第十七章振动

1、第十七章振动第十七章振动学习要点学习要点、简谐振动的描述、简谐振动的描述、简谐振动的合成、简谐振动的合成任何一个物理量（位移、电流等）随时间任何一个物理量（位移、电流等）随时间的周期性变化。的周期性变化。广义振动广义振动机械振动机械振动电磁振动电磁振动I U B的值在某一数值附近反复变化如晶格点阵上原子在如晶格点阵上原子在平衡位置附近的振动平衡位置附近的振动微观振动微观振动物体在一定位置附近做物体在一定位置附近做往复运动往复运动 ( (x x) )振振动动机械振动机械振动类型类型自由振动自由振动受迫振动受迫振动无阻尼振动无阻尼振动非简谐振动非简谐振动阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动一切复杂的振

2、动都可以认为是由一切复杂的振动都可以认为是由许多简谐运动合成的许多简谐运动合成的最简单最简单 最基本最基本17.1简谐运动的描述简谐运动的描述一、简谐运动一、简谐运动：物体运动时，如果离开物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫间变化，这种运动就叫简谐运动。简谐运动。)cos(tAx二、简谐振动的特点二、简谐振动的特点周期振动周期振动等幅振动等幅振动)()(Ttxtx)cos()(cos)cos(TtATtAtA2TT2T12)(s)(Hz表示了简谐运动的表示了简谐运动的快慢

3、快慢)/(sradT3振动及其图象.swf)cos(tAx三、描述简谐振动的三个特征量三、描述简谐振动的三个特征量A振幅振幅: :最大位移的绝对值最大位移的绝对值( (A恒恒0)0) 角频率角频率: :反映振动的快慢反映振动的快慢初相初相: :t t = 0 = 0时刻的时刻的相位相位简谐运动的图像.swfT2 值得思考！值得思考！四、简谐振动的速度和加速度四、简谐振动的速度和加速度)cos(tAx)sin(tAdtdx)2cos(tA)cos(222tAdtxdax2（1）（2）)cos(2tA五、振动图像及用途五、振动图像及用途运动学运动学描述物体在空间中的运动和其随时描述物体在空间中的运

4、动和其随时间的变化的一种学问。间的变化的一种学问。 具体的说具体的说就是描质点的就是描质点的位置位置、速度速度、加速度加速度及其及其对时间的变化关系对时间的变化关系。动力学动力学主要研究作用于物体的主要研究作用于物体的力力与与物体运物体运动动关系。动力学的研究以牛顿运动关系。动力学的研究以牛顿运动定律为基础。定律为基础。17.217.2简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程质点受回复力的作用质点受回复力的作用是质点作简谐运动的是质点作简谐运动的充要条件充要条件质点作质点作简谐运动简谐运动简谐运动图简谐运动图质点受质点受回复力回复力的作用的作用定义质点做简谐运动的两种方式定义质点做简谐运动的两

5、种方式运动学运动学)cos(tAx0222xxkxdtxdmF 动力学动力学简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程（注： 是比例系数）k一、简谐运动的动力学方程一、简谐运动的动力学方程受力分析受力分析取取逆时针逆时针方向为角位方向为角位移的移的正正方向方向法向：法向：cos mgT切向：切向：sinmgf合很小时很小时sinmgf合回回复复力力很小时很小时 单摆作简谐振动单摆作简谐振动例：单摆的微小振动是简谐振动例：单摆的微小振动是简谐振动A动力学解决问题的思路：分析系统受动力学解决问题的思路：分析系统受力力，根据系统根据系统初始条件初始条件，解出系统在任意时刻，解出系统在任意时刻的状态。的

6、状态。构建简谐运构建简谐运动的运动方动的运动方程程简简谐谐运运动动的的系系统统受到回复力的作用受到回复力的作用系统的初始条件系统的初始条件振动系统在任振动系统在任意时刻的状态意时刻的状态)cos(tAxkxF 0 x0v1.简谐运动的简谐运动的固有角频率和和固有周期xmkdtxd22动力学方程动力学方程:mkkmT22kxdtxdmF22022xmkdtxd02xx lgglT2mgf合例：求单摆振动的固有例：求单摆振动的固有角频率角频率和和周期周期mgdtdml22022lgdtd02 tddldtdldtv22tda2.2.通过初始条件求振动系统的通过初始条件求振动系统的振幅振幅)sin(

