高中全程复习方略配套对数与对数函数）ppt课件

1、第六节第六节 对数与对数函数对数与对数函数 三年三年7 7考考 高考指数高考指数: :1.1.了解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将普通对数了解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将普通对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. .2.2.了解对数函数的概念了解对数函数的概念, ,了解对数函数的单调性，掌握对数函数了解对数函数的单调性，掌握对数函数图像经过的特殊点图像经过的特殊点. .3.3.知道对数函数是一类重要的函数模型知道对数函数是一类重要的函数模型. .4.4.了解指数函数了解指数函数y=axy=ax与对数函数

2、与对数函数y=logaxy=logax互为反函数互为反函数(a0,(a0,且且a1).a1).1.1.对数的运算及对数函数的图像、性质是高考调查的重要考点，对数的运算及对数函数的图像、性质是高考调查的重要考点，主要调查利用对数函数的图像与性质，比较函数值大小，求定主要调查利用对数函数的图像与性质，比较函数值大小，求定义域、值域、单调区间、最值及研讨零点、奇偶性等问题，同义域、值域、单调区间、最值及研讨零点、奇偶性等问题，同时调查分类讨论、数形结合、转化与化归思想时调查分类讨论、数形结合、转化与化归思想. .2.2.常与方程、不等式等知识交汇命题，多以选择、填空题的方常与方程、不等式等知识交汇命

3、题，多以选择、填空题的方式调查式调查. .3.3.预测预测20212021年高考仍将以对数函数的图像与性质为主要考点，年高考仍将以对数函数的图像与性质为主要考点，重点调查运用知识处理问题的才干重点调查运用知识处理问题的才干. .1.1.对数的定义对数的定义(1)(1)对数的定义对数的定义请根据以下图的提示填写与对数有关的概念请根据以下图的提示填写与对数有关的概念其中其中a a的取值范围是：的取值范围是：_._.a a0 0且且a1a1axN=aN=x指数指数对数对数幂幂真数真数底数底数(2)(2)两种常见对数两种常见对数对数方式对数方式特特 点点记记 法法常用对数常用对数自然对数自然对数底数为

4、底数为1010底数为底数为e elgNlgNlnNlnN【即时运用】【即时运用】(1)(1)假设假设2x=5,2x=5,那么那么x=_;x=_;假设假设log3x=2,log3x=2,那么那么x=_.x=_.(2)(2)将将log23log23用常用对数表示为用常用对数表示为_；用自然对数表示为；用自然对数表示为_._.答案：答案：(1)log25 32 (2)(1)log25 32 (2)lg3ln3 lg2ln22.2.对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质性质性质换底换底公式公式运算运算性质性质a0,且且a1,M0,N0结论结论条件条件 a1=0, aa=1aaN=

5、N(a0且且a1,N0cacbb a (a、c均大于零且不等于均大于零且不等于1，b0) a(MN)= aM+aN, aaaMMN, N naaMnM(nR) 【即时运用】【即时运用】(1)(1)假设假设a a0,a1,x0,a1,xy y0,nN0,nN* *, ,判别以下各式的正误判别以下各式的正误.(.(请在请在括号中填括号中填“或或“) )(logax)n=logaxn (logax)n=logaxn ( )( )logax ( )logax ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a1logx aaalog xxloglog yynaalog xlogxnnnaalog

6、 xlog x(2) (2) 那么那么x=_.x=_.(3)(3)计算计算312log (log x)0 ，3log 423log 3 log 4( 3)_.【解析】【解析】(1)(1)是错误的，如是错误的，如(log24)3=8log243=log226=6(log24)3=8log243=log226=6；是正确的，是正确的，是错误的，如是错误的，如是正确的，是正确的，是正确的，设是正确的，设(2)(2)由由(3)(3)原式原式= =答案：答案：(1)(1) (2) (3)4 (2) (3)41aaa1loglog xlog xx ；222log 442log1log 22 ；1nnaaa

7、1logxlog xlog xn；nnnynnynnyynnanaaa log xy,(a )x ,xaaa ,ylog x,log xlog x.则即即311221log (log x)0,log x1,x.2 得322loglg3 lg23224.lg2 lg3123.3.对数函数的定义、图像与性质对数函数的定义、图像与性质(1)(1)对数函数的概念对数函数的概念解析式：解析式：_，自变量：自变量：_，定义域：定义域：_._.y=logax(ay=logax(a0,a1)0,a1)x x(0(0，+)+)(2)(2)对数函数的图像与性质对数函数的图像与性质图图像像性性质质a10a0,a1)

