大一高数练习册参考答案

1、高数练习册参考答案高数练习册参考答案10级习习题题解解答答参参考考第一章第一章求定义域求定义域. 16116.23 xxxyA0)3)(2)(1( xxx), 32 , 1 :D)arcsin(1.2xxyB 01|22xxxx251, 1()1 , 0()0 ,251: DxxyD1arctan37. 0037xx37, 0()0 ,(:DxyCsinln. 0sin x )12(2 kxk,)12(2|:ZkkxkxD )()(,1 , 0)(. 2axfaxfDxf 求求的的定定义义域域是是设设)0 a（ 1010axax axaaxa11时时，若若：aa 121 a1 , :aaD 时

2、，时，若：若：21 a :D）或或（打（打判断下列函数是否相同判断下列函数是否相同 o. 3)()(,)(.2 xxgxxfA)(1)(,)(.3334oxxxgxxxfB )(24)(, 2)(.2 xxxgxxfC）（ xxxgxxfD|)(,sgn)(.、求求xxx|lim. 40 、xxx|lim0 xxx|lim0 xxx|lim0 1lim0 xxxxxx|lim0 1lim0 xxx不存在不存在xxx|lim0、求：求：xxelim. 5、xxe limxxe lim xxelim0lim xxe不不存存在在xxe lim0| )(|lim)(lim. 600 xfxfxxxx语

3、言证明：语言证明：用用 证：证： 0)(lim0 xfxx时时，当当 |0, 0, 00 xx | )(|xf恒有：恒有： | )(|xf |0| )(|xf0| )(|lim0 xfxx计算极限：计算极限：. 772423lim.321 xxxAx11lim.231 xxBx2311lim21 xxxxxxxxCx 220)(lim.xxxxx )2(lim0 x2 221lim.nnDn 2)1(21limnnnn 21 30sintanlim.xxxGx 30)cos1tanlimxxxx （3202limxxxx 21 320sin1lim.xxEx230limxxx 0 32sin1

4、lim.xxFx 0 xxHxtanlim.0 xxx5lim0 5 xxxI10)31(lim. 3310)31(lim xxx3 exxxxJ)3(lim. 33)31(limxxx 3e 是正的常数）是正的常数）、knmxkxKmnx()(sin)(tanlim.0mnxxkx)(lim0 mnxnxk 0lim mnmnkmnn, 0 xxxxL2)1212(lim. 124212)1221(lim xxxxx2e baxxbaxxx, 22lim. 8222求求已知已知 由已知：由已知：)(lim22baxxx , 0)22lim2222 xxxxbaxxx（024 baab24 2

5、lim222 xxbaxxx）（1)(2)2)(2lim2 xxaxxx12lim2 xaxx234 a8,2 ba另另法法：由由已已知知，可可设设：)(2(2cxxbaxx c代代入入极极限限，求求得得:. 9 计算极限计算极限xxeeAxxx sinlim.sin0 xxeexxxx sin)1(limsin0 xxxxx sinsinlim01 )1sin1)(11(tansinlim.320 xxxxBxxxxxxsin2131)1(costanlim20 xxxxx2131)21(lim220 3 否是可去间断点？否是可去间断点？，并指明一、二类，是，并指明一、二类，是找出下列函数的

6、间断点找出下列函数的间断点.10 1, 31,)(.2xxxxxfA1)(lim1 xfx4)(lim1 xfx不不是是可可去去间间断断点点是是第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点，1 xxxxfBsin)(. )(Zkkx 间断点为：间断点为：, 00 xk即即1)(lim0 xfx。是第一类的可去间断点是第一类的可去间断点0 x,0 kxk 即即 )(limxfkx 。是第二类的无穷间断点是第二类的无穷间断点)0( kkx )1( |)(.22 xxxxxfC1, 0 xx间断点为：间断点为：1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx是是第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点，0 x是是可可去去间

7、间断断点点21)(lim1 xfx )(lim1xfx是是第第一一类类间间断断点点， x。是第二类的无穷间断点是第二类的无穷间断点1 x不不是是可可去去间间断断点点的的连连续续性性讨讨论论函函数数xxxxfnnn 2211lim)(.11时，时， nnx2 1| ,1| , 11|0 xxx， 1| ,1| , 01|)(xxxxxxf， 1| , 11| , 01|1xxx，nnnxx2211lim 1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1, 1 xx。是第一类的跳跃间断点是第一类的跳跃间断点内内连连续续在在), 1()1 , 1()1,()