7、tA)cos(tAx当当 时时, 0tsincos00AvAx-（1）-（2）两边平方两边平方222202220sincosAvAx-（3）-（4）22020)(Avx2020)(vxA3.3.通过初始条件求振动系统的通过初始条件求振动系统的初相初相当当 时时, 0tsincos00AvAx-（1）-（2）tgxvcossin00（2）式）式/（1)式：式：)arctan(00 xv此时此时 在在 到到 之间有两个值，因此要之间有两个值，因此要代回代回 中判定取舍。中判定取舍。00,vx例17.2弹簧振子弹簧振子mk已知：已知：mNk/8 .15kgm1 . 0mx05. 00smv/628.

8、 00)arctan(00 xv2020)(vxA43,41arctan02222xmkdtxdkxdtxdmFp59准弹性力举例准弹性力举例总总结结简简谐谐振振动动的的描描述述)cos(tAx表达式表达式描述简谐振动的三个特征量描述简谐振动的三个特征量T22)2cos(tA)cos(2tAa简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度A简谐运动简谐运动kxF回复力回复力mk2020)(vxA)arctan(00 xv)cos(tAx弹性力弹性力准弹性力准弹性力022xmkdtxd00,vx动力学计算动力学计算动力学方程动力学方程周期公式：周期公式：单摆单摆弹簧振子弹簧振子glT2kmT2 作

9、业作业第第17章章 第第1题、第题、第9题、第题、第11题题物理作业下物理作业下19.已知bmk、证明该物体做简谐振动证明：以悬挂物体平衡位置为为坐标原点，且以向下为正方向则有：0kbmg对任意位移有kybykmgF)(0222yykydtydmF 其中mk解得)cos(tAyby221mvEk对任意位置有2)sin(21tAm)(sin21222tAm)(mk)(sin2122tkA)(cos212121212121)(2122222222tkAkymgykbkbkybkymgykbbykEpbypkEEE)(sin2122tkA221kA)(cos2122tkA回回顾顾简简谐谐振振动动的的

10、描描述述)cos(tAx表达式表达式描述简谐振动的三个特征量描述简谐振动的三个特征量T22)2cos(tA)cos(2tAa简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度A简谐运动简谐运动kxF回复力回复力mk2020)(vxA)arctan(00 xv)cos(tAx弹性力弹性力准弹性力准弹性力022xmkdtxd00,vx动力学计算动力学计算动力学方程动力学方程周期公式：周期公式：单摆单摆弹簧振子弹簧振子glT2kmT217.3 17.3 简谐振动的能量简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例简谐振动的能量简谐振动的能量动能动能势能势能弹弹簧簧振振子子的的动动能能221mEk2

11、)sin(21tAm)(sin21222tAm随时间变化2max21kAE0minE)(mk)(sin2122tkA平均值22241)(sin2111kAdttkATdtETEToTokk弹弹簧簧振振子子的的势势能能221kxEp2)cos(21tAk)(cos2122tkA随时间变化2max21kAEp0minpE平均值22241)(cos2111kAdttkATdtETEToTopppkEEE)(sin2122tkA)(cos2122tkA221kA不随时间变化机械能守恒2AE 振幅A简谐运动的运动范围范围简谐运动的振动强度强度系统总能量系统总能量0AAkEpEpEpkEEE弹弹簧簧振振子

12、子的的势势能能曲曲线线221kxEpxxpE17.4 简谐运动与匀速圆周运动2T简简谐运动的角频率简谐运动的角频率匀速圆周运动的角速度匀速圆周运动的角速度2T圆简谐运动简谐运动匀速圆周运动匀速圆周运动A一 、匀速圆周运动与简谐运动的关系作匀速圆周运动的质点在作匀速圆周运动的质点在x x轴上轴上的的投影点投影点的坐标的坐标)cos(tAxtA0ab作作匀速圆周运动的质点匀速圆周运动的质点在某一在某一直径（取作直径（取作x x轴）上的轴）上的投影的运投影的运动动就是简谐运动就是简谐运动。t)(Amt)sin(tAmxmxm)(2Aannxa)cos(2tAanx参考圆0)sin(tA)cos(2t

