向量法证明几何命题

1、精选优质文档-倾情为你奉上毕 业 论 文论文题目 向量法证明初等几何命题 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 4 学生姓名 陈平 指导教师 张峰 完成时间 2015 年 4 月肇庆学院教务处制专心-专注-专业向量法证明初等几何命题陈平摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积1引言 向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的内容在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，

2、这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量 向量最初被应用于物理学不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿 从数学发展历史来看，历史上很长一段时间内，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起

3、来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制 向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数（、为有理数，且不同时等于），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中 因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清

4、楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题 本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用2结果与讨论21向量的基本运算1 如图1 图1 向量的基本运算图 向量的加法运算： ， 向量的减法运算： 向量的乘法运算：， 向量的数量积： 当两个向量垂直有： 向量的混合积：22用向量法证明几何定理 例11 勾股定理的证明：三角形中，已知，证 A B C图2 例1图2 证明 由，两边平方得，去掉

5、括号，得，即，因为，故，得证 例22 余弦定理的证明：三角形任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍即 图3 例2图3 证明 在，令 ，即，同理可证，用其他方法证明余弦定理: 图 4 直角三角形 图 5 锐角三角形 图 6 钝角三角形 证明 按照三角形的分类，分三种情形证明之 在中，如图4根据勾股定理：，因为，所以，因为，所以，因为，所以 在锐角，如图5作于点，有，同理可证：， 在钝角中，如图6，交延长线与点，则， 按照的方法可以证明： 通过两种方法对余弦定理的证明，用向量法证明余弦定理很明显步骤少了很多，只需要用到向量的加法，再用到向量的数量积，就把定理证明出来

6、了，对比第二种方法，要三角形分成三类再加以证明，还需要作辅助线，相对于向量法来说，复杂很多 23用向量法解决平行四边形问题 例32 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 图 7 例3图7证明 设四边形ABCD的对角线，交于点，且相互平分，从上图可以看出： 故且即四边形为平行四边形 其他方法的证明： 证明：因为对角线互相平分，所以因为与相交，所以，所以在与中，即与全等，故，因为（内错角相等，两直线平行），从而是平行四边形得证 在证明过程中，用向量法证明的话只需用到一个向量的简单加法，就可以直接证明命题，但在普通的方法中，先要证明两个三角形全等，证明三角形全等需要用到几个步骤，才可得到两直线平行

7、，而且垂直，虽然步骤不算太多，但显然比用向量法证明费时费力，但因为很多学生对向量的运算不熟练，所以选择用三角形全等的方法去证明，所以我还是建议大家去熟悉一下向量的性质，对一些简单和复杂的几何命题证明还是很有帮助的，可以大大节省证明步骤，而且思路比较简单，一下子把整个题目证明出来 例43 试用向量法证明：平行四边形对角线的平方和等于它个边的平方和 图8 例4图8 分析 平行四边形中，设利用向量的加法和减法及向量数量积便可证得结论 证明 在平行四边形中，设则故又从而即平行四边形对角线的平方和等于它个边的平方和24向量法处理垂直问题时的应用 例54 证明：假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直

8、，那么它就和平面内任何直线都垂直图 9 例5图9 证明 设直线与平面内两相交直线与都垂直，下面证明与内任意直线垂直在直线上分别任意取非零向量依条件有，所以设，且，这表明两个向量与互相垂直，也就是它们所在直线与互相垂直，从而直线垂直于平面 其他方法的证明： 证明 依题意得直线直线直线直线，所以直线直线，所在的平面，设任意直线在，的平面内，所以直线直线在这个垂直的证明中，也许很多人用第二种方法去证明，事实上第二种方法比较简单，但用向量法证明这个方法比较新颖，用到一个向量的乘法，而这样可以培样一种创新的思维例62 在正三棱柱中，底边长是，高是，是中点，求证面图10 例6图10 证明：如图，建立空间直

