向量自回归模型教材

1、1 传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型本章所要

2、介绍的向量自回归模型( (vector autoregressionvector autoregression，VAR)VAR)和向量误差修正和向量误差修正模型模型( (vector error correction modelvector error correction model，VEC)VEC)就是非结构化的多方程模型。就是非结构化的多方程模型。本章内容：本章内容：一、向量自回归理论一、向量自回归理论二、结构二、结构VAR(SVAR)VAR(SVAR)模型的识别条件模型的识别条件 三、三、VARVAR模型的检验模型的检验四、脉冲响应函数四、脉冲响应函数五、方差分解五、方差分解六、六、J

3、ohansenJohansen协整检验协整检验七、向量误差修正模型七、向量误差修正模型( (VEC)VEC) 2 向量自回归向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量向量”自回归自回归模型。模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一

4、，并且在一定的条件下，多元最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和和ARMA模型也可转化成模型也可转化成VAR模型，因此近年来模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。模型受到越来越多的经济工作者的重视。一、向量自回归理论一、向量自回归理论 3 VAR(p) 模型的数学表达式是模型的数学表达式是 (7.1.1)其中：其中：yt 是是 k 维内生变量向量，维内生变量向量，Xt 是是d 维外生变量向量，维外生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为是滞后阶数，样本个数为T 。k k维矩阵维矩阵A1，Ap和和k d维矩阵维矩阵B是要被估计的系数矩阵。是要被估计的系数矩阵。 t是

5、是k维扰动向量，它们维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设等式右边的变量相关，假设 是是 t的协方差矩阵，是一个的协方差矩阵，是一个(k k)的正定矩阵。式的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为可以用矩阵表示为 （一）（一）VAR模型的一般表示模型的一般表示 ttptpttBXyAyAy 114ktttdttttktttkttktttxxxyyyyyyyyy212122221211211121BAA(7.1.2) 即含有即含有k个时间序列变量的个时间序列变量的VAR(p) 模型由模型由k

6、个方程组成。个方程组成。例如：例如：作为作为VAR的一个例子，假设工业产量（的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供和货币供应量（应量（M1）联合地由一个双变量的联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：模型是： 5ttttttCMbIPbMaIPaIP, 1121221111211111ttttttCMbIPbMaIPaM, 2222222112211 , 2111其中，其中， 是要被估计的参数。也可表示成：是要被估计的参数。也可表示成：iijijcba,21212222211

7、2111122211211111CCMIPbbbbMIPaaaaMIPtttttt还可以将式还可以将式(9.1.2)做简单变换，表示为做简单变换，表示为 (7.1.3)其中其中 是是yt关于外生变量关于外生变量Xt回归的残差。式回归的残差。式(7.1.3)可以简写可以简写为为 tytptpttyAyAy116ttLyA)(7.1.4)其中其中 ，是滞后算子，是滞后算子L的的k k的参数矩阵。一般称式的参数矩阵。一般称式(9.1.4)为非限制性向量自回归为非限制性向量自回归模型模型(unrestricted VAR)。冲击向量冲击向量 t是白噪声向量，因为是白噪声向量，因为 t没有结构性的含义，

8、被称为简化形式的冲击向量。没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。 ppkLLLLAAAIA221)( 为了叙述方便，下面考虑的为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变模型都是不含外生变量的非限制向量自回归模型，用下式表示量的非限制向量自回归模型，用下式表示 或或 tptpttyAyAy 11ttLyA)(7.1.5)7 如果行列式如果行列式detA(L)的根都在单位圆外，则式的根都在单位圆外，则式(8.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA()形式形式 (7.1.6)其中其中 ttL Cy)(1)()(LL

9、AC2210)(LLLCCCCkIC 08 对对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估矩阵的估计量为计量为 (7.1.7) 其中：其中： 。当。当VAR的参数估的参数估计出来之后，由于计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。模型的参数估计。 ttT1ptpttttyAyAyAy22119 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期

