第一章测试信号处理的理论基础

1、测试信号处理测试信号处理机械工业出版社机械工业出版社目目 录录v第章测试信号处理的理论基础第章测试信号处理的理论基础v第章离散傅里叶变换第章离散傅里叶变换v第章数字滤波器的设计第章数字滤波器的设计v第章离散随机信号的特征描述及其估计第章离散随机信号的特征描述及其估计v第章功率谱估计第章功率谱估计v第章维纳滤波器和卡尔曼滤波器第章维纳滤波器和卡尔曼滤波器v第章自适应滤波器第章自适应滤波器v第章小波变换第章小波变换v第章信号测试技术第章信号测试技术第章测试信号处理的理论基础第章测试信号处理的理论基础v1.1 引言引言v1.2 时域离散信号与时域离散系统时域离散信号与时域离散系统v1.3 序列傅里叶

2、变换序列傅里叶变换v1.4 序列的序列的z变换变换v1.5 时域离散系统的频域分析时域离散系统的频域分析1.1 引言引言v信号通常可以分为时域连续信号（模拟信号）、时域离散信号和数字信号，因为信号经常是时间的函数，信号的幅度和时间可以取连续值也可以取离散值。当信号幅度取连续值，时间也取连续值时，信号称为模拟信号或时域连续信号；当信号幅度取连续值而时间取离散值时，信号称为时域离散信号或离散时间信号；当信号幅度和时间均取离散值时，信号称为数字信号。v常见的一些信号，例如语音信号、图像信号等是模拟信号，如果按照规定的时间间隔对其采样，得到的采样信号是时域离散信号，如果再将采样信号的幅度用二进制编码表

3、示，这种用二进制编码表示的信号称为数字信号。把时域离散信号的幅度用二进制编码表示称为量化，数字信号就是幅度量化的时域离散信号。对模拟信号进行采样、二进制编码及量化是由A/D（Analog/Digital）变换器完成的。v根据系统的输入输出是哪一类信号，系统也有模拟系统、时域离散系统和数字系统之分。当然也存在模拟网络和数字网络构成的混合系统。本书主要讨论时域离散信号和系统。v在模拟系统中，对信号和系统的描述与分析有微分方程、傅立叶变换和拉氏变换；在数字信号处理中则有差分方程、序列傅立叶变换及Z变换。作为数字信号与系统理论分析基础，本章将重点讨论这两种数学变换，并利用它们对信号及系统进行频域分析。

4、v本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号，线性时不变系统的因果性和稳定性、系统的输入输出描述法、序列傅立叶变换及Z变换，并利用它们对信号及系统进行频域分析。 1.2 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统v1.2.1时域离散信号v 对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到信号：v = ， (1-1)v将 的取值代入 ，得到一串有序的数字序列： 、 、 、 、 这样一个有序的数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值要按顺序存放在存贮器中，此时 不仅代表采样时刻，更主要的是代表前后顺序，所以为了简化，可以将 去掉，记为 ，称为序列。对于具体信

5、号， 表示第 个序列值。n)(nTxanTtatx)(n)(nTxa)2(Txa)( Txa)0(ax)(Txa)2( TxanTT)(nx)(nxnv这里需要说明的是， 只能取整数，对于非整数，序列无定义。如果序列 是由模拟信号 采样得到的，在数值上 与模拟信号 的关系如下：v (1-2) v序列的变化规律可用公式表示，也可用图形表示，图1-1表示了一个具体的时域离散信号序列。n)(nxax)(t=)(nxax)(t)(nxax)(nTv图1-1 时域离散信号的表示v1、常用的典型序列v(1) 单位脉冲序列v = (1-3)v单位脉冲序列只有在 时，取确定值1，其它均为0， 是数字信号处理中

6、重要序列之一。单位脉冲序列也称为单位采样序列，与模拟系统中单位冲激函数 类似，不同的是 在 时，取值为无穷大， 时取值为0，对时间 的积分为1。单位脉冲序列和单位冲激函数如图1-2所示。)(n0,00,1nn0n)(n)(t)(t0t0ttv图1-2 单位脉冲序列和单位冲激函数 1 01231n(n)(t)t0( a )( b )v(2)单位阶跃序列v v = (1-4) v单位阶跃序列如图1-3所示。它类似于模拟系统中的单位阶跃函数 。单位脉冲序列与单位阶跃序列之间有如下关系：v = - (1-5)v = (1-6)(nu)(nu0,00,1nn)(tu)(n)(nu)(nu) 1( nu0