8、y=loga(x-1)+2(a0,a1)的图像恒过一定点是的图像恒过一定点是_._.(3)(3)设设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),P=log23,Q=log32,R=log2(log32),那么那么P P、Q Q、R R的大小关的大小关系为系为_._.【解析】【解析】(1)(1)由对数函数的定义可知是对数函数由对数函数的定义可知是对数函数. .(2)(2)依题意，当依题意，当x=2x=2时，函数时，函数y=loga(x-1)+2(a0,a1)y=loga(x-1)+2(a0,a1)的值为的值为2 2，所以其图像恒过定点所以其图像恒过定点(2,2).(2,2).(3

9、)P=log23(3)P=log23log22=1,log22=1,即即P P1,0=log311,0=log31Q=log32Q=log32log33=1log33=1，即，即0 0Q Q1.1.00log32log321,log2(log32)1,log2(log32)log21=0,log21=0,即即R R0,R0,RQ QP.P.答案：答案：(1)(1)否否 否否 否否 否否 否否 是是(2)(2(2)(2，2) (3)R2) (3)RQ QP P4.4.反函数反函数指数函数指数函数y=ax(a0y=ax(a0，a1)a1)与对数函数与对数函数_(a0_(a0，a1)a1)互互为反函

10、数，它们的图像关于直线为反函数，它们的图像关于直线_对称对称. .y=logaxy=logaxy=xy=x【即时运用】【即时运用】(1)(1)假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是函数是函数y=ax(a0,a1)y=ax(a0,a1)的反函数，其图像经的反函数，其图像经过点过点( a)( a)，那么，那么f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)设函数设函数f(x)=log2xf(x)=log2x的反函数为的反函数为y=g(x)y=g(x)，假设，假设 那么那么a a等等于于_._.a，11g()a14，【解析】【解析】(1)y=ax,(1)y=ax,其反函数为其反函数为f(x)=logax

11、,f(x)=logax,(2)(2)由于由于f(x)=log2xf(x)=log2x的反函数为的反函数为y=g(x)=2xy=g(x)=2x，答案：答案：a121aloga,f(x)log x.212a 11111g(),22 ,2,a144a11a.2 又即：解得：121(1)log x (2)2 对数的运算对数的运算【方法点睛】对数式化简与求值的普通思绪【方法点睛】对数式化简与求值的普通思绪(1)(1)先利用幂的运算把底数或真数进展变形，化成分数指数幂先利用幂的运算把底数或真数进展变形，化成分数指数幂的方式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法那么化简合并的方式，使幂的底数最简，然后正用对数

12、运算法那么化简合并. .(2)(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法那么，转化为同底对数真数的积、商、幂再运用对数的运算法那么，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算算. .【提示】在运算中要留意对数化同底和指数与对数的互化【提示】在运算中要留意对数化同底和指数与对数的互化. . 【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021渭南模拟渭南模拟) )计算：计算：(2)(2)知知loga2=m,loga3=n,loga2=m,loga3=n,求求a2m+n.a2m+n.【解题指南】【解题指南】(1)(1)按对数式求值

13、的普通思绪进展计算；按对数式求值的普通思绪进展计算；(2)(2)将知将知对数式化为指数式，并将对数式化为指数式，并将a2m+na2m+n转化为转化为(am)2an(am)2an，从而计算求，从而计算求解解. .4ln2327loglg252lg2e.3【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =(2)loga2=m,am=2,(2)loga2=m,am=2,又又loga3=n,an=3,loga3=n,an=3,那么那么a2m+n=a2man=(am)2an=22a2m+n=a2man=(am)2an=223=12.3=12.3433 log 3log 32lg52lg22311512(

14、lg5lg2)24.444 【互动探求】本例【互动探求】本例(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求loga12loga12的值的值. .【解析】【解析】loga2=m,loga3=n,loga2=m,loga3=n,loga12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n.loga12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n.【反思【反思感悟】感悟】1.1.在对数运算中，首先对底数、真数进展变形，在对数运算中，首先对底数、真数进展变形，然后再利用对数的运算性质进展化简，假设出现不同的然后再利用对数的运算性质进展化简，假设出现不同的“底，底，应利用换底公式换

15、成一样的应利用换底公式换成一样的“底底. .2.2.在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确地运用对在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确地运用对数的相关知识进展计算数的相关知识进展计算. .【变式备选】【变式备选】(1)(1)计算：计算：(2)(2)计算：计算：(log32+log92)(log43+log83).(log32+log92)(log43+log83).(3)(3)假设数列假设数列anan为各项均为正项的等比数列，且为各项均为正项的等比数列，且a12a12与与a2 001a2 001为一元二次方程为一元二次方程x2+mx+8=0 x2+mx+8=0的两根，求的两根，求