10、相关性问题，用普通最小二乘法以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得能得到到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量 t有同期相关，有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消的滞后而被消除（除（absorbed），），所以扰动项序列不相关的假设并不要求所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。非常严

11、格。 10（二）二）EViews软件中软件中VAR模型的建立和估计模型的建立和估计 1建立建立VAR模型模型 为了创建一个为了创建一个VAR对象，应选择对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框便会出现下图的对话框(以例以例9.1为例为例)： 11可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：(1) 选择模型类型（选择模型类型（VAR Type）：）： 无约束向量自回归（无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误或者向量误差修正

12、（差修正（Vector Error Correction）。）。无约束无约束VAR模型是模型是指指VAR模型的简化式。模型的简化式。 (2) 在在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。编辑框中设置样本区间。 12 (3) 在在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例例如，滞后对如，滞后对 1 4表示用系统中所有内生变量的表示用系统

13、中所有内生变量的1阶到阶到4阶滞后变量作为等式阶滞后变量作为等式右端的变量。右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：例如： 2 4 6 9 12 12即为用即为用24阶，阶，69阶及第阶及第12阶滞后变量。阶滞后变量。 13 (4) 在在Endogenous Variables和和Exogenous Variables编辑编辑栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给出常数出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外

14、作为外生变量，也可以，因为生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。只会包含一个常数。 其余两个菜单（其余两个菜单（Cointegration 和和 Restrictions）仅与仅与VEC模型有关，将在下面介绍。模型有关，将在下面介绍。 142VAR估计的输出估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，按纽，EViews将会在将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：对象窗口显示如下估计结果： 15 表中的每一列对应表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系

15、数估计会给出系数估计值、估计系数的标准差值、估计系数的标准差(圆括号中圆括号中)及及t-统计量统计量(方括号方括号中中)。例如，在。例如，在log(GDPTC_P)的方程中的方程中RR(-1)的系数的系数是是 0.003521。 同时，有两类回归统计量出现在同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输对象估计输出的底部：出的底部： 1617 输出的第一部分显示的是每个方程的标准输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。并显示在对应的列中。 输出的第二部分显示的是输出的第二部分

16、显示的是VAR模型的回归统计量。模型的回归统计量。残差的协方差的行列式值由下式得出：残差的协方差的行列式值由下式得出： tttmT 1det18其中其中m是是VAR模型每一方程中待估参数的个数，模型每一方程中待估参数的个数， 是是k维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：计算对数似然值： AIC和和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。两个信息准则的计算将在后文详细说明。 t ln22ln12TTnl19例例9.1 我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的VAR模型模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的

17、长期影为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响、短期影响及其贡献度，根据我国响、短期影响及其贡献度，根据我国1995年年1季度季度2004年年4季度的季度数据，利用季度的季度数据，利用VAR(3)模型对实际模型对实际GDPGDP季值除以居民消费价格指数季值除以居民消费价格指数(1990年为年为100)、实际、实际M1和实和实际利率际利率RR (一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率率) 3个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际GDP和和实际实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取以对数的形

18、式出现在模型中，而实际利率没有取对数，由于方程右边的变量是相同的，所以对数，由于方程右边的变量是相同的，所以OLS估计模型估计模型是有效的，其结果如下：是有效的，其结果如下： 20ttttttttttttttteeeGDPMRRGDPMRRGDPMRRGDPMRR321333222111)ln() 1ln(54. 011. 0002. 008. 058. 00002. 078.1679. 952. 0)ln() 1ln(36. 1006. 0005. 012. 046. 1002. 009.3539.2866. 1)ln() 1ln(74. 1066. 0004. 010. 094. 1000

19、8. 039.1587.1708. 215. 031. 018.10)ln() 1ln( 尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数 为数 为 3 。 3 个 方 程 调 整 的 拟 合 优 度 分 别个 方 程 调 整 的 拟 合 优 度 分 别为：为： 。无论如何，我们可。无论如何，我们可以 利 用 这 个 模 型 进 行 预 测 及 下 一 步 的 分 析 。以 利 用 这 个 模 型 进 行 预 测 及 下 一 步 的 分 析 。 998. 0,999. 0,986. 02212GDPMRRRR21 同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相