7、)(kknv图1-3 单位阶跃序列u(n)01231nv(3)矩形序列v = (1-7)v矩形序列在 取值为1，其它为0。 称为矩形序列的长度，例如 表示长度为7。矩形序列可用单位阶跃序列表示：v - (1-8)(nRN)(nRNnNn其它,010,110NnN)(7nR)(nRN)(nu)(Nnuv(4)实指数序列v如果 ， 的幅度随 增大而逐渐减小，称为收敛序列；如果 ，随 增大而增大，称为发散序列。其波形如图1-4。为实数anuanxn),()(1a)(nxn1anv图1-4 实指数序列v(5)正弦序列v =v其中 称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，即两个相邻序

8、列值之间变化的弧度数。v如果正弦序列是由模拟序列 = 采样得到，那么时域离散信号 可以表示为：v = =v又因为在数值上，序列值与采样信号值相等，所以有：v = (1-9)(nx)sin(n)(txatsin)(nx)(nx)(nTxa)sin(nTTv即由模拟信号采样得到的序列，其数字频率 与模拟信号的模拟角频率 成线性关系。因为采样频率 与采样周期 互为倒数，所以又有：v = (1-10)v式(1-10)表示数字频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。下面我们均用 表示数字频率， 或 表示模拟角频率或模拟频率。sfTsffv(6)复指数序列v =v其中 为数字域频率。v复指数序列也可以用其

9、实部虚部或者极坐标表示：v =v =v如果 ， = ，由于 取整数，下式成立：v = ，)(nxnje00)(nx)sin()cos(00njenenn)(nxnjnee00nje0)(nxnnMje20nje0, 2, 1, 0Mv这表示当时，复指数序列的频率具有以为周期的周期性，所以在以后的研究中只考虑一个周期就可以了。v2、序列的周期性v对于序列 ，如果对所有 存在一个最小的正整数，满足：v = ， (1-11)v则称序列 是周期性序列，周期为 ， 为整数。例如：v = =v表示 是周期为8的周期序列，如图 1-5所示。)(nxn)(Nnx)(nx n)(nxNN)(nxn4sin )8

10、(4sinnn4sin 图1-5 周期为8正弦序列n4sinv现在讨论一般正弦序列的周期性：v设 = ，则v = =v如果 = 成立，则要求 ，式中 与 均取整数，且 的取值要保证是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以 为周期的周期序列，其周期 。)(nx)sin(0nA)(Nnx)(sin0NnA)sin(00NnA)(Nnx)(nxkN20kNkNNkN)2(0v下面可以分为几种情况讨论：v（1）当 为整数时，只要 ， 就是最小正整数，所以正弦序列是以 为周期的周期序列。例如 ， ， =16，该正弦序列的周期为16。v（2） 不是整数，而是一个有理数时，可以表示成分数，设 = ，式中

11、 、 为互质的整数,取 ，v那么 ，则 ，此时正弦序列是以 为周期的周期序列。例如 ， ，= ， ，该正弦序列是以5为周期的周期序列。v（3） 是无理数时，则任何整数 都不能使 为正整数，因此，此时的序列不是周期序列。例如， ， 不是周期序列。v同样，指数为纯虚数的复指数序列 的周期性与正弦序列的情况相同。nje0021k02N02n)8sin(80020202QPPQQk PN NkkNkQPk)2(0PN n)54sin()54(002252k02kN410)sin(0nv3、用单位脉冲序列表示任意序列v以上介绍了几种常用的典型序列以及周期序列，对于任意序列常用下面公式表示：v = (1-

12、12)v其中v即任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示。这是一个有用的公式。)(nxmmnmx)()(mnmnmn, 0, 1)(v4、序列的运算v在数字信号处理中，需要对序列进行运算，其基本运算有：v(1)乘法和加法v序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加。v(2)移位、翻转及尺度变换v设序列 如图1-6 ，其移位序列 （当 时）用图1-6 表示；当 时称为 的延时序列；当 时，称为 的超前序列。 则是 的翻转序列，如图1-6 。 是序列每隔 点取一点形成的，相当于时间轴 压缩了 倍。此时，其波形如图1-6 所示。)(nx a)(0nnx20n b00n)(n