8、( xf 内连续。内连续。在在使使选择选择设设),()(,0, 20,)(.12xfaxexaxxfx解：解：是连续的，是连续的，时，时，axxfx )(0是连续的，是连续的，时，时，2)(0 xexfx处处：在在0 xaaxfx )(lim)0(01)2(lim)0(0 xxef1 a由连续性知：由连续性知：计算极限：计算极限：.13220113lim.xxAx 22023limxxx 23 )(lim.22xxxxBx xxxxxx 222lim1 的正实根。的正实根。至少有一个小于至少有一个小于证明：方程证明：方程1012.147 xx证明：证明：, 12)(7 xxxf设设1 ,0)(

9、Cxf 可可知知02)1(, 01)0( ff又又由由零零点点存存在在定定理理知知：0)(),1 , 0( f使使至少存在一点至少存在一点0127 即：即：为所求根。为所求根。 )()(,1,1,)(,sgn)(.152xfgxgfxxxxxgxxf及及求求设设解：解： 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf 1,1,)(2xxxxxg 0)(, 10)(, 00)(, 1)(xgxgxgxgf 0, 10, 00, 1xxx 1)(),(1)(),()(2xfxfxfxfxfg 0, 10, 00, 1xxx满足：满足：对任意实数对任意实数设设21,)(.16xxxf),()()(2

10、121xfxfxxf ）内连续。）内连续。，在（在（证明：证明：求求处连续，处连续，在在且且 )(.);0(.0)(xfBfAxxf解：解：.A)0()0()00()0(ffff 0)0( f.B),( xyx 0lim)()(lim0 xfxxfx )()()(lim0 xfxfxfx )(lim0 xfx 0)0( f点连续点连续在在xxf)(),()( Cxfx的任意性知：的任意性知：由由baxbxaxx、为等价无穷小，求为等价无穷小，求与与时，时，当当11.172 解：由已知：解：由已知：11lim21 xbxaxx0)(lim21 bxaxx01 ba1lim21 xbxaxx11l

11、im21 xaxaxx1)1(1(lim1 xaaxxx）12 a1 0, 1 ba 0,100,sin)(.18xxxbeaexfxx设设处连续。处连续。在在，使得，使得、确定确定0)( xxfba解解：由由已已知知：10)(lim0 xfx0)(lim0 xxxbeae0 ba又又xbeaexxxsinlim0 xaeaexxxsinlim0 xeaexxxsin)1(lim20 xxaexx2lim0 a2 102 a5, 5 ba计算极限计算极限.19)0()(lim. ahcaxbaxAkhxx)()1(limkhxcaxcbcbcaxxcaxcb caxcbkhxxe )(lima

12、cbhe)( 时时当当cb 时时当当cb 原式原式原式原式1 原式原式综上：综上：acbhe)( )(lim.12nnnxxnB )1, 0( xx)(lim1112nnnxxn )1(lim)1(112 nnnnxxn)ln)1(1(lim2xnnnn )1(lim)ln(2 nnnxnxln 习习题题解解答答参参考考第第二二章章是否存在？是否存在？在下列情况下，在下列情况下，)( . 10 xfaxxfxxfAx )()(lim.000 xxfxxfax )()(lim000）（ 1)()(lim000 xxfxxfx)( 0 xf )( 0 xfaxxxfxxfBx )()(lim.00

13、0 xxxfxxfax )()(lim000 xxfxxfxfxxfx )()()()(lim00000 未必未必)( 0 xf（米米），律律是是已已知知物物体体的的直直线线运运动动规规ttts3)(. 22 秒时的速度。秒时的速度。求其在求其在4 t的的切切线线方方程程。上上过过点点求求曲曲线线)3, 1(. 32 xy解：解：32)( )( ttstv秒秒米米/11| )(4 ttv解：解：，设切点为设切点为),(00yx,20 xk 切线切线)(2000 xxxyy 切切线线方方程程为为：在在切切线线上上：又又)3, 1( )1(23000 xxy 在在曲曲线线上上：),(00yx200