16、log2a1+log2a2+log2a2 012log2a1+log2a2+log2a2 012的值的值. .2(lg3)lg9 1 (lg 27lg8lg 1 000).lg0.3 lg1.2【解析】【解析】233(lg3)2lg3 1 ( lg33lg2)22 (1)(lg3 1) (lg32lg2 1)3(1 lg3)(lg32lg2 1)32.(lg3 1) (lg32lg2 1)2lg2lg2lg3lg3(2)() ()lg3lg9lg4lg8lg2lg2lg3lg33lg2() ()lg32lg32lg23lg22lg 原式原式5lg35.3 6lg24(3)(3)由知得由知得a1

17、2a2 001=8a12a2 001=8，且由等比数列的性质得，且由等比数列的性质得，a1a2a3a1a2a3a2 012=(a1a2 012)1 006a2 012=(a1a2 012)1 006=(a12a2 001)1 006=81 006=(a12a2 001)1 006=81 006，原式原式=log2(a1a2a3a2 012)=log281 006=log2(a1a2a3a2 012)=log281 006=1 006=1 0063=3 018.3=3 018. 对数函数的图像及其运用对数函数的图像及其运用【方法点睛】用对数函数的图像可求解的问题【方法点睛】用对数函数的图像可求解

18、的问题(1)(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图像的与对数函数有对一些可经过平移、对称变换作出其图像的与对数函数有关的函数，在求解其单调性关的函数，在求解其单调性( (单调区间单调区间) )、值域、值域( (最值最值) )、零点时，、零点时，常利用其图像经过数形结合求解常利用其图像经过数形结合求解. .(2)(2)一些对数型方程、不等式的求解一些对数型方程、不等式的求解, ,常转化为对数函数图像问常转化为对数函数图像问题，利用数形结合法求解题，利用数形结合法求解. . 【例【例2 2】(2021(2021蚌埠模拟蚌埠模拟) )知函数知函数假设假设a a、b b、c c互不相等，且互不相等，

19、且f(a)=f(b)=f(c)f(a)=f(b)=f(c)，那么，那么abcabc的取值范围是的取值范围是 ( ) ( )(A)(1,10)(A)(1,10)(B)(5,6)(B)(5,6)(C)(10,12)(C)(10,12)(D)(20,24)(D)(20,24)lgx 0 x10f(x),1x6 x102【解题指南】求解此题，需作出函数【解题指南】求解此题，需作出函数f(x)f(x)的图像，无妨设的图像，无妨设abc,abc,根据图像结合根据图像结合f(a)=f(b)=f(c)f(a)=f(b)=f(c)，确定出，确定出a a、b b、c c的大致的大致范围，先定范围，先定c c的取值

20、范围，再由的取值范围，再由f(a)=f(b)f(a)=f(b)得到得到abab的值的值, ,从而求从而求得得abcabc的取值范围的取值范围. .【规范解答】选【规范解答】选C.C.作出作出f(x)f(x)的大致图像的大致图像. .设设abcabc，由于，由于a a、b b、c c互不相等，且互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图像可知，由函数的图像可知10c1210c12，且且|lga|=|lgb|lga|=|lgb|，由于，由于abab，所以，所以lga=-lgblga=-lgb，可得，可得ab=1ab=1，所以所以abc=c(10,12)abc=

21、c(10,12)，应选，应选C.C.【反思【反思感悟】数形结合思想往往是处理某些对数型函数性质、感悟】数形结合思想往往是处理某些对数型函数性质、对数型方程对数型方程( (不等式不等式) )、对数值大小比较的切入口及有效方法，、对数值大小比较的切入口及有效方法，应熟练掌握这种思想方法的解题规律应熟练掌握这种思想方法的解题规律. .【变式训练】【变式训练】(1)(1)函数函数y=log2|x+1|y=log2|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为_，单调递增区间为单调递增区间为_._.【解析】作出函数【解析】作出函数y=log2xy=log2x的图像，再作的图像，再作出其关于出其关于y y轴对

22、称的图像轴对称的图像, ,两支共同构成两支共同构成函数函数y=log2|x|y=log2|x|的图像，再将图像向左平的图像，再将图像向左平移移1 1个单位长度就得到函数个单位长度就得到函数y=log2|x+1|y=log2|x+1|的的图像图像( (如下图如下图).).由图知，函数由图知，函数y=log2|x+1|y=log2|x+1|的递减区间为的递减区间为(-,-1),(-,-1),递增区间为递增区间为(-1(-1，+).+).答案：答案：(-,-1) (-1,+)(-,-1) (-1,+)(2)(2)假设不等式假设不等式(x-1)2(x-1)2logaxlogax在在x(1,2)x(1,