20、关关同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用e i表示第表示第i个个方程的残差，方程的残差，i =1，2，3。其结果如表其结果如表9.1所示。所示。 表表7.1 残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵 22 从表中可以看到实际从表中可以看到实际GDP方程和实际利率、实际方程和实际利率、实际M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际一步表明实际GDP和实际货币供给量和实际货币供给量(M1)、实际利率实际利率之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致之间存在着

21、同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。影响关系。 23（三）（三）结构结构VAR模型模型(SVAR) 在式在式(7.1.1)或式或式(7.1.3)中，可以看出，中，可以看出，VAR模型并模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(7.1.1)和式和式(7

22、.1.3)称为称为VAR模型的简化形式。模型中的误差项模型的简化形式。模型中的误差项 t是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。本节要介绍的结构本节要介绍的结构VAR模型模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。间的当期关系。 241两变量的两变量的SVAR模型模型 为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有模型结构式和简化式之间的转化关系。如

23、含有两个变量两个变量(k=2)、滞后一阶滞后一阶(p=1)的的VAR模型结构式可以模型结构式可以表示为下式表示为下式 ztttttxtttttuzxxbbzuzxzbbx12212121201121111210(7.1.8)25 在模型在模型(7.1.8)中假设：中假设：（1）变量过程）变量过程xt和和zt均是平稳随机过程；均是平稳随机过程；（2）随机误差）随机误差uxt和和uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设是白噪声序列，不失一般性，假设方差方差 ； （3）随机误差）随机误差uxt 和和uzt 之间不相关，之间不相关， 。 122zx0),cov(ztxtuu 式式(9.1.8)一般称为一

24、般称为一阶结构向量自回归模型一阶结构向量自回归模型(SVAR(1)。 26 它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数与反馈作用，其中系数 b12表示变量表示变量zt的单位变化对变量的单位变化对变量xt的的即时作用即时作用， 21表示表示xt-1的单位变化对的单位变化对zt的的滞后影响滞后影响。虽然虽然uxt 和和uzt 是单纯出现在是单纯出现在xt和和zt中的随机冲击，但如果中的随机冲击，但如果b21 0，则作用在则作用在xt上的随机冲击上的随机冲击uxt 通过对通过对xt的影响，能的影响，能够即时传到变量够即时传到变量zt上

25、，这是一种上，这是一种间接的即时影响间接的即时影响；同样，；同样，如果如果b12 0，则作用在则作用在zt上的随机冲击上的随机冲击uzt 也可以对也可以对xt产生产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。向和反馈关系。 27 为了导出为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式为矩阵形式 该模型可以简单地表示为该模型可以简单地表示为 ztxtttttuuzxbbzxbb11222112112010211211tttuyyB1100(7.1.9)28 假设假设B0可逆，可导出简化式

26、方程为可逆，可导出简化式方程为 其中其中 tttuByBBy101110010ttyAA110(7.1.10)20100100aaBA222112111101aaaaBAtttt2110uB29 从而可以看到，简化式扰动项从而可以看到，简化式扰动项 t是结构式扰动项是结构式扰动项ut的的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt 和和uzt是不相是不相关的白噪声序列，则可以断定上述关的白噪声序列，则可以断定上述 1t和和 2 t 也是白噪声也是白噪声序列，并且均值和方差为序列，并且均值和方差为 2211222122112222121111111)var(,

27、0)(, 0)(bbbbbbtsEEzxttst2211221222112221222222111)var(, 0)(, 0)(bbbbbbtsEExzttst30同期的同期的 1t和和 2 t之间的协方差为之间的协方差为 从式从式(7.1.11)可以看出当可以看出当b12 0或或b21 0时，时，VAR模型简模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例7.1中的表中的表7.1所显示的情况。所显示的情况。当当b12 = b21 = 0时，即变量之间时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为没有即时影响，上述协方差为0，相当于对，相当于对B0矩