13、Aa简谐运动简谐运动: :作匀速圆周运动质点的投影：na二*用相量图法描述简谐运动0A某某一一确确定定简简谐谐振振动动相量图法相量图法 画一个图表示出作匀画一个图表示出作匀速圆周运动的质点的初速圆周运动的质点的初始矢径的位置，并标始矢径的位置，并标以以 ，则相应的简谐，则相应的简谐运动的运动的三个特征量三个特征量都表都表示出来了，因此可以用示出来了，因此可以用这样一个图表示一个这样一个图表示一个确确定的简谐运动定的简谐运动。简谐运。简谐运动的这种表示法叫做动的这种表示法叫做相相量图法量图法。A振幅矢量振幅矢量相量图相量图)cos(tAxt时刻时刻t振动的相（相位）振动的相（相位）t0At在时刻

14、在时刻t t振幅矢量和振幅矢量和x x轴轴的夹角的夹角)sin(tA1.解析法和相量图法对解析法和相量图法对运动状态运动状态的描述的比较的描述的比较位移位移 速度速度相量图法相量图法:解析法解析法:?t0Av0, vAx0Av2t1.2.2举例说明相量图的直观性举例说明相量图的直观性?, vx（1）.0t（2）.max, 0vvx相量图中的相量图中的相相与作与作简谐简谐振动振动质点的质点的状态是状态是一一一一对应的对应的0txxxxx0 x0 x0 x0 x3. 在不同象限对应的状态在不同象限对应的状态t4.几个特殊点阵振动相位与振动状态的对应关系几个特殊点阵振动相位与振动状态的对应关系Ax0

15、abcd:a0t0,Ax:b2tmax, 0 x:ct0,Ax:d23tmax, 0 x相量图相量图5.利用相位角判断简谐运动的步调利用相位角判断简谐运动的步调两个两个同频率同频率简谐振动简谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt121x2x2t1t0 x同相和反相超前和落后)cos(tAx)2cos(tA)cos(2tAa6.相位表示的频率相同的不同物理量变化的步调axv三、相量图法研究简谐运动的优点：三、相量图法研究简谐运动的优点：t=0t=0时，振幅矢量与时，振幅矢量与x x轴的夹角轴的夹角tt t时刻振幅矢量与时刻振幅矢量与x x轴的夹角轴的夹角1.将将变速运

16、动变速运动化为以做化为以做匀速圆周运动匀速圆周运动的质点为参考点再向的质点为参考点再向x轴轴投影。使问题形象化，便于思考。投影。使问题形象化，便于思考。2.相位相当于圆心角，形象化。相位相当于圆心角，形象化。3、利用圆心角易比较运动的步调，判断超前还是落后。、利用圆心角易比较运动的步调，判断超前还是落后。例17.1(57)已知:mA05. 00Av2)cos(tAx（1）)(1021sT（2）)sin(tA)cos(2txa)cos(tAx（3）)cos(tAxx（4）相量图相量图振动相量图振动相量图sT2 . 02/2/Av第17章 振动47旋转矢量振动方程振动曲线例OADCBx解 质点在

17、x 轴上作谐振动，从ABOCD，请指出各点时的相位，并说明相应的状态。0A3B2O23CD第17章 振动48例解用相位分析问题oxA1AA/2：相位变化从0/3，由A/20： 相位变化从/3/2 ，2由 一质点在 x 轴上作谐振动，T为已知，问：质点从AA/2和从A/20所需时间各为多少？13112Tt16Tt26222Tt212Tt第17章 振动49o()x cm( )t s13323解例已知振动曲线，求振动方程。x223cos()xt由振动曲线1，1t0时，x00，0 0由振动曲线2，t0时，x03，0 0？00cos sinxA A v3()Acm2( )Ts 2( ) sT 12 13

18、cos()2xt2一、简谐振动的能量动能势能221mvEk221kxEp221kAE 机械能守恒2A241kAEEpk小小结结*二用相量图法描述简谐运动0A某某一一确确定定简简谐谐振振动动A振幅矢量振幅矢量相量图相量图小小结结 作业作业第第17章章 第第2题、第题、第3题、第题、第10题、第题、第13题题物理作业下物理作业下17.1一个小球和轻弹簧组成的系统，按以下规律运动)38cos(05. 0tx求：(1)振动角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度)cos(0tAx)/(8srad)(412sTmA05.030)sin(0tA)cos(02tAasmAm/26. 105. 0822