23、2)内恒成立，务虚数内恒成立，务虚数a a的取值范围的取值范围. .【解析】设【解析】设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当要使当x(1,2)x(1,2)时，不等式时，不等式(x-1)2(x-1)2logaxlogax恒成立，只需恒成立，只需f1(x)=(x-1)2f1(x)=(x-1)2在在(1(1，2)2)上的图像在上的图像在f2(x)=logaxf2(x)=logax图像的下方即图像的下方即可可. .当当0 0a a1 1时，显然不成立；时，显然不成立；当当a a1 1时，如图，时，如图，要使要使f1(x)=(x-1)

24、2f1(x)=(x-1)2在在(1(1，2)2)上的图像在上的图像在f2(x)=logaxf2(x)=logax的图像下的图像下方，只需方，只需f1(2)f2(2),f1(2)f2(2),即即(2-1)2loga2,loga21,(2-1)2loga2,loga21,11a2,a2,即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是(1(1，2.2.【变式备选】【变式备选】(2021(2021日照模拟日照模拟) )假设函数假设函数f(x)=ax+bf(x)=ax+b的图像如图，的图像如图，其中其中a,ba,b为常数，那么函数为常数，那么函数g(x)=loga(x+b)g(x)=loga(x+b)的大致

25、图像是的大致图像是( )( )【解析】选【解析】选D.D.由由f(x)f(x)的图像可知的图像可知0a1,11+b20a1,11+b2，即，即0b1.0b1.又又g(x)=loga(x+b)g(x)=loga(x+b)的图像可由的图像可由y=logaxy=logax向左平移向左平移b b个单位得到，结个单位得到，结合四个选项可知合四个选项可知D D正确正确. . 对数函数性质的运用对数函数性质的运用【方法点睛】【方法点睛】1.1.利用对数函数的性质比较对数值大小利用对数函数的性质比较对数值大小利用对数函数的性质，可直接比较同底数对数值的大小，而对利用对数函数的性质，可直接比较同底数对数值的大小

26、，而对于既不同底数，又不同真数的对数值的比较，可引入中间量于既不同底数，又不同真数的对数值的比较，可引入中间量( (如如-1-1，0 0，1 1等等) )，再利用对数函数的性质进展比较，再利用对数函数的性质进展比较. .2.2.利用对数函数的性质求解对数型函数性质利用对数函数的性质求解对数型函数性质求解方法与普通函数性质的求解方法一致，但要留意三方面的求解方法与普通函数性质的求解方法一致，但要留意三方面的问题，一是定义域；二是底数与问题，一是定义域；二是底数与1 1的大小关系；三是复合函数的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些根本初等函数复合而成的的构成，即它是由哪些根本初等函数复合而成

27、的. . 【例【例3 3】(1)(2021(1)(2021北京高考北京高考) )假设假设 那么那么( )( )(A)y(A)yx x1 1(B)x(B)xy y1 1(C)1(C)1x xy y(D)1(D)1y yx x(2)(2)函数函数 在区间在区间22，44上的最小值是上的最小值是_._.(3)(3)知函数知函数求函数求函数f(x)f(x)的定义域；的定义域；假设函数假设函数f(x)f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性和单调性. .1122log xlog y0,21142y(log x)logx52x2a1f(x)log

28、.x3a1【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用对数函数单调性求解利用对数函数单调性求解. .(2)(2)利用换元法转化为二次函数最值求解利用换元法转化为二次函数最值求解. .(3)(3)利用真数大于利用真数大于0 0构建不等式，但要留意分类讨论构建不等式，但要留意分类讨论; ;先由先由条件求出条件求出a a的值，再讨论奇偶性和单调性的值，再讨论奇偶性和单调性. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由于由于 为为(0,+)(0,+)上的减函数，所上的减函数，所以以x xy y1.1.答案：答案：12ylog x21122122min11(2)y( log x)log x5.22

29、1tlog x(2x4)211tytt5,211123ty5.2424 令，则且当时，234(3)(3) 0 0 x-(3a-1)x-(-2a-1)x-(3a-1)x-(-2a-1)0,0,所以，所以，当当3a-1-2a-1,3a-1-2a-1,即即a0a0时，定义域为时，定义域为(-,-2a-1)(3a-1,+)(-,-2a-1)(3a-1,+)；当当3a-13a-1-2a-1,-2a-1,即即a a0 0时，定义域为时，定义域为(-,3a-1)(-2a-1,+).(-,3a-1)(-2a-1,+).x2a1x3a1函数函数f(x)f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当的定义域关于坐标原