28、阵施加矩阵施加约束。约束。 22112122122112212221212111)(),cov(bbbbbbbbEzxtttt(7.1.11)31 2多变量的多变量的SVAR模型模型 下面考虑下面考虑k个变量的情形，个变量的情形，p阶结构向量自回归模阶结构向量自回归模型型SVAR(p)为为 tptptttuyyyyB22110(7.1.13) 其中：其中： 111212211120kkkkbbbbbbBpiikkikikikiiikiii,2, 1)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(1132 可以将式可以将式(7.1.13)写成滞后算子形式写成滞后算子形式 kttttELI

29、uuuyB) (,)(7.1.14) 其中：其中： ，B(L)是滞后算子是滞后算子L的的 k k 的参数矩阵，的参数矩阵，B0 Ik。需要注意的是，本书讨论需要注意的是，本书讨论的的SVAR模型，模型，B0 矩阵均是主对角线元素为矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。的矩阵。如果如果B0 是一个下三角矩阵，则是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的模型称为递归的SVAR模型。模型。 ppLLLLBB2210)(33 不失一般性，在式不失一般性，在式(7.1.14)假定结构式误差项假定结构式误差项(结构结构冲击冲击) ut 的方差的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样

30、，同样，如果矩阵多项式如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的无穷阶的的VMA()形式形式 其中：其中： ttL uDy)(7.1.15)1)()(LLBD2210)(LLLDDDD100 BD34 式式(7.1.15)通常称为经济模型的通常称为经济模型的最终表达式最终表达式，因为，因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。而且外生变量的结构冲击而且外生变量的结构冲击ut 是不可直接观测得到，需要是不可直接观测得到，需要通过通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式各元素的响应才可观测到。可以通过

31、估计式(7.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击，转变简化式的误差项得到结构冲击ut 。从式从式(7.1.6)和式和式(7.1.15)，可以得到，可以得到 ttLLuDC)()(7.1.16)35 上式对于任意的上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于模型。由于C0=Ik，可得可得 式式(8.1.17)两端平方取期望，可得两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对所以我们可以通过对D0 施加约束来识别施加约束来识别SVAR模型。模型。 ttuD0(7.1.17)DD00(7.1.18)36二、结构二、结构VAR(SVAR)模型的识别条件模型的识别条件

32、 前面已经提到，在前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自中。自Sims的研究开始，的研究开始，VAR模型在很多研究领域取模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，得了成功，在一些研究课题中，VAR模型取代了传统模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，而，VAR模型存在参数过多的问题，如式模型存在参数过多的问题，如式(7.1.1)中，一中，一共有共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较

33、少的个参数，只有所含经济变量较少的VAR模模型才可以通过型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。和极大似然估计得到满意的估计结果。 37 为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就模型就是这些方法中较为成功的一种。是这些方法中较为成功的一种。 （一）（一）VAR模型的识别条件模型的识别条件 在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，在经济模型的结构式和简化式之间

34、进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。得到相应的结构式参数。 38 对于对于k元元p阶简化阶简化VAR模型模型 利用极大似然方法，需要估计的参数个数为利用极大似然方法，需要估计的参数个数为 tptpttyAyAy11(7.2.1)222kkpk(7.2.2) 而对于相应的而对于相应的k元元p阶的阶的SVAR模型模型 来说，需要估计的参数个数为来说，需要估计的参数个数为 (7.2.4)tptpttuyyyB110(7.2.3)22kpk39 要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的要想得到结构式模型惟

35、一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多知参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见联识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见联立方程模型的识别立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。以限制，将出现模型不可识别的问题。 对于对于k元元p阶阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式条件个数为式(7.2.4)和式和式(7.2.2)的差，即施加的差，即施加k(k -1)/2个个限制条件才能估计出结构式模型的参数

