第一节重积分的概念与性质ppt课件

1、第一节 重积分的概念与性质一、问题的提一、问题的提出出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体：曲顶柱体：.,0),(),(,这这种种立立体体叫叫做做曲曲顶顶柱柱体体为为顶顶上上连连续续）且且在在（以以曲曲面面的的柱柱面面为为侧侧面面轴轴母母线线平平行行于于的的边边界界曲曲线线为为准准线线以以为为底底面面上上的的有有界界闭闭区区域域它它是是以以设设有有一一立立体体DyxfyxfzzDDxOy 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(y

2、xfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限的方法，如下动画演示求和、取极限的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用假设干个小平用假设干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(y

3、x ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？ 求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成假设干小块，将薄片分割成假设干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 一切小块质量之和一切小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个

4、也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分， 记为记为 Ddyxf ),(， 即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . (1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中， 对对闭闭区区域域 D 的的划

5、划分分及及点点),(ii 的的选选取取都都是是任任意意的的. (2) Dyxf d),(是是一一个个数数值值， 与与积积分分变变量量用用什什么么字字母母表表示示无无关关. 对二重积分定义的阐明：对二重积分定义的阐明：(1) Dyxf d),(的的值值与与闭闭区区域域 D 的的划划分分及及点点 ),(ii 的的选选取取无无关关. Dyxf d),(的的值值只只与与被被积积函函数数和和积积分分区区域域有有关关. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积积当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体当被积函数小于零时，二

6、重积分是曲顶柱体的体积的负值积的负值二重积分的两个结论：二重积分的两个结论：(1) 二重积分的存在性：二重积分的存在性：当当),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上连连续续时时，则则),(yxf在在D 上上的的二二重重积积分分一一定定存存在在. (2) 若若),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上可可积积， 则则),(yxf在在 D 上上必必有有界界. 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo那么面积元素为那么面积元素为性质性质 (线性性质线性性质)有有

7、则则为任意常数为任意常数上可积上可积在区域在区域若函数若函数,),(, ),( Dyxgyxf Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质三、二重积分的性质性质性质2 (对区域具有可加性对区域具有可加性).),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 21DDD 设设性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 (1) (1) 非负性非负性, 0),( yxf. 0),( Ddyxf 那么有那么有假设在假设在D D上上有有(3) 绝对可积性绝对可积性.),(),( DDdyxf

8、dyxf 假设在假设在D D上上有有),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 那么有那么有(2) (2) 单调性单调性 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则 性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D 的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 性质性质二重积分中值定理二重积分中值定理 DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD二重积分估值定理二重积分估值定理例例 1 1 设设D为为xOy平面上的扇形域：平面上的扇形

9、域：0, 0,222 yxRyx 求二重积分求二重积分 DyxR d222. 例例 2 2 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中:(1) D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0). (2) D 是矩形域：是矩形域：. 10 , 53 yx 解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D例例 3 3 估估计计 DxyyxdI16222 的

10、的值值， 其其中中 D： 20, 10 yx. 区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 4 4 不作计算，估计不作计算，估计 deIDyx )(22的值，的值， 其中其中D是椭圆闭区域：是椭圆闭区域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积

11、 , ab. 1,dd22 yxDyxxyD为为其其中中的的值值估估计计二二重重积积分分例例.dd),(1lim,),(,),( ,),(5200000yxyxfrryxDDyxDyxfrDrr 试求极限试求极限闭圆盘闭圆盘为半径的为半径的为中心以为中心以是以是以一个内点一个内点的的是是上连续上连续在区域在区域设设例例例例 6 6 判判断断 1|22dd)ln(yxryxyx的的符符号号. 当当1| yxr时时, , 1|)|(|0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1| yx时时, , 0)ln(22 yx于于是是0dd)ln(1|22 yxryxyx. 解解设设),(zy

12、xf是是空空间间有有界界闭闭区区域域上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1v ，2v , ,nv ，其其中中iv 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的体体积积, , 在在每每个个iv上上任任取取一一点点),(iii 作作乘乘积积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并并作作和和, ,如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在闭闭区区域域上上的的三三重重积积分分，记记为为 dvzyxf),(,

13、,四、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积和式的极限和式的极限五、小结三重积分的定义与性质三重积分的定义与性质思索题思索题 将二

14、重积分定义与定积分定义进展比较，将二重积分定义与定积分定义进展比较，找出它们的一样之处与不同之处找出它们的一样之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思索题解答思索题解答一、一、 填空题填空题: :1 1、 当

15、函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .练练 习习 题题4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中

16、是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(与与, ,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .四、估计积分四、估计积分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圆是圆 形区域形区域: :422 yx . .一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限的方法，如下动画演示、取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限的