 应力状态概述应力状态概述应力的面的概念。8.1.2 应力状态概述应力状态概述FFAF2cos2sin2应力的点的概念。NFzMsF8.1.2 应力状态概述应力状态概述应力状态。应 力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明8.1.2 应力状态概述应力状态概述 分析一点处的应力状态：（1）可以解释实验中的破坏现象。（2）可以预测复杂受

6、力情况下构件何时失效，从而建立相应的失效准则。 研究应力状态的目的：找出一点应力处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。8.1.2 应力状态概述应力状态概述1、从受力构件中取单元体、从受力构件中取单元体为了研究构件内某一点处的应力状态，从受力构件中为了研究构件内某一点处的应力状态，从受力构件中围围绕该点处绕该点处取出一个微小单元体（通常取平行六面体）。取出一个微小单元体（通常取平行六面体）。这些单这些单元体在三个方向上的尺寸均为无穷小。用这样的单元体的应力元体在三个方向上的尺寸均为无穷小。用这样的单元体的应力状态代表该点的应力状态。状态代表该

7、点的应力状态。单元体特征：单元体特征：由于单元体是微元体，所以有由于单元体是微元体，所以有（1）在它的每个面上应力都是均匀分布的。）在它的每个面上应力都是均匀分布的。（2）而且在单元体内各相互平行的平面上应力是相等的。）而且在单元体内各相互平行的平面上应力是相等的。8.1.3 应力状态研究方法应力状态研究方法主平面主平面 切应力为零的面叫主平面切应力为零的面叫主平面3、主应力主应力 主平面上的正应力叫主应力主平面上的正应力叫主应力 一般来说，通过受力构件的任意点皆可以找到三个互相垂直的主平面，因此每个点都有三个主应力，分别用 1 , 2 , 3表示，并按其代数值排序。 1代表数值最大的主应力，

8、代表数值最大的主应力， 3代表数代表数值最小值最小的主应力，即的主应力，即3 32 21 1 8.1.3 应力状态研究方法应力状态研究方法应力状态的分类应力状态的分类1.1.空间应力状态空间应力状态 三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 均不等于零均不等于零2.2.平面应力状态平面应力状态 三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 中有两个不等于零中有两个不等于零3.3.单向应力状态单向应力状态 三个主应力三个主应力 1 1 , , 2 2 , , 3 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零8.1.2 应力状态研究方法应力状态研究方法分析薄壁圆筒受

9、内压时的应力状态分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyzl8.2 二向应力状态实例二向应力状态实例远小于直径D，称为薄壁圆筒薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积p （1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F42DpF DA 442pDDDpAF 8.2 二向应力状态实例二向应力状态实例（2 2）在）在F F作用下，薄壁圆筒的是简单的作用下，薄壁圆筒的是简单的轴向拉伸问题。轴向拉伸问题。横截面上的正应力横截面上的正应力为为Dyz（3）由于）由于P的作用，将引起纵向截面上的正应力。用相距为的作用，将引起纵向截面上的正应力。用相距为l的两的两个横截面和包含水平直径的纵向

10、截面，从圆筒中截出一部分，并个横截面和包含水平直径的纵向截面，从圆筒中截出一部分，并取下半环为研究对象取下半环为研究对象yFNFN8.2 二向应力状态实例二向应力状态实例plp yFNFNd 8.2 二向应力状态实例二向应力状态实例在纵向截面上的内力在纵向截面上的内力lFN 在该截出部分圆筒内壁微面积上在该截出部分圆筒内壁微面积上 压力为压力为 ，它在，它在y轴方向上的投轴方向上的投影为影为 ，积分得总和为，积分得总和为dDl2dDlp2sin2dDplp yFNFNd 0 0 yF20lplD 2 2pD plDDpl dsin208.2 二向应力状态实例二向应力状态实例积分后得总和为积分后

11、得总和为纵向截面上的应力纵向截面上的应力 是横截面上应力是横截面上应力 的两倍。的两倍。 8.2 二向应力状态实例二向应力状态实例 对于圆筒来说，通过一点的纵横两截面皆为主平面，用对于圆筒来说，通过一点的纵横两截面皆为主平面，用相邻的纵向和横向截面朋筒壁上截取单元体相邻的纵向和横向截面朋筒壁上截取单元体ABCDABCD，其应力状，其应力状态如教材上态如教材上8.3a8.3a所示。所示。 就是主应力。就是主应力。 在单元体的第三个方向上，虽然的作用于壁上在压强作在单元体的第三个方向上，虽然的作用于壁上在压强作用，但是都远小于主应力用，但是都远小于主应力1 1和和2 2，所以，可以认为其等于，所以