36、。这些约束条件限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期可以是同期(短期短期)的，也可以是长期的。的，也可以是长期的。 40（二）（二）SVAR模型的约束形式模型的约束形式 为了详细说明为了详细说明SVAR模型的约束形成，从式模型的约束形成，从式(7.1.16)和式和式(9.1.17)出发，可以得到出发，可以得到 其中其中C(L)、D(L)分别是分别是VAR模型和模型和SVAR模型相应的模型相应的VMA()模型的滞后算子式，模型的滞后算子式， ，这就隐含着，这就隐含着 ttLLuDuDC)()(0(7.2.5)100 BDiDDCi0(7.2.6)41 因此，只需要对因此，只需

37、要对D0 进行约束，就可以识别整进行约束，就可以识别整个结构系统。如果个结构系统。如果D0 是已知的，可以通过估计式是已知的，可以通过估计式(7.1.17) 和式和式(7.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息构系数和结构新息ut 。在有关在有关SVAR模型的文献中，模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。构冲击之间有意义的长期和短期关系。 42 1. 短期约束短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵短期约束通常直接施加在矩阵D0 上，表示经济变量上，表示经济变

38、量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约约束排除方法。束排除方法。 （1）通过）通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式的短期约束 Sims提出使提出使D0 矩阵的上三角为矩阵的上三角为0的约束方法，这是一的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵个简单的对协方差矩阵 的的Cholesky-分解。下面，首先分解。下面，首先介绍介绍Cholesky-分解的基本思想分解的基本思想 43 对于任意实对称正定矩阵对于任意实对称正定矩阵 ，存在惟一一个主对角，存在惟一一个主对角线元素为线元素为1的下三角形矩阵的下三角形矩阵G和

39、惟一一个主对角线元素为和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵正的对角矩阵Q使得：使得： 利用这一矩阵利用这一矩阵G可以构造一个可以构造一个k维向量维向量ut ，构造方法为构造方法为 ut =G-1 t，设设 GGQ(7.2.7)(ttE44 则则QGGGQGGGGGuut111111)()(tttEE 由于由于Q是对角矩阵，可得是对角矩阵，可得ut 的元素互不相关，其（的元素互不相关，其（j, j）元素是元素是ujt 的方差。令的方差。令Q 1/2表示其（表示其（j, j）元素为元素为u jt 的标准的标准差的矩阵。注意到式差的矩阵。注意到式(9.2.7)可写为可写为 PPGQGQ2/12/1(

40、7.2.8) 其中其中P=GQ1/2是一个下三角矩阵。式是一个下三角矩阵。式(7.2.8)被称为被称为Cholesky (乔利斯基乔利斯基)分解。分解。 45 Sims施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是： 由于由于 是正定矩阵，所以可得到是正定矩阵，所以可得到Cholesky因子因子P，即即 。而且，当给定矩阵。而且，当给定矩阵 时，时，Cholesky因子因子P是惟一确定的。是惟一确定的。 对于对于VAR模型模型两边都乘以两边都乘以P 1，得到得到PPttLyA)(),(0ktVWN46tttLLuyAyAP)()(*1 其中：其中： 。由于由于 ttPu1kt tttttEEEIP

41、PPPPPuut111111)()()()(7.2.9)(7.2.10) 所以所以 ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量，是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即即 。 ),(kktVWNI0u47 在向量在向量 t中的各元素可能是当期相关的，而向量中的各元素可能是当期相关的，而向量 ut 中中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。立的。这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量量向量yt变动的最终因素。变动的最终因素。 由式由式(8.2.9)还可以得出还可以得出 其中其中 ppL

42、LL*1*0*)(AAAA10 PAiiAPA1PP(7.2.11)48 很明显，很明显， 是对角元素为是对角元素为1的下三角矩阵。的下三角矩阵。这意味着这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来，变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来，得到的正得到的正交交VMA()表示表示(或或Wold表示表示)形式为形式为 其中：其中： ， 。注意到。注意到 ，所以冲，所以冲击击 ut 对对 yt 中的元素的当期冲击效应是由中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子因子P决决定的。定的。 0A00)(iitiitttLuPuCPuCyii(7.2.12)PCiiP 0P 049 更需要注意的是