9、角坐标系，知则又，则而，所以面25 向量法证明在数学竞赛题中的应用 例75 如图，中，为外心，三条高，交于点，直线和交于点，和交于点，求证： 图11 例7图11分析 第一小题比较简单，可用直接法证明如下：由题意知四点共圆，所以因为为外心，从而即即从而 同理可证又即从而 例83 中，分别在边上，且相交于点证明 是的重心当且仅当是的重心图12 例8图12若是的重心，则设显然有则有 由知，存在非零实数使得即，而不共线，故有 ，消去，得即 同理，由，可得 由，可得 解这个三元方程组易得 所以即是 的重心 若是的重心，类似于上述证明过程不难证得是的重心26用向量法处理点线问题 例93 如图，平行四边形中

10、，点是的的中点，点在上，利用向量证明：三点共线 图13 例9图13 思路分析 选择点，只须证明，且 证明 由已知，又点在上，且，得又点是的中点，又，即则，又，从而三点共线 例101 证明：若向量的终点共线，则存在实数，且，使得；反之也成立 图 14 例10图14 证明 如图，若的终点与共线，则故存在实数，使得故 ，令 则存在且，使得若其中，则，从而有，即又因为，有公共点，所以三点共线，即向量的终点共线 在证明三点共线中，如果用一般的方法，是很难下手的，但用向量法的话，只需用到向量的减法，和简单的代数运算，就可以把题目证明出来，高中生如果熟悉向量的运算，就会很容易把这个题目证明出来，如果不熟悉向

11、量的基本运算，用其他方法去证明三点共线的问题，不借助向量减法，证明三点共线这个问题还是比较复杂，比较费力的27利用向量法证明海伦公式 图15 例11图15 例114 设三边长分别为是半周长，即 则 证明 如图，设可知，由，利用数量的变换律与分配律得 ，即另一方面，由向量的数量积的概念可知故 （21)这就是海伦公式，即用三边长分别为来表示 的面积，下面把（21）式化为所要的形式 ， ， 又因，有，即，所以 用向量法证明海伦公式关键是用向量表示三角形的面积，然后用向量的基本运算把它简单化，向量本来是一个几何内容，所以向量的运算也是几何内容，运用向量的运算进行推理就是运用几何的方法进行推理，这样就是

12、一种典型的数型结合运用28向量法证明在立体几何中的应用 例125 如图所示，平面平面，平面为正方形，是直角三角形，且分别是线段的中点求证：平面平面 图 16 例12图16证明 由题意得平面平面且为正方形，又两两垂直，以为坐标原点，建立如图16所示的空间直坐标系则 则 设即故 解得 从而 又与不共线，则与共面又平面，从而平面 例131 如图所示，在四棱锥中底面，是中点证明：和平面 图17 例3图17 如图17所示，在四棱锥中底面，是中点证明：两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设则（1） 因为为正三角形所以设 由，得，即 则 又故从而，即因为，所以又故， 即故即，从而平面3总结 本文主要用向

13、量法来证明点，线，面等简单的几何初等命题，还利用向量的加法，减法，向量积等方法去证明几何命题，在几何命题的证明中，向量法有一定的优势，把几何命题的证明简单化了，如果熟悉向量法的基本性质和运算，会大大提高解题水平，对证明简单和复杂的几何命题都很大的帮助，利用向量法去证明是一个不错的选择致谢: 完成这篇论文，我用了四个月的时间，在这四个月里，我感谢我的指导老师张中峰，没有他的指导和悉心的安排，我想我完成不了这篇论文，虽然我的水平不高，但张中峰老师给予我很大的鼓励，提供了很多有用的资料，让我在业余的时间能够顺利地完成这篇论文最后我也感谢老师在百忙中抽出宝贵的时间对我的论文进行审查和修改同时，我也感谢

14、陪伴我四年的同学，在你们的关怀下，我一直勇敢向前，因为有了你们的支持和鼓励，我充实地完成大学里所有任务参考文献：1席振伟，张明，向量法证几何M，重庆出版社，1984：63-672尤承业，解析几何（第一版）M，北京大学出版社，2004：43-533桂本祥，向量方法在平面几何中的应用J，数学通讯，2004，8(4)：10-154卢思珠，平面向量的应用J，数学教学通讯，2003，6(2)：1-65郑荣等，向量在几何中的应用举例J，成都教育学院学报，2003，7(2)：7-9Proving Elemcentary Geometry Proposition by the method of Vectors Guangping ChenAbstract: In this paper，we use dot product，