14、 xy )9 , 3(),1 , 1( 联立解得切点：联立解得切点：012 yx切切线线方方程程为为：096 yx及及xyx 0lim？处处是是否否连连续续？是是否否可可导导，在在01001sin)(. 42 xxxxxxf解：解：先验证可导性：先验证可导性：xfxfx )0()0(lim0 xxxx 1sin)(lim2001sinlim0 xxx点可导，点可导，在在0)( xxf点连续。点连续。故在故在0 x处处是是否否可可导导？，在在取取何何值值时时，011)(,. 52 xxbaxxxxfba点可导点可导在在1)( xxf)1()1( ff1)1()(lim)1(1 xfxffx211

15、lim21 xxx1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim1 xbaxx211lim1 xbaxx01 ba11lim1 xbaxxaxaaxx 1lim11, 2 ba解：解：计算导数：计算导数：. 6xxxyAxsin322.34 xxxyBcossin5.2 )32(sec.2 xyCxxxxxyxcos3sin92ln28325 xx2sin252 xxxxy2cos52sin52 )32tan()32(sec42 xxyxeyDxlnarctancos. xxexeeyxxx1)(ln11coslnarctansin2 )32(log.233xxyE )66(3ln)32(

16、1223xxxxy 3ln)32()162xxx （)1ln(.2xxyG 22cot.xxyF nxxyHnsinsin. 32222cot2csc2xxxxy )1221(1122xxxxy 211x nnxxnxxxnynn cossinsincossin1xnxnn)1sin(sin1 xyIsin5. xeyJ1arctan. xxyx21cos5ln5sin 21arctan11xex )1()1(11221arctanxxeyx 计算二阶导数：计算二阶导数：. 7xeyAxsin. )1ln(.2xxyB xexeyxxcossin 211xy )cos(sinxxex )sin

17、(cos)cos(sinxxexxeyxx xexcos2 212)1( x232)1( xxy：计算计算dxdy. 8yxexyA 4.27sin.223 yexyxB) 1yexyyyx （yxyxexyey xyxyxy 4407cossin223322 yexxyyxyxyyexyxxy7232sin322 xxyC .xxylnln xxxyy1ln1 )ln1(xxyx 角速度。角速度。时，运动员枪口转动的时，运动员枪口转动的求靶子过垂足求靶子过垂足的速度水平移动，的速度水平移动，子以子以水平移动靶射击中，靶水平移动靶射击中，靶奥运会奥运会msmm2/110. 9由已知：由已知：解

18、：解： m10smtv/1)( m2),(tss 离离为为设设靶靶子子移移动动过过垂垂足足点点距距)(t 枪枪口口转转动动的的角角度度为为10)()(tantst 两端求导：两端求导：dtdsdtd 101sec2 dtdsdtd 10cos2 dtds 2sec1101102arctan ，2526tan1sec22 52512625101 dtd 1 dtds时时2 s。时时，求求水水面面上上升升的的速速度度当当水水深深注注入入速速度度为为的的正正圆圆锥锥容容器器中中，底底半半径径为为注注水水入入深深msmmm5,/488.103解：解：rh，设设水水面面高高度度为为：)(thh )(tr

19、r 水面半径为：水面半径为：由已知：由已知：hr 88hr 323131hhrV dtdhhdtdV 2 dtdVhdtdh 21 451|25 hdtdhsm/254 88 。）处处的的切切线线、法法线线方方程程，过过点点（求求曲曲线线2121,2cossin.11tytx解：解：tttdxdysin4cos22sin2 ）点时，）点时，曲线过（曲线过（21216 t2|6 tdxdyk切线切线0232 yx切切线线方方程程：0212 yx法线方程：法线方程：计计算算微微分分：.12xxyA31.3 dxxxdy)233(4 xexyBsin2. dxxxxedyx)cos2(sin xyC

20、xarctan2. dxxxxdyx)1(21arctan2ln2 2211.xxyD dxxxdy22)1(4 填空：填空：.13xdxCxdA5)25(.2 tdtCtdB sin)cos1(. dxxCxdC 12)1ln(2(.dxeCedDxx55)51(. dxCdExx222)2ln22(. dxCdFxx2231)3ln23(. 。存存在在，证证明明是是偶偶函函数数，且且设设0)0( )0( )(.14 ffxf证明：证明：)0( f0)0()(lim0 xfxfx0)0()(lim0 xfxfx）（ 10)0()(lim0 xfxfx)0( f 0)0( faxxafaxfa