13、x00n)(nx)( nx )(nx)(c)(mnxmnm)(dv图1-6 序列的移位、翻转和尺度变换v1.2.2时域离散系统时域离散系统v设时域离散系统的输入为设时域离散系统的输入为 ，经过规定，经过规定的运算，系统输出序列用的运算，系统输出序列用 表示。设运表示。设运算关系用算关系用 表示，输出与输入之间的关表示，输出与输入之间的关系可以表示成：系可以表示成：v =v如图如图1-7所示。所示。v图图1-7 时域离散系统时域离散系统)(nx)(ny T)(nxT)(nyy(n)x(n)Tv在时域离散系统中，最常用的是线性时不在时域离散系统中，最常用的是线性时不变系统。很多物理过程都可用线性时

14、不变变系统。很多物理过程都可用线性时不变系统表征，且便于分析。本书所要研究的系统表征，且便于分析。本书所要研究的的是线性时不变的离散时间系统的是线性时不变的离散时间系统v1.线性系统线性系统v设设 和和 分别作为系统的输入序列，其对分别作为系统的输入序列，其对应的输出分别用应的输出分别用 和和 表示，即表示，即v =v =)(1nx)(2nx)(1ny)(2ny)(1nxT)(2nxT)(1ny)(2nyv当且仅当当且仅当v = + (1-13)v = (1-14)v时，该系统称为线性系统。以上两个式子可以合时，该系统称为线性系统。以上两个式子可以合并为：并为：v = v = + v + (1

15、-15)v其中其中 、 为任意常数。为任意常数。v满足式满足式(1-13) 称为线性系统的可加性；满足称为线性系统的可加性；满足(1-14)称为线性系统的比例性或齐次性。称为线性系统的比例性或齐次性。v又叠加原理包含可加性和齐次性两个性质。如果又叠加原理包含可加性和齐次性两个性质。如果系统是线性的，则一定满足叠加原理，且满足叠系统是线性的，则一定满足叠加原理，且满足叠加原理的系统称为线性系统。加原理的系统称为线性系统。)()(21nxnxT)(1ny)(2ny)(1naxTa)(1ny)(ny)()(21nbxnaxTba)(1nxT)(2nxTa)(1nyb)(2nyabv例例1-1 证明下

16、面的系统是非线性系统：证明下面的系统是非线性系统： = （ 和和 是常数）。是常数）。v证明证明 = =v = = v v = = + +v故不是线性系统。故不是线性系统。v可见系统的方程是一个线性方程，但它不一定是线性系统。实际上这可见系统的方程是一个线性方程，但它不一定是线性系统。实际上这个系统的输出可以表示成一个线性系统个系统的输出可以表示成一个线性系统 的输出与反映该系统初始的输出与反映该系统初始储能的零输入响应信号之和。很多系统的总输出可以由一个线性系统储能的零输入响应信号之和。很多系统的总输出可以由一个线性系统的响应与一个零输入响应的叠加来构成，这种系统可称为增量线性系的响应与一个

17、零输入响应的叠加来构成，这种系统可称为增量线性系统；这类系统的响应对输入中的变化部分是呈线性关系的，即对增量统；这类系统的响应对输入中的变化部分是呈线性关系的，即对增量线性系统，任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数（满足线性系统，任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数（满足可加性和齐次性）。例如可加性和齐次性）。例如v =v =v则则 。v因此该系统是增量线性系统，但不是线性系统。用同样的方法可以证因此该系统是增量线性系统，但不是线性系统。用同样的方法可以证明，明， 是线性系统。是线性系统。)(nybnax)(ab)(1ny)(1nxTbnax)(1)(2ny)(2nxTbnax

18、)(2=)(ny)()(21nxnxTa)(1nx)(2nxba)()()(21nynyny)(nax)(1ny3)(41nx=)(2ny3)(42nx=)()(21nyny3)(41nx3)(42nx)()(421nxnx 752sin)()(nnxnyv2.时不变系统时不变系统v如果系统响应与激励加于系统的时刻无关，这种系统称如果系统响应与激励加于系统的时刻无关，这种系统称为时不变系统。设系统的输出序列为时不变系统。设系统的输出序列 = ，对于，对于输入移位输入移位 的序列的序列 ，如果是时不变系统，满足，如果是时不变系统，满足下面关系式：下面关系式：v = ， 为任意整数为任意整数v即输

19、入移动即输入移动 位，其输出也移动位，其输出也移动 位，而幅值却保持位，而幅值却保持不变。不变。v若系统的输出输入关系为若系统的输出输入关系为v =v如果式中如果式中 为常数，将为常数，将 移位移位 ，如果是时不变系统，如果是时不变系统，输出输出 一定满足下式：一定满足下式：v = =v如果将如果将 换成换成 ，v =v = =v因为，此系统属于时变系统。因为，此系统属于时变系统。)(ny)(nxT 0n)(0nnx)(0nny)(0nnxT0n0n0n)(ny)(nkxk)(nx0n)(1ny)(1ny)(0nnxk)(0nnykn)(ny)(nnx)(1ny)(0nnxTn)(0nnx)(