12、，可以认为其等于0 0，于是得到了二向应力状态。于是得到了二向应力状态。 三向应力状态实例，滚珠轴承、火车车轮与钢轨接触点。三向应力状态实例，滚珠轴承、火车车轮与钢轨接触点。 和 8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 现在讨论：二向应力状态下，在已知通过一点的某些截现在讨论：二向应力状态下，在已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，面上的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。从而确定主应力和主平面。1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法

13、x xyz y xy yx平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示 。单元体上有。单元体上有 x , xy 和和 y , yx单元体上应力分量的记法第一个下标（左边）指作用面的第一个下标（左边）指作用面的（外外）法线方向）法线方向第二个下标指应力作用方向。第二个下标指应力作用方向。由切应力互等定理，有：由切应力互等定理，有：xyyxxzzxyzzyx xyz y xy yx8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法xx（1）正应力）正应力拉为正、压为负拉为正、压为负单元体上应力的正负号规定8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解

14、析法把切应力看成是力，则切应力对单元体把切应力看成是力，则切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转动时为正；反内任意点的矩为顺时针转动时为正；反之为负之为负 yx xy（2）切应力）切应力单元体上应力的正负号规定yxxy8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法由由x轴正向逆时针转到斜截轴正向逆时针转到斜截面法线面法线n正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。（3）方）方向角向角单元体上应力的正负号规定yx tn8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力计算公式推导斜截面上的应力计算公式推导 y a a

15、xyd dA Axyx 8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy由静力平衡方程 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到

16、 化简得化简得xyyx 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 由这个公式可以求出由这个公式可以求出角为任意值时斜截面上的应力。应力角为任意值时斜截面上的应力。应力是是角的函数，随角的函数，随角的变化而变化。角的变化而变化。8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 说明：此公式是由静力平衡条件求出的，说明：此公式是由静力平衡条件求出的，所以该公式适用于弹性问题和非弹性问题，所以该公式适用于弹性问题和非弹性问题，适用于各向同性和各向异性情况。与材料适用于各向同性和各向异性情况。与材料的

17、力学性能无关。的力学性能无关。2. 2. 最大正应力及方位最大正应力及方位（1 1）最大正应力的方位）最大正应力的方位令令 2 22 22 22 22 22 22 2cossinsincosxyyxxyyxyx 02cos2sin2 2dd xyyx 02tan2xyxy 90900 00 0 0 0 和和 0 0+90+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）最大正应力）最大正应力 将将 0

18、 0和和 0+90代入公式代入公式 2 22 22 22 2sincosxyyxyx 得到得到 max和和 min ( (主应力）主应力）22minmax)2(2xyyxyx计算主应力时，直接应用此公式，不必将两个计算主应力时，直接应用此公式，不必将两个 0和和 0+90带入前面公式，带入前面公式，再重复计算。再重复计算。8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 （1）当）当 x y 时，则由上式确定的两个时，则由上式确定的两个 0中中 ，绝对值较小绝对值较小的一个角，确定的一个角，确定max所在的主平面。所在的主平面。 （2）当当 x y 时，则由上式确定的两个时，

19、则由上式确定的两个 0中中 ，绝对值较大绝对值较大的一个确定的一个确定max所在的主平面。所在的主平面。确定主应力方向确定主应力方向8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法先比较先比较x和和y的代数值。的代数值。3.3.最大切应力及方位最大切应力及方位2cos2sin2xyyx（1 1）最大切应力的方位）最大切应力的方位02sin2cos2 2dd xyyx令令xyyx 2 22 21 1 tan 90901 11 1 1 1 和和 1 1+ +90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面

20、。所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面。8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）最大切应力）最大切应力 将将 1 1和和 1+90代入公式代入公式 2 22 22 2cossinxyyx 得到得到 max和和 min 2 22 22 2xyyx )(minmaxxyyx 2 22 21 1 tanyxxy 2 22 20 0tan比较比较和和可见可见1 10 02 21 12 2 tantan 4,2220101 8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角是/4。试求试求（1 1） 斜面上的应

21、力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）画出主应力单元体。）画出主应力单元体。例例1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法解：解：（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 8.3 8.3 二向应力状态分

22、析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 8.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法主平面的方位主平面的方位yxxytg2206 . 04060605 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .10508.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法因为x