43、，由于更需要注意的是，由于P是下三角矩阵，由式是下三角矩阵，由式(8.2.9)可知，这要求向量可知，这要求向量yt中的中的y2t，ykt的当期值对第一个分的当期值对第一个分量量y1t没有影响，因此没有影响，因此Cholesky分解因子分解因子P的决定和的决定和VAR模模型中变量的次序有关，而且在给定变量次序的模型中，型中变量的次序有关，而且在给定变量次序的模型中，Cholesky分解因子矩阵分解因子矩阵P是惟一的。是惟一的。 综上所述，可知只要式综上所述，可知只要式(7.1.13)中的中的B0是主对角线元素是主对角线元素为为1的下三角矩阵，则的下三角矩阵，则SVAR模型是一种递归模型，而且是模

44、型是一种递归模型，而且是恰好识别的。恰好识别的。 50 （2）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束 但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式要满足式(7.1.18)，约束可以施加给，约束可以施加给D0 的任何元素。同时，的任何元素。同时，由式由式(7.1.15)可知，可知，SVAR模型中的同期表示矩阵模型中的同期表示矩阵B0 是是D0 的的逆，即逆，即 ，因此也可以通过对，因此也可以通过对B0 施加限制条件施加限制条件实现短期约束。实现短期约束。 例如：例如：对于税收对于税收(y1t)、政府支出政府支出(y2t)和产

45、出和产出(y3t)的三变的三变量量SVAR模型来说模型来说 ，由于模型中包含，由于模型中包含3个内生变量，则个内生变量，则k(k-1)/2= 3，因此需要对模型施加因此需要对模型施加3个约束条件，才能识别出个约束条件，才能识别出结构冲击。结构冲击。 100 BD51根据经济理论可作出如下的三个假设：根据经济理论可作出如下的三个假设： 实际实际GDP影响当期的税收收入，但不会影响政府支出，影响当期的税收收入，但不会影响政府支出，即即B0矩阵中矩阵中b23= 0。 税收冲击可能对政府支出有影响，但税收不依赖于同税收冲击可能对政府支出有影响，但税收不依赖于同期的政府支出，即期的政府支出，即B0矩阵中

46、矩阵中b12= 0。 关于税收的实际产出弹性假设，可以通过回归模型得关于税收的实际产出弹性假设，可以通过回归模型得出平均的税收的产出弹性为出平均的税收的产出弹性为1.71，即，即b13= 1.71。52 2. 长期约束长期约束 关于长期约束的概念最早是由关于长期约束的概念最早是由Blanchard 和和 Quah在在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构响。施加在结构VMA()模型的系数矩阵模型的系数矩阵Di (i=1，2，)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的

47、形式是对对 的第的第i行第行第j列元素施加约束，典型的是列元素施加约束，典型的是0约束形式，约束形式，表示第表示第i个变量对第个变量对第j个变量的累积乘数影响为个变量的累积乘数影响为0。 关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。节的脉冲响应函数。0iiD53（三）（三）SVAR模型的模型的3种类型种类型 SVAR模型根据其建模特点，主要分模型根据其建模特点，主要分3种类型：种类型：K-型，型，C-型和型和AB-型，其中型，其中AB-型是最通常的类型，而型是最通常的类型，而K-型、型、C-型都可视为是型都可视为是AB-型的特殊形

48、式。这里，为简便起见，我型的特殊形式。这里，为简便起见，我们考虑常数项为们考虑常数项为0的情况。的情况。 1. K-型型 假定假定K是一个是一个(k k)的可逆矩阵，的可逆矩阵，K矩阵左乘式矩阵左乘式(8.1.5)形形式的式的VAR模型，则得模型，则得 54其中其中 式式(8.2.16)导致扰动项导致扰动项 t 转变为正交扰动项转变为正交扰动项ut (协方差矩阵协方差矩阵是一个单位阵是一个单位阵)，因此向量，因此向量yt中各元素间的当期相关关系是中各元素间的当期相关关系是由可逆矩阵由可逆矩阵K来决定的。假定知道来决定的。假定知道 t 的方差的方差-协方差矩阵的协方差矩阵的真实形式：真实形式：