20、0nnyv3.线性时不变系统输入输出的关系线性时不变系统输入输出的关系v设系统的输入序列设系统的输入序列 = ，系统输出的初始状态为，系统输出的初始状态为0，定义此时，定义此时系统输出为系统的单位取样响应系统输出为系统的单位取样响应 ，也就是说，单位取样响应，也就是说，单位取样响应 是系统对是系统对 的零状态响应。可表示为：的零状态响应。可表示为：v = (1-16)v 和模拟系统中的单位冲激响应和模拟系统中的单位冲激响应 一样，都代表系统的时域特征。一样，都代表系统的时域特征。v设系统输入为一般序列设系统输入为一般序列 ，依公式，依公式(1-12)有：有：vv则系统的输出为则系统的输出为v根

21、据线性系统的可加性和比例性根据线性系统的可加性和比例性v =v又根据时不变性质又根据时不变性质v = = (1-17)v式中的式中的 代表卷积运算，式代表卷积运算，式(1-17)表示线性时不变系统的输出等于表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。)(nx)(n)(nh)(nh)(n)(nT)(nh)(nh)(th)(nxmmnmxnx)()()(mmnmxTnxTny)()()()(mmnTmx)()()(nymmnhmx)()()(ny)(nx)(nhv4.系统的因果性与稳定性v系统的因果性是指系统 时刻的输出只取决于 时刻以及

22、 时刻以前的输入序列，而和 时刻以后的输入序列无关。如果 时刻的输出还取决于 时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则称为非因果系统，非因果系统是不实际的系统，因此系统的因果性是指系统的可实现性。因果系统也称物理可实现系统，非因果系统也称物理不可实现系统。v线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是v =0， (1-18)v这里值得一提的是，模拟非因果系统确实不能实现。对于数字系统，利用系统中数据的存贮性能，有些非因果系统可以实现，有些非因果系统可以近似实现，只是系统输出有延迟。v系统的稳定性是指，如果系统的输入有界，则系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样

23、响应绝对可和，即v (1-19)nnnnnn)(nh0nPnhn)(v证明：先证明充分性v如果系统的单位取样响应满足 ，此时若输入 有界，即对于所有 都有 ，则v =v因为输入序列 有界，即v ， ， 为任意常数v所以v即如果系统的单位取样响应 满足式(1-19)，则输出 一定是有界的， v再证明其必要性（反证法）：v已知系统稳定，如果 不满足式(1-19)，即 ，总可以找到一个或若干个有界的输入使输出无界。例如：v = 是有界的输入， = ,令 ，则v v = =v说明 时刻输出为无界，证明了式(1-19)是系统稳定的必要条件。Pnhn)()(nxnBnx)(kknxkh)()()(ny)(

24、nykknxkh)()(kknxkh)()()(nxBnx)(nB，)(nyBBPnhk)()(nh)(ny)(ny)(nhnnh)(0)(, 10)(, 1nhnh)(nxkknxkh)()()(ny0n)0(ykkxkh)()(kkh)(=0n1.3 序列傅立叶变换序列傅立叶变换v在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量只取整数，取非整数时无定义，系其自变量只取整数，取非整数时无定义，系统用差分方程描述，频域分析采用傅立叶变统用差分方程描述，频域分析采用傅立叶变换或换或Z变换作为数学分析工具。其中，傅立叶变换作为数学分析工具。其中，傅立叶变换

25、指的是序列的傅立叶变换，和模拟信号变换指的是序列的傅立叶变换，和模拟信号的傅立叶变换是不一样的，但有很多类似的的傅立叶变换是不一样的，但有很多类似的性质。这一节介绍序列的傅立叶变换，下一性质。这一节介绍序列的傅立叶变换，下一节介绍序列的节介绍序列的Z变换。变换。v1.3.1序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义v定义定义v = （1-20）v为序列为序列 的傅立叶变换，用的傅立叶变换，用FT（Fourier Transform）表示。表示。FT成立的充分必要条件是序列成立的充分必要条件是序列 满足绝对可和条满足绝对可和条件，即满足件，即满足v （1-21） v用用 乘式乘式(1-20)两边，

