第11章向量代数与空间解析几何MATLAB求解ppt课件

1、第11章 向量代数与空间解析几何MATLAB求解编者 Outlinen11.1 向量及其线性运算向量及其线性运算n11.2 数量积、向量积与混合积数量积、向量积与混合积n11.3 曲面及其方程曲面及其方程n11.4 空间曲线及其方程空间曲线及其方程n11.5 平面及其方程平面及其方程n11.6 空间直线及其方程空间直线及其方程11.1 向量及其线性运算1.1.向量的概念向量的概念 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量或矢量。度、力、力矩等等，这一类量叫做向量或矢

2、量。 绘制向量的关键是其表示方向的箭头绘制向量的关键是其表示方向的箭头2.2.向量的模、方向角向量的模、方向角 向量的模与两点间的间隔：向量的模与两点间的间隔：点点A A和和B B间的间隔间的间隔 就是向量就是向量 的模，因此点的模，因此点A A和和B B间的间隔间的间隔 方向角与方向余弦：方向角与方向余弦：非零向量非零向量 与三条坐标轴的夹角与三条坐标轴的夹角 称为向量称为向量 的方向角。的方向角。 11.2 数量积、向量积与混合积1.1.两向量的数量积两向量的数量积 我们有时要对两个向量我们有时要对两个向量 和和 作这样的运算，运算作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于的结果是一个数，它

3、等于 及它们的夹角的余弦的乘积。我们把该乘及它们的夹角的余弦的乘积。我们把该乘积叫做向量积叫做向量 和和 的数量积，记作的数量积，记作 2.2.两向量的向量积两向量的向量积 设向量设向量 由两个向量由两个向量 和和 按以下方式定出：按以下方式定出： 的模的模 : : ，其中，其中 为为 a a 和和 b b 的夹角；的夹角； c c 的方向垂直的方向垂直于于 a a 和和 b b 所决议的平面，所决议的平面，c c 的指向按右手规那么从的指向按右手规那么从 a a 转向转向 b b 来确定，那么，来确定，那么，向量向量 c c 叫做向量叫做向量 a a 和和 b b 的向量积，记作的向量积，记

4、作 。3.3.向量的混合积向量的混合积 设知三个向量设知三个向量 a a、b b 和和 c c ，假设先作两向量，假设先作两向量 a a、b b的向量的向量积积 ，把所得到的向量与第三个向量，把所得到的向量与第三个向量 c c 再做数量积，这样得到的数量叫做三向量再做数量积，这样得到的数量叫做三向量a a、b b 和和 c c 的混合积，记作的混合积，记作 11.3 曲面及其方程1.1.曲面方程的概念曲面方程的概念 假设曲面假设曲面S S 与三元方程与三元方程 有下述关系：曲面有下述关系：曲面S S上任一点的坐标都满足上述方程；不再曲面上任一点的坐标都满足上述方程；不再曲面S S上的点的坐标都

5、不满足上述方程，那上的点的坐标都不满足上述方程，那么，上述方程就叫做曲面么，上述方程就叫做曲面 S S 的方程，而曲面的方程，而曲面S S 就叫做方程的图形。就叫做方程的图形。2.2.旋转曲面旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。 图图 旋转曲面旋转曲面 在曲线在曲线 的方程的方程 中将中将 改成改成 ，便得曲线，便得曲线 绕绕 轴轴旋转所成的旋转曲面的方程。旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线同理，曲

6、线 绕绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为3.3.柱面柱面 普通的，直线普通的，直线 L L 沿定曲线沿定曲线 C C 平行挪动构成的轨迹叫做柱面，定平行挪动构成的轨迹叫做柱面，定曲线曲线 C C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的准线，动直线 L L 叫做柱面的母线。如图叫做柱面的母线。如图1 1所示。所示。 4.4.二次曲面二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。二次曲面有九种。如图所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。二次曲面

7、有九种。如图2 2所示。所示。 图图1 MATLAB1 MATLAB绘制抛物柱面绘制抛物柱面 图图2 2 二次曲面二次曲面 11.4 空间曲线及其方程1.1.空间曲线的普通方程空间曲线的普通方程 空间曲线可以看做两个曲面的交线，设空间曲线可以看做两个曲面的交线，设和和 ，是两个曲面的方程，它们的交线为，是两个曲面的方程，它们的交线为C C 。由于曲线。由于曲线 C C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组反过来，假设点反过来，假设点M M 不在曲线不在曲线C C 上，那么它不能够同时在两个曲面上，所以它的上，那么