21、fax )()(lim,)( .15求求存存在在设设解：解：axxafaxfax )()(limaxxafaafaafaxfax )()()()(limaxafaxax )()(limaxafxfaax )()(lim)( )(aafaf 时的微分。时的微分。当当求求31,.16sin xexxyx解：解：xxylnsinln 两两端端求求微微分分：dxxxxxdyy)sinln(cos1 两两端端取取对对数数：dxxxxxxdyx)sinln(cossin 31)sin(cos|sin31 eeeedyexex)1,1.173 xyxxy（求求已已知知解：解：13 xxy1113 xx111

22、2 xxx2)1(112 xxy3)1(22 xy4)1(6 xydxdyyettexyt求求，已知：已知： 01sin.183dtdxdtdydxdy 解解：求导：求导：对对ttedtdxtcos 求求导导：对对t0332 dtdydtdyetetyyyyetetdtdy3213 )(cos1(332tyyetetet dyeyyx求求设设,.19 解：解：yxy lnxyy ln两两端端取取对对数数：两两端端求求微微分分：dxdyyyydy 1lndxyxydy dyxxyx求求设设,)1(.2034 解：解：)1ln(ln4ln3 xxxy两两端端取取对对数数：两两端端求求微微分分：dx

23、xxxxxdyy13)1ln(141323 dxxxxxxxdyx13)1ln(4)1(33334 dxdyxxxy，求求已已知知2)43)(12)(2(.21 解：解：两两端端取取对对数数：两两端端求求导导数数：)43ln(2)12ln()2ln(ln xxxy436122211 xxxdxdyy dxdy)43)(12)(2(6)43)(2(2)43)(12(22 xxxxxxxxaxfxafyfxfxyfxy )(,0,)1(),()()(,0.22时时证明：当证明：当且且时时当当证明：证明：)()()(yfxfxyf 由由1 y令：令：)1()()(fxfxf 0)1( f)()()(

24、)(xxyfyfxfxyf 又：又：)(xf xxfxxfx )()(lim0 xxxxfx )(lim0 xxxfxxfx1)1()1(lim0 xafx )1(1)0()0()0(0001sin)()(.23fggxxxxgxf ，求，求，且，且设设解：解：由已知：由已知：0)0()0( gg得：得：0)0()(lim)0(0 xgxggx0)(lim0 xxgx0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxgx1sin)(lim0 01sin)(lim0 xxxgx习习题题解解答答参参考考第第三三章章, 432)(7 xxxf设设的正根。的正根。且是小于且是小于只有唯一实根，只有唯一实根

25、，证明方程证明方程10432. 17 xx证明：证明：1 , 0 x0314)(6 xxf )(xf, 04)0( f又又01)1( f由单调性知：由单调性知：0)(10 f），有），有，（唯一唯一为方程根。为方程根。 ,cotarctan)(xarcxxf 设设)11(2cotarctan. 2 xxarcx 证明：证明：证明：证明：)1 , 1( x01111)(22 xxxfCxf )(2)0( f由由2)( xf证明：证明：设设, 0. 3 ba证明：证明：xxf1)( xxfln)( 设设bbabaaba ln由结论分析知：由结论分析知：bbabaa1lnln1 ,abC ),()(

26、abDxf 上满足拉氏定理条件，上满足拉氏定理条件，在在.)(abxfbabfaffab )()()(),( 有有baba lnln1 ab bbabaa1lnln1 得证。得证。计算极限：计算极限：. 4xeeAxxxsinlim.0 xeexxxcoslim000 2 xxxxBxsintanlim.0 xxxcos11seclim2000 221tanlim22000 xxx)1112(lim.21 xxCx211limxxx 2121lim100 xx)( )cot1(lim.0 xxDx xxxxxxsincossinlim0 )( 2000cossinlimxxxxx 02sinl

27、im000 xxxx 00)1()(. 52111xexexxfxx函数函数处是否连续？处是否连续？在在0 x解：解：21)0()0( eff易知：易知： )0(fxxxex110)1(lim 1)1ln(101lim xxxxe20)1ln(limxxxxe )1(21lim0 xxe 21 e处连续处连续在在故故0)( xxf的的单单调调区区间间。找找出出函函数数11232)(. 623 xxxxf解：解：)2)(161266)(2 xxxxxf（0)( xf令令2, 1 xx), 1)2,( 及（及（单增区间：单增区间：1 , 2 单减区间：单减区间：的单调性。的单调性。判断函数判断函数