30、点对称，当且仅当-2a-1=-(3a-1)-2a-1=-(3a-1)a=2,a=2,此时，此时，对于定义域对于定义域D=(-,-5)(5,+)D=(-,-5)(5,+)内的恣意内的恣意x,-xD,x,-xD, 所以所以f(x)f(x)为奇函数；为奇函数；当当x(5,+),x(5,+),对恣意对恣意5 5x1x1x2,x2,有有而而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)0,0,所以所以f(x1)-f(x2)f(x1)-f(x2)0,0,2x5f(x)log.x5222x5x5x5f( x)log

31、loglogf(x),x5x5x5 1212212(x5)(x5)f(x )f(x )log,(x5)(x5)f(x)f(x)在在(5,+)(5,+)内单调递减；内单调递减；由于由于f(x)f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(x)f(x)在在(-,-5)(-,-5)内单调递减内单调递减. .【互动探求】在本例【互动探求】在本例(3)(3)的条件下将的条件下将f(x)f(x)的底数改为的底数改为m(mm(m0 0，m1)m1)，求函数，求函数f(x)f(x)在在10,1510,15上的值域上的值域. .【解析】由【解析】由(3)(3)求解得，当求解得，当m m1 1时时, ,函数函数 在在(

32、5(5，+)+)内单调递减，所以在内单调递减，所以在10,1510,15上亦单调递减，上亦单调递减，f(15)f(x)f(10).f(15)f(x)f(10).即：即：logm2f(x)logm3,logm2f(x)logm3,值域为值域为logm2,logm3.logm2,logm3.同理当同理当0m01a1时，为使函数时，为使函数f(x)=loga(ax2-x)f(x)=loga(ax2-x)在区间在区间2,42,4上是增函上是增函数，需数，需g(x)=ax2-xg(x)=ax2-x在区间在区间2,42,4上是增函数，故应满足上是增函数，故应满足 112212aaa1a12a2g 204a

33、20，即，解得，又，；当当0a10a1a1时，函数时，函数f(x)=loga(ax2-x)f(x)=loga(ax2-x)在区间在区间2,42,4上上是增函数是增函数. . 11442a.2ag 4016a40，即【易错误区】幂值、对数值大小比较问题的易错点【易错误区】幂值、对数值大小比较问题的易错点【典例】【典例】(2021(2021天津高考天津高考) )知知那么那么( )( )(A)a(A)ab bc c(B)b(B)ba ac c(C)a(C)ac cb b(D)c(D)ca ab b324log 0.3log 3.4log 3.61a5,b5,c( ),5【解题指南】首先将【解题指南】

34、首先将a a、b b、c c化成同底数的幂，再利用对数函化成同底数的幂，再利用对数函数的图像或性质比较幂指数中对数值的大小，最后利用指数函数的图像或性质比较幂指数中对数值的大小，最后利用指数函数的单调性比较出数的单调性比较出a a、b b、c c的大小的大小. .【规范解答】选【规范解答】选C.C.方法一：在同一坐标系中分别作出函数方法一：在同一坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x,y=log4xy=log2x,y=log3x,y=log4x的图像，如下图的图像，如下图. .由图像知：由图像知：log23.4log23.4log3 log3 log43.6.log43.6.333

35、10loglog 0.3log 0.331c( )55.5103方法二：方法二：log3 log3 log33=1,log33=1,且且 3.4,3.4,log3 log3 log33.4log33.4log23.4.log23.4.log43.6log43.6log44=1,log3 log44=1,log3 1,1,log43.6log43.6log3log3log23.4log23.4log3 log3 log43.6.log43.6.由于由于y=5xy=5x为增函数，为增函数，即：即： 故故a ac cb.b.10310310310310.310332410loglog 3.4log

36、3.63555.324log 0.3log 3.4log 3.615( )5,5【阅卷人点拨】经过高考中阅卷的数据分析，我们得到以下误【阅卷人点拨】经过高考中阅卷的数据分析，我们得到以下误区警示及备考建议：区警示及备考建议： 误误区区警警示示 本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较的命题思路，本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查. .易错误易错误区有：区有：(1)(1)不能准确地作出图像，进而不能利用图像进行大小比较不能准确地作出图像，进而不能利用图像进行大小比较. .(2)(2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较找不到比较大小的中介值而影响大小的比较. . 备备考考建建议议 通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意：通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意：(1)(1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练加强对指数、对数知识交汇处试题的训练. .(2)(2)重视指数函数、对数函数