23、y（3 3）主应力单元体）主应力单元体y x xy 5 .15138.3 8.3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法szxyzF SbIzxIMy【例【例2 】横力弯曲梁，试确定截面上各点主应力大小及主】横力弯曲梁，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置平面位置【解】单元体上的应【解】单元体上的应力力223122xyxx）（q纵向上没有应力，所以为 y=0153131345213 0341 0A1A2D2D1COA2D2D1CA1O2 0D2CD1O2 0= 90D2A1O2 0CD1A2A2D2D1CA1O8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法v图

24、解法即用一个平面图形（应力圆）将一点的应力状态完整的图示。应力圆又称莫尔圆（Mohr.O，1835-1918，德国）。v方法是将 作为参数，建立与的函数关系。1、应力圆方程、应力圆方程2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由一般方程由一般方程消去正弦和余弦函数项，得：消去正弦和余弦函数项，得：2222()()22xyxyxy这是一个以应力这是一个以应力 为变量的圆的方程。为变量的圆的方程。,8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法222xyyxR02，yx1 1、应力圆方程、应力圆方程2222()()22xyxyxy8.4 8.4 二向应力状态分析

25、二向应力状态分析- -图解法图解法应力圆方程应力圆方程应力圆半径应力圆半径应力圆圆心应力圆圆心 Rxyxy 12422 R xy 2c2 2、应力圆画法、应力圆画法 一一8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法 知道圆心和半径，直接画应力圆（1）取横坐标OA= x，纵坐标AD=xy ，确定D点。D点的坐标就是以x为法线的面上的应力。xxyyxyOn2 2、应力圆画法、应力圆画法 二二8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法xxyyxyOn2 2、应力圆画法、应力圆画法 二二8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法（2

26、）取横坐标 纵坐标 确定 点。 点的坐标就是以y为法线的面上的应力。yxDBDyOBDxxyyxyOn2 2、应力圆画法、应力圆画法 二二8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法（3）连接 ，与横坐标相交于C点。以C为圆心，CD为半径画圆，此圆即应力圆。DD 2 2、应力圆画法、应力圆画法 二二8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法2OB)(OA21OBOB)-(OA21yxBCOBOC2222222)2OB-OA(xyyxADADCACD）（半径CD为（4）证明此圆是应力圆 所以这个圆就是前面所说的应力圆圆心圆心OC为为3、应力圆与单元体

27、的对应关系xxyyxyOn（1）点面对应）点面对应单元体内任意斜截面上的应力都对应着应力圆上的一个点。8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法4、应力圆与单元体的对应关系xxyyxyOn8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法（2）利用利用应力圆应力圆可以求出主应力，并确定可以求出主应力，并确定主平面方位主平面方位。4、应力圆与单元体的对应关系xxyyxyOn8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法（3）转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应单元体上夹角单元体上夹角 ，应力圆上应力圆上 夹角夹角 2 ，且转向一致且

28、转向一致1322 22xyxyxyOCR（）5、应力极值主应力与主切应力maxmin222xyxyR （）8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法30 , 0 ,80 xyyx【例【例2】用应力圆求单元体的主应力和主平面的位置用应力圆求单元体的主应力和主平面的位置3080单位：MPa80301 3 OA (80, 30BCx y D1、以、以 x= -80，xy=30确定确定A点以点以 y=0，yx=-30确定确定B点。连接点。连接AB，以，以AB中点中点C为圆心，以为圆心，以AC为半为半径画莫尔圆径画莫尔圆【解】【解】2、求圆心坐标和半径OC = 405022DCA

29、DACR【例【例2】用应力圆求单元体的主应力和主平面的位置用应力圆求单元体的主应力和主平面的位置3080单位：MPa80301 3 OA (80, 30BCx y D3、计算主应力、切应力极值MPaMPaROC9010 31maxmin50RMPa 80801 3 OA (80, 30BCx y Do 21 o 35、画出主单元体（1）A点对应于右立面点对应于右立面（2）右立面顺时针转）右立面顺时针转0得得主单元体最大拉应力所在面主单元体最大拉应力所在面（3）垂直做主单元体的另）垂直做主单元体的另一个面一个面57712863618086360. .DCADtg arcACD 4、计算方位角57

30、.1610平面应力状态分析方法小结v1、解析法 特点：计算结果精确，但是公式多，共有 7个，包括：一般公式2个（正、切应力），极值应力5个：极大与极小正应力，极大与极小切应力，主单元体方位角）v2、图解法 特点：应力圆直观，不必记公式，但是数值不精确8.4 8.4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法231 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。 简单讨论：简单讨论：当三个主应力已知时，如何求任意斜截面上的当三个主应力已知时，如何求任意斜截面上的应力，并确定最大主应力和最大切应力，并进行强度计算。应力，并确定最大主应力和最大切应力，并进行强度计算。8.5 8