28、xxy82. 7 解：解：282xy 0 y令令2, 2 xx 不不y0 x )(), 2()2(xf内内及及，在在 )(2 , 0()0 , 2xf内内及及在在xxxx2tansin20. 8 时，时，证明：当证明：当 证明：证明：xxxxf2tansin)( 设设2seccos)(2 xxxf0)( xf现证：现证：0)1cos2(sintansec2sin)(22 xxxxxxf0)0( f连续连续在在0)( xxf0)( xf0)0( f又又连连续续在在且且0)( xxf0)( xf得证。得证。有有几几个个实实根根？讨讨论论方方程程设设axxa ln, 0. 9解：解：，设设axxxf

29、 ln)(), 0( x,1)(axxf 0)( xf令令ax1 , 0)(,)1, 0( xfa内内可知：可知： )(xf, 0)(,),1( xfa内内 )(xf以及：以及：,)(lim0 xfx,)(lim xfx1ln)1( aaf为最大值为最大值0a11ln a0)1( af时，时，即即ea10 方程有两个实根。方程有两个实根。0)1( af时，时，即即ea1 方程有一个实根。方程有一个实根。0)1( af时，时，即即ea1 方程无实根。方程无实根。)(xf）是是曲曲线线的的拐拐点点。，（处处具具有有水水平平切切线线，且且点点在在的的曲曲线线使使得得过过点点确确定定常常数数1012)

30、44, 2(,.1023 xdcxbxaxydcba解：解：),10, 1()44, 2( 及及曲线过曲线过0 dcba44248 dcba处处有有水水平平切切线线，即即：曲曲线线在在2 x0|2 xy0412 cba即：即：是拐点是拐点,)10, 1( 0|1 xy026 ba16,24, 3, 1 dcba联立解得：联立解得：求求下下列列函函数数的的极极值值：.1111232)(.23 xxxxfA解：解：1266)(2 xxxf612)( xxf0)( xf令令2, 1 xx06)1( f6)1(1 fx处处有有极极小小值值030)2( f21)2(2 fx处处有有极极大大值值xexfB

31、xsin)(. 解：解：)cos(sin)(xxexfx 0)( xf令令1tan x）4cos(2)4(4 kekfk是是极极小小值值是是极极大大值值xexfxcos2)( Zkkx ,4 为奇数为奇数为偶数为偶数kk, 0, 0为偶数时：为偶数时：k422)4( kekf为奇数时：为奇数时：k422)4( kekf还是极小值？并求出。还是极小值？并求出。处取得极值？是极大值处取得极值？是极大值在在取何值时，取何值时，常数常数33sin31sin)(.12 xxxaxfa解：解：xxaxf3coscos)( 处处取取得得极极值值在在3)( xxf0)3( f0121 a2 axxxf3cos

32、cos2)( xxxf3sin3sin2)( 03)3( f3)3(3)( fxxf处取得极大值：处取得极大值：在在如如何何建建最最省省料料？的的矩矩形形仓仓库库，欲欲借借助助一一面面墙墙建建立立一一个个220.13cm解：解：)(20)(mxmx长长，另另一一边边长长为为设设矩矩形形仓仓库库取取墙墙面面长长为为xxxxL40202 则则搭搭建建的的围围墙墙周周长长：2401xL 0 L令令102 x因驻点唯一，因驻点唯一，所求最值点。所求最值点。故故102 x时时，最最省省料料。宽宽为为故故当当长长为为mm10,102x有有且且仅仅有有两两个个实实根根。证证明明方方程程0593.1423 x

33、xx解：解：593)(23 xxxxf设设0963)(2 xxxf令令3, 1 xx66)( xxf012)1( f为极大值为极大值0)1( f012)3( f为极小值为极小值32)3( f )(lim,)(limxfxfxx又又1 3如如左左图图所所示示由由上上述述讨讨论论知知)(xf内内也也必必有有一一根根。在在为为方方程程的的根根，而而故故),3(1 x得证。得证。),( C漏漏斗斗的的容容积积最最大大？分分的的圆圆心心角角多多大大时时，做做成成一一个个漏漏斗斗，裁裁下下部部扇扇形形，的的圆圆形形铁铁片片上上挖挖去去一一个个从从一一块块半半径径为为 R.15解：解：hrl，高高为为漏漏斗