8、它不能够同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足上述方程组。因此，曲线坐标不满足上述方程组。因此，曲线C C 可以用上述方程组来表示，而该方程组即可以用上述方程组来表示，而该方程组即成为空间曲线成为空间曲线 C C的普通方程。的普通方程。2.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 空间曲线空间曲线C C 的方程除了普通方程之外，也可以用的方程除了普通方程之外，也可以用参数方式表示，只需将参数方式表示，只需将C C 上动点的坐标上动点的坐标 x x、y y、z z表示为参数表示为参数 t t 的函数：的函数：当给定当给定 时，就得到曲线时，就得到曲线 C C 上的一个点上的一个点 随着随着 t t

9、 的变动便可得曲线的变动便可得曲线 C C上的全部点上的全部点上述方程组叫做空间曲线的参数方程。上述方程组叫做空间曲线的参数方程。3.3.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线设空间曲线C C的普通方程为的普通方程为 上述方程组消去上述方程组消去 后所得的方程为后所得的方程为 该方程表示一个母线平行于该方程表示一个母线平行于z z 轴的柱面。显然，该柱面必定包含曲线轴的柱面。显然，该柱面必定包含曲线C C 。以。以曲线曲线C C 为准线、母线平行于为准线、母线平行于z z 轴的柱面叫做曲线轴的柱面叫做曲线 C C 关于关于xOy xOy 面的投影柱面，投影柱面的投影柱面，

10、投影柱面与面与xOy xOy 面的交线叫做空间曲线面的交线叫做空间曲线C C 在在xOy xOy 面的投影曲线，或简称投影。如下图。面的投影曲线，或简称投影。如下图。 图图 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影11.5 平面及其方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程 由平面上一点与及它的一个法线向量确定的该平面由平面上一点与及它的一个法线向量确定的该平面的方程就是平面的点法式方程。知平面上一点的方程就是平面的点法式方程。知平面上一点 和它的一个法向量和它的一个法向量设设 是平面上的任一点，那么有是平面上的任一点，那么有2.2.平面的普通方程平面的普通方程 由于平面的点法式方程

11、是由于平面的点法式方程是 的一次方程，而任的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。任一平面都可以用一个三元一次方程表示，而该方程那么称元一次方程来表示。任一平面都可以用一个三元一次方程表示，而该方程那么称为平面的普通式方程。为平面的普通式方程。3.3.平面的夹角平面的夹角 两平面的法线向量的夹角通常指锐角称为两平面的夹两平面的法线向量的夹角通常指锐角称为两平面的夹角。角。两平面的夹角可由下面的公式来确定两平面的夹角可由下面的公式来确定 11.6 空间直线及其方程

12、1.1.空间直线的普通方程空间直线的普通方程 空间直线空间直线 L L 可以看做是两个平面可以看做是两个平面 和和 的交线的交线。两个平面的方程假设为。两个平面的方程假设为 和和 那么表示该直线的方程组为：那么表示该直线的方程组为： 该方程组叫做空间直线的普通方程。该方程组叫做空间直线的普通方程。2.2.空间直线的对称式方程和参数方程空间直线的对称式方程和参数方程 直线直线L L上一点上一点 和它的方向向量和它的方向向量 知，设点知，设点 是直是直线线 上的任一点，那么上的任一点，那么 该方程组叫做直线的对称式方该方程组叫做直线的对称式方程或点向式方程。程或点向式方程。 设设 那么那么 上述方程组叫做直线的参数方程。上述方程组叫做直线的参数方程。3.3.直线的夹角直线的夹角 两直线的方向向量的夹角通常指锐角叫做两直线的夹角。两直线两直线的方向向量的夹角通常指锐角叫做两直线的夹角。两直线 的夹的夹角可由以下公式来确定，角可由以下公式来确定， 为两直线夹角，两直线方向向量分别为为两直线夹角，两直线方向向量分别为