31、.5 三向应力状态简介三向应力状态简介1 1、主应力已知条件下任意斜截面的应力、主应力已知条件下任意斜截面的应力 yxz123（1）平行于）平行于z轴方向的斜截面的应力轴方向的斜截面的应力123123O211 1、主应力已知条件下任意斜截面的应力、主应力已知条件下任意斜截面的应力 yxz123（2）平行于）平行于x轴方向的斜截面的应力轴方向的斜截面的应力213O231 1、主应力已知条件下任意斜截面的应力、主应力已知条件下任意斜截面的应力 yxz123（3）平行于）平行于y轴方向的斜截面的应力轴方向的斜截面的应力13O132123 在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个

32、应力圆所构成的区域内。1 1、主应力已知条件下任意斜截面的应力、主应力已知条件下任意斜截面的应力 （4）任意斜截面的应力）任意斜截面的应力O2131max3min231max（方向与 及 成45角）132 2、最大正应力和切应力、最大正应力和切应力O213,221,232 231 2 2、三组特殊方向面中各自的最大切应力、三组特殊方向面中各自的最大切应力O213 1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 8.6 8.6 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力

33、状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E12311()E2()E3()E8.6 8.6 广义胡克定律广义胡克定律=+在1、2、3作用下，在1方向上引起的应变为23132111E13221E21331E8.6 8.6 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律3 3、广义胡克定律、广义胡克定律- -当单元休上作用的不是主应力时当单元休上作用的不是主应力时 x y z xy yx yz zy zx xz8.6 8.6 广义胡克定律广义胡克定律 最普遍的情况下：描述一点的应力状态需要9个应力分量。其中有6个应力分量是独立的。 可以看成是三组单向应力和三给纯剪

34、切的组合。 对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关，与切应力无关。切应变只与切应力有关。)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz8.6 8.6 广义胡克定律广义胡克定律4、单元体的体积改变与应力的关系、单元体的体积改变与应力的关系图示单元体，变形前的体积：图示单元体，变形前的体积：变形后的体积变形后的体积Vdxdydzdxdydz（1+1）dx（1+2）dy（1+3）dz123dxdydzV)1 ()1)(1 (32

35、11单元体的体积改变单元体的体积改变体应变体应变11231231 2()VVVE改写为改写为123()3(1 2 )3mEK（1+1）dx（1+2）dy（1+3）dz123（略去应变的高阶微量）：（略去应变的高阶微量）：123()3m3(1 2 )EK式中式中K体积弹性模量体积弹性模量m主应力平均值主应力平均值体积胡克定律体积胡克定律体应变体应变与平均应力成正比与平均应力成正比123()3(1 2 )3mEK23 18.7 8.7 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度 在线弹性范围内，每一个主应力与相在线弹性范围内，每一个主应力与相应的主应变之间仍保持线性关系，于是应的主应变之间仍

36、保持线性关系，于是三向应力状态下的应变能密度为：三向应力状态下的应变能密度为：1 1223312 22212312233112 ()2E 代入广义胡克定律并整理得：代入广义胡克定律并整理得： 单元体的变形一方面表现为体积的增减单元体的变形一方面表现为体积的增减，另一方面表现为，另一方面表现为形状的改变形状的改变，因此应变，因此应变能密度也可分为两部分：能密度也可分为两部分：（1）体积改变能密度）体积改变能密度vV；（2）畸变能密度）畸变能密度Vd 2123126VE22212233116dE23 122212312233112 ()2E max,maxAFN（拉压）（拉压）maxmax WM（

37、弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxtWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件8.8 8.8 强度理论概述强度理论概述 强度理论：强度理论： 为了建立复杂应力状态下的强度条为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 8.8 8.8 强度理论强度理论概述概述 尽管失效现象比较复杂，但经过归纳，强度尽管失效现象比较复杂，但经过归纳，强度不足引起的失效现象主要是屈服和断裂两种类型。不足

38、引起的失效现象主要是屈服和断裂两种类型。构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂。脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂。相应的强度理论也分为两类：相应的强度理论也分为两类： (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形。变形。8.9 8.9 四种常用强度理论四种常用强度理论关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论最大切应力理论和畸变能密度理论1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）b18.9 8.9 四种常用