19、2/6 .3105. 0)8 (smAam(2) T=1s、2s、10s等时刻的相380tt(3) 分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线)cos(tAx)2cos(tA)cos(2tAa)38cos(05. 0tx3251349232411017.3已知sT5 .0mA2100 .2求：(1)物体过处，向负方向运动时振动表达式mx2100 . 1xa345 . 022T)34cos(02. 0tx()物体过处，向正方向运动时振动表达式mx2100 . 1xb34)324cos(02. 0tx32一、简谐振动的能量动能势能221mvEk221kxEp221kAE 机械能守恒2A复复习习二、

20、用相量图法描述简谐运动某某一一确确定定简简谐谐振振动动A0 x一、同一直线上同频率的简谐运动的合成一、同一直线上同频率的简谐运动的合成17.5两个简谐运动的合成振动在同一直线上振动在同一直线上相同的振动频率相同的振动频率)cos(111tAx)cos(222tAx分振动分振动不同振幅不同振幅不同初相不同初相)cos()cos(221121tAtAxxx合振动合振动力的合成力的合成 )cos(tAA1A2A21022cosA11cosA2A222sinA11sinA12)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA 一个质点参与两个在同一直线上频率相

21、同的一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。)cos(tAx 和和 的角频率的角频率:1x2x(1)(2)(3)振动合成矢量矢量 合成合成 振振 幅幅A1A2A2102A12根据余弦定理根据余弦定理0212221cos2AAAAA0)(cos212212221AAAA )cos(212212221AAAA17.14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动)62cos(03. 0)62cos(04. 021txtx解：设合振动的表达式解：设合振动的表达式)cos(tAx2mAAAAA06. 0)cos(21221222108.

22、 0213coscossinsintan22112211AAAAp67)08. 02cos(06. 0tx)cos(212212221AAAAA21212221max2AAAAAAA21212221min2AAAAAAA01212（1 1）两振动同相）两振动同相两分振动相互加强两分振动相互加强两分振动相互减弱两分振动相互减弱（2 2）两振动反相）两振动反相两种特殊情况振动的合成二、同一直线上不同频率的简谐运动的合成二、同一直线上不同频率的简谐运动的合成振动在同一直线上振动在同一直线上振动频率不同振动频率不同振幅相同振幅相同初相相同初相相同)cos(11tAx)cos(22tAx21xxx分振动

23、分振动合振动合振动21xxx)cos(1tA)cos(2tA)2cos()2cos(21212ttA1212)2cos(12tAtAA2cos212近似简谐运动近似简谐运动拍拍振幅调节振幅调节拍的形成拍频拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫做单位时间内振动加强或减弱的次数叫做拍频拍频02加强加强加强加强减弱减弱t0单位时间内单位时间内 比比 多振动多振动 次次2x1x12单位时间内相位相同的次数单位时间内相位相同的次数12拍频：拍频：120211x2x12设：三三. .垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成1.1.分振动分振动2. 合运动合运动)(sin)cos(212212

24、21222212AyAxAyAx讨论讨论 当当 = 2- 1=k (k为整数为整数)时时: 0221222212AyAxAyAx当当 =( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时：时： 1222212AyAx合成合成 分解分解021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAy = 0(第一象限第一象限) = /2 = = 3 /2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第四象限）（第四象限）相位角差1 11 21：32 30/4/23/4总结（1）同一直线上同频率的简谐运动的合成）同一直线上同频率的简谐运动的合成)c

25、os(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(tAx（2）同一直线上不同频率的简谐运动的合成）同一直线上不同频率的简谐运动的合成)2cos(12tAxtAA2cos212近似简谐运动近似简谐运动拍拍拍频：拍频：12简谐运动简谐运动ty1cos3ty5cos3频率与函数变化关系频率与函数变化关系阻力：rf（速度不太大）dtdxkxdtxdm22022kxdtdxdtxdm)cos(0teAxt一、阻尼振动的运动方程),2(0mkm阻尼系数阻尼系数（ 系统的固有频率）系统的固有频率）22000220 xxx 17.6 阻尼振动和受迫振动振幅衰减规律：振幅衰减规律：teAA0)2(m能量衰减规律：能量衰减规律：teEE20驱动力：驱动力：)cos( tH)cos(22tHdtdxkxdtxdm)cos(tA212222204)(mHA等幅