49、ttLKyKA)(7.2.16)ttuK ktE0u)(kttEIuu)(ttuK kttttIEE)()(uuKK55从而有从而有 这意味着对矩阵施加了这意味着对矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制，个非线性的限制，K中剩中剩下下k(k 1)/2个自由参数，还须给出个自由参数，还须给出k(k 1)/2个短期约束条件。个短期约束条件。例例7.2所描述的所描述的SVAR模型即为模型即为K-型型SVAR模型。模型。 kIKK 2. C-型型 假定假定C是一个是一个(k k)的可逆矩阵，对于的可逆矩阵，对于VAR模型模型 56ttLyA)(7.2.17)如果满足下列条件：如果满足下列条件： 则称

50、上述模型为则称上述模型为C-型型SVAR模型。模型。 在这一模型中，在这一模型中，ut是相互独立的扰动，而是相互独立的扰动，而 t是独立正是独立正交的扰动项交的扰动项ut的线性组合。与的线性组合。与K-型模型所不同的是：在这型模型所不同的是：在这个模型中，内生变量之间没有同期关系，每个变量对正交个模型中，内生变量之间没有同期关系，每个变量对正交扰动项的响应是通过矩阵扰动项的响应是通过矩阵C模拟的。模拟的。 ttCu ktE0u)(kttEIuu)(57 由由 ，可以得到，可以得到 。假定假定 的形式已知，的形式已知， 意味着对意味着对C 矩阵施加了矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制性条件

51、，个非线性的限制性条件，C中剩下中剩下k(k 1)/2个自由个自由参数。如果参数。如果C矩阵是下三角矩阵，则矩阵是下三角矩阵，则C矩阵就相当于矩阵就相当于Cholesky-分解的分解的P矩阵。矩阵。 )()(CuCuttttEECCCC 3. AB-型型 假定假定A、B是是(k k)的可逆矩阵，的可逆矩阵，A矩阵左乘式矩阵左乘式(7.1.5)形式形式的的VAR模型，则得模型，则得 58如果如果A、B满足下列条件：满足下列条件：则称上述模型为则称上述模型为AB-型型SVAR模型。模型。 注意到注意到AB-模型是最典型的模型是最典型的SVAR模型，可以涵盖模型，可以涵盖K-模型和模型和C-模型。如

52、果模型。如果AB-模型中的模型中的A矩阵为单位矩阵，则矩阵为单位矩阵，则AB-模型就转化为模型就转化为C-模型。如果模型。如果AB-模型中的模型中的B矩阵为单位矩阵为单位矩阵，则此矩阵，则此AB-模型为模型为K-模型。模型。 ttyLAAA)(7.2.18)ttBuA ktE0u)(kttEIuu)(59由由得到得到如果如果 的形式已知，则的形式已知，则 是对矩阵是对矩阵A、B的参数施加了的参数施加了k(k+1)/2个非线性限制条件，剩下个非线性限制条件，剩下2k2 k (k+1)/2个自由参数。个自由参数。 )()(BuBuAAttttEEBBAABBAA60 （四）（四）在在Eviews中

53、如何估计中如何估计SVAR模型模型 在在VAR估计窗口中选择：估计窗口中选择：Procs /Estimate Structural Factorization 即可。下面对这一操作进行详细说明：即可。下面对这一操作进行详细说明： 在在EViews中中SVAR模型采用模型采用7.2节所介绍的节所介绍的AB-型：型： 其中其中et，ut是是k维向量，维向量，et是可观测到的（或简化式的）残是可观测到的（或简化式的）残差，相当于前文的差，相当于前文的 t，而而ut 是不可观测的结构新息是不可观测的结构新息(结构式结构式残差残差)。A、B是待估计的是待估计的k k矩阵。简化式残差矩阵。简化式残差et的