34、斗的的底底面面半半径径为为扇扇形形弧弧长长为为为为设设做做漏漏斗斗的的扇扇形形圆圆心心角角, Rl Rl 64223242431 RhrV22,2rRhrl 又又）最最大大最最大大只只须须（6424 V0616532 ）（令令f（舍去）（舍去），0362 驻点唯一，即为所求。驻点唯一，即为所求。6424)( f故故设设上上的的最最值值。在在求求2,0.1633xxey 解：解：)33(233 xeyxx0 y令令（舍去）（舍去）1, 1 xx比比较较：，2)1( ey2)2(ey ，1)0( y2maxey 2min ey得：得：为为增增函函数数？在在什什么么范范围围内内，83)(.173 a

35、xaxxfx解：解：aaxxf33)(2 0)( xf令令0102 xa时，时，当当 )(11xfxx时，时，及及当当0102 xa时，时，当当 )(11xfx时，时，当当)()(1)()(1lim, 0)( )(.18afaxafxfafaxxfax 求求的的二二阶阶导导数数，且且的的某某个个邻邻域域内内具具有有连连续续在在已已知知解：解：)()(1)()(1limafaxafxfax )()()()()()()(limafaxafxfafxfafaxax )00()00()()()()()()()(limafafxfafaxxfxfafax )00()()()()()()()(limafx

36、fafxfafaxxfxfax 2)( 2)(afaf 的极值。的极值。确定，求确定，求由由设设)(3223)(.19323xfyxyxxf 解：解：求导：求导：方程两端对方程两端对x06633222 yyyxyyx,2yxyy 22yyxyy 0 y令令xy 2, 2 yx代入原方程得：代入原方程得：041|22 yxy2 极小极小y 不不令令y,2, 035 xy 0235|yxy轴的切线，轴的切线，即有垂直于即有垂直于x故不可能取得极值。故不可能取得极值。短短。被被坐坐标标轴轴截截下下的的长长度度最最的的切切线线上上求求一一点点，使使得得过过该该点点在在曲曲线线xy1.20 解：解：),

37、1,(xxM设设所所求求点点为为21xy 此此点点处处点处的切线：点处的切线：在在M)(112xXxxY )0 ,2(),2, 0(xx切切线线与与坐坐标标轴轴的的交交点点：:L的的线线段段长长度度的的平平方方为为设设切切线线夹夹在在坐坐标标轴轴之之间间222244)2()2(xxxxL 388 xxL0 L令令1 x1 y为所求为所求故点故点)1, 1(),1 , 1( 围围成成的的面面积积最最大大。该该点点的的切切线线与与直直线线上上的的一一点点，使使得得其其在在上上找找出出曲曲线线在在0, 88 , 0.212 yxxy解：解：),(2xx设设所所求求点点为为xy2 此此点点处处：在该点

38、处的切线方程为在该点处的切线方程为)(22xXxxY )16, 8(82xxx 的的交交点点：切切线线与与0 S令令,316 x为所求点。为所求点。，)9256316(22xxXY )0 ,2(0 xy的的交交点点：切切线线与与 所围图形的面积：所围图形的面积：2)16(41xxS )316)(16(41xxS （舍舍去去）16 x为为所所求求最最值值点点。因因驻驻点点唯唯一一，故故316 x80yx2xy x习习题题解解答答参参考考第第四四章章计计算算不不定定积积分分：.1dxxxA 52. dxx511 dxxxB)2(.2 dxxx)2(23Cxx 343241Cx 516165计计算算

39、不不定定积积分分：. 1 dxxxC221.Cxx arctan dxeDxx2. dxex)2(Ceex 2ln)2( dxxx22111 dxx)111(2dxxE 3)43(. )43()43413xdx（ dxxeFx243. )43(812432xdexCex 24381Cx 4)43(161 dxxxG231.Cxx )1ln(212122 dxxxxH)1(arctan. )(arctanarctan2xdxCx 2)(arctan dxxxxx231 dxxxx)1(2dxxxI )tan(tan.53 xdxx23sectan dxxJ311. tdtt 3211Ctt )1

40、ln(3232Cx 4tan41)(tantan3 xxd tx 3 dttt11132Cxx )31ln(32332 xdxxK3cos. dxexLx)32(. )()32(xedx )(sin31xxd xdxxx3sin313sin31Cxxx 3cos913sin31 dxeexxx2)32(Cexx )12(dxxM 2)(ln. dxxxxxx1ln2)(ln2 xdxxxln2)(ln2Cxxxxx 2ln2)(ln2 dxeNx2. tdtet22tx 设设 )(2tetd dtetett22Cetett 2221Ceexxx 2221 dxxxO)8(1.7Cxx |8|l