54、协方差的协方差矩阵为矩阵为 ttBuAe 61eettE结构新息结构新息ut 被假定是标准化正交的，即其协方差矩阵是单被假定是标准化正交的，即其协方差矩阵是单位矩阵：位矩阵：新息新息ut标准正交的假设对矩阵标准正交的假设对矩阵A、B强加了下面这样的约束：强加了下面这样的约束： 为了估计正交的因子分解矩阵为了估计正交的因子分解矩阵A、B，需要提供附加的可需要提供附加的可识别约束。对于短期和长期约束都能被指定为文本形式或识别约束。对于短期和长期约束都能被指定为文本形式或矩阵模式。矩阵模式。 kttEIuuBBAA621. 用矩阵模式表示的短期约束用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中，对于在许多问

55、题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简单矩阵的可识别约束是简单的排除的排除0约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估计的元素定义为缺省值的约束，矩阵中想估计的元素定义为缺省值NA，在矩阵在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。例如：例如：假定约束假定约束A为主对角元素是为主对角元素是1的下三角矩阵，的下三角矩阵，B为一为一对角矩阵，对于对角矩阵，对于k = 3个变量的个变量的VAR模型，其矩阵模式可定模型，其矩阵模式可定义为：义为： 63101001NANANAANANANA000000B

56、用菜单用菜单Objects/NewObjects可以创建两个新的可以创建两个新的3 3的矩阵的矩阵A、B，然后用表格视图然后用表格视图(speadsheet view)来编辑这些值。来编辑这些值。 一 旦 创 建 了 矩 阵 ， 从一 旦 创 建 了 矩 阵 ， 从 VA R 对 象 窗 口 的 菜 单 中 选 择对 象 窗 口 的 菜 单 中 选 择Procs/Estimate Structural Factorization，在下图所示的在下图所示的SVAR Options的对话框中，击中的对话框中，击中Matrix按钮和按钮和Short-Run Pattern按钮，并按钮，并在相应的编辑

57、框中填入模版矩阵的名字。在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。 64652. 用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束 对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet = But ，并并用特殊的记号识别用特殊的记号识别et和和ut向量中的每一个元素。向量中的每一个元素。A、B矩阵矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例如：例如：像上例所假定的一样，对于有像上例所假定的一样，对于有3个变量的个变量的VAR模

58、型，模型，约束约束A矩阵为主对角线是矩阵为主对角线是1的下三角矩阵，的下三角矩阵，B矩阵是一对角矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，矩阵。在这些约束条件下，Aet = But 的关系式可以写为下的关系式可以写为下面的形式。面的形式。 66tttttttttubeaeaeubeaeube333232131322212121111 为了以文本形式指定这些约束，从为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择对象窗口选择Procs/Estimate Structure Factorization，并单击并单击Text按按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：钮，在编辑框中，应键入下面的方程： 3*)6

59、(2*)5(1*)4(32*)3(1*)2(21*) 1 (1ucececeuceceuce67 特殊的关键符特殊的关键符“e1”， “e2”， “e3”分别代表分别代表et向量中的第一、第二、第三个元素，而向量中的第一、第二、第三个元素，而“ u1”， “ u2”， “ u3”分别代表分别代表ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量矩阵中的未知元素以系数向量c中的元中的元素来代替。并且对素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。可以依

60、据具体的经济理论来建立约束。683. 长期约束长期约束 体现在关系式体现在关系式Aet = But 中的可识别约束，通常指短期中的可识别约束，通常指短期约束。约束。Blanchard 和和Quah(1989)提出了另外一种可识别的提出了另外一种可识别的方法，是基于脉冲响应长期性质的约束。由式方法，是基于脉冲响应长期性质的约束。由式(7.4.17)，可，可推出结构新息的长期响应推出结构新息的长期响应 ： 长期可识别约束依矩阵长期可识别约束依矩阵 的形式指定，典型的是的形式指定，典型的是0约束约束形式。形式。 ij = 0的约束表示第的约束表示第i个变量对第个变量对第j个结构冲击的长个结构冲击的长