41、n561|ln817 dxxxxx)8(881777 dxxxx)81(8176 dxxP11.2dxxx)11112 （Cxx |11|ln21dxQxxxx 4932. dxxx2)32(1)32( )32()32(1132ln12xxd duu2113ln2ln1Cuu |11|ln213ln2ln1Cxx |1)32(1)32(|ln)3ln2ln21（xu)32( 设设dxxxxR 23.4811dxxxxxx )2323(48373 dxxxxdxxxxxx232523128834148348374 )(23185)23ln(8341448484xdxxxxxCxxxxx 21ln

42、85)23ln(834144484dxxxxR 23.4811dxxxxx 234838Cxxx )1ln(41)2ln(41444)(23)()(442424xdxxx 4xu 设设duuuu 234122duuuu)23231(412 duuuu)1124(4141 Cuuu )1ln(41)2ln(41dxxxxS 841.2)84ln(212 xxdxxxx 84242212dxxxxxd 84)84(2122dxx 4)2(2212Cxxx )22arctan(21)84ln(212 )2()22122xdx（dxeTx 11.tex 1设设Ctt 11lndtttt1212 原式原

43、式)1ln(2 txdtttdx122 dtt 1122dttt )1111(Ceexx 1111lndxeUx 11.dxeeexxx 11)1(11 xxedexCexx )1ln(Cxx 2cot382cot83dxxxV 44cossin1.dxx 4)2(sin116dxx 2csc164)2(cot2csc82xdx )2(cot)2cot1(82xdx )(, 1)(. 2xfxefx求求设设 xet 设设Ctt lntxln dtt )1(ln1ln)( ttf dttftf)()(Cxxxf ln)()(xfy 设设曲曲线线方方程程为为的平方，求其方程。的平方，求其方程。法线

44、的斜率是其横坐标法线的斜率是其横坐标处的处的且其上任一点且其上任一点过点过点设曲线设曲线),(),3 , 2(. 3yxC解：解：21xy 3|2 xy且满足：且满足：由已知：由已知：21xy Cxdxxy 1123|2 xy代入代入25 C251 xy所所求求曲曲线线方方程程为为 dxxfxxxxxf)(,ln)sin1()(. 4求求的的一一个个原原函函数数为为已已知知解：解： dxxfx)(由已知：由已知：ln)sin1()( xxxxfxxxxxxx1)sin1(ln)cos(sin 又：又：Cxxxdxxf ln)sin1()( )(xfxd dxxfxxf)()(Cxxxxxx l

45、nsinlncos2。，求求取取得得极极大大值值时时，且且当当处处的的切切线线的的斜斜率率为为上上任任一一点点设设曲曲线线)(211)(1, 63),()(. 52xfxfxxaxyxxf 解：解：63)(2 xaxxf由已知：由已知：Cxxxa 6233232 Cdxxaxxf )63()(2又：又：0)1( f3 a211)1( f2623)(23 xxxxf)20()(,tan2cos)(sin. 622 xxfxxxf求求设设xt2sin 设设Ctt )1ln(2ttttf 121)( dttftf)()(Cxxxf )1ln()(2tt 112dxeeexxx . 7dxeexx 2

46、21)(112122xxede Cex )1ln(212习习题题解解答答参参考考第第五五章章. 0)(, 0)(, 0)(,)(. 1 xfbadxxfxfbaxfba上，上，则在则在证明：若证明：若上连续，且上连续，且在在设设证明：证明：反证法：反证法：, 0)(,00 xfbax有有假设假设0)(0 xf不不妨妨设设连连续续：由由)(xf，,)(210ccxU 0)(,21 xfccx，有，有由由积积分分保保号号性性知知：0)(21 ccdxxf又：又： badxxf)( bcdxxf2)( 1)(cadxxf 21)(ccdxxf由题已知：由题已知：; 0)(1 cadxxf; 0)(21 ccdxxf0)(2 bcdxxf故：故：0)( badxxf与已知矛盾与已知矛盾0)(, xfba上，上，故在故在的导数。的导数。对对确定的函数确定的函数求由求由xxfytdtdtexyt)(0cos. 200 解：解：求导：求导：方程两端对方程两端对x0cos xyeyyexycos 另法：另法：; 10 yytedtextdtxsincos0 方程化为：方程化为：0sin1 x