26、并在区间两边，并在区间- 内对内对 积分，得积分，得v = =v其中其中v = （1-22） v所以有所以有v = （1-23） v式式(1-23)是是FT的逆变换。式的逆变换。式(1-20)和和(1-23)组成一对傅立组成一对傅立叶变换公式。叶变换公式。)(jeXnjnenx)()(nxnnx)()(nxmjedeeXmjj)(deenxmjnnj)(=nnx)(denmjdenmj)(2mn )(nxdeeXnjj)(21 v1.3.2序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质v1傅立叶变换的周期性傅立叶变换的周期性v在序列在序列 的傅立叶变换中，的傅立叶变换中， 取整数，因取整数，因此下式

27、成立：此下式成立：v = ， 为整数为整数 (1-24)v所以序列的傅立叶变换为所以序列的傅立叶变换为 的周期函数，的周期函数，周期是周期是 。这样。这样 可以展开成傅立叶级可以展开成傅立叶级数，实际上定义式数，实际上定义式 (1-20)已经是傅立叶级已经是傅立叶级数的形式，数的形式， 是傅立叶级数的系数。由于傅是傅立叶级数的系数。由于傅立叶变换的周期性，一般我们只研究立叶变换的周期性，一般我们只研究 之间或之间或0 之间的傅立叶变换。之间的傅立叶变换。)(nxn)(jeXnNjnenx2)( N2)(jeX2)(nxv2线性线性v设设 =FT ； =FT ，则，则v FT = (1-25)v

28、其中其中 、 为常数。为常数。v3时移与频移时移与频移v设设 =FT ，则，则v FT = (1-26) v FT = (1-27)(1jeX)(1nx)(2jeX)(2nx)()(21nbxnax)()(21jjebXeaXab)(jeX)(nx)(0nnx)(0nxenj)(0jnjeXe)(0jeXv4傅立叶变换的对称性傅立叶变换的对称性v设序列设序列 满足下式：满足下式：v = (1-28)v则定义序列则定义序列 为共轭对称序列。为了研究共轭对为共轭对称序列。为了研究共轭对称序列的性质，把称序列的性质，把 分成实部与虚部：分成实部与虚部：v = +v把上式中的把上式中的 用用 代替，并

29、取其共轭，得：代替，并取其共轭，得：v = - v所以有：所以有：v = (1-29)v =- (1-30)v即共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。即共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。)(nxe)( nxe)(nxe)(nxe)(nxe)(nxe)(nxer)(nxei+nn)(nxe)( nxer)( njxei=)(nxer)( nxer )(nxei)( nxei v类似地可以定义满足下式的共轭反对称序列：类似地可以定义满足下式的共轭反对称序列：v =- (1-31)v把把 分成实部与虚部：分成实部与虚部：v = +v有：有： v = - (1-32)v = (1-33)v

30、即共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。即共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。v可以证明一般序列可以证明一般序列 可以由共轭对称分量和共轭反对称可以由共轭对称分量和共轭反对称分量组成，即分量组成，即v = + (1-34)v式中式中 为共轭对称分量，为共轭对称分量， 为共轭反对称分量，为共轭反对称分量，v = (1-35)v v = (1-36)(nxo)( nxo)(nxo)(nxo)(nxor)(njxoi+)(nxor)( nxor )(nxoi)( nxoi)(nx)(nx)(nxe)(nxo)(nxe)(nxo)()(21nxnx)()(21nxnx)(nxe)(nxo

31、v对于序列对于序列 的频域函数的频域函数 也有以上概也有以上概念和结论：念和结论：v = + (1-37)v其中，其中， 和和 分别为共轭对称部分和分别为共轭对称部分和共轭反对称部分，且满足：共轭反对称部分，且满足：v = (1-38)v = - (1-39)v同样满足下面公式：同样满足下面公式： v =v =)(nx)(jeX)(jeX)(jeeX)(joeX )(jeeX)(joeX)(jeeX)(jeeX )(joeX)(joeX)()(21jjeXeX)()(21jjeXeX)(jeeX)(joeXv下面我们分两部分讨论傅立叶变换的对称性。下面我们分两部分讨论傅立叶变换的对称性。v =

32、 + ，即将序列，即将序列 分成实部和虚部，分成实部和虚部，对对 进行傅立叶变换得到：进行傅立叶变换得到：v = + v其中，其中，v =FT = v =FT =v在上面的式子中，在上面的式子中， 和和 都是实数序列。可都是实数序列。可以证明：以证明： 满足式满足式(1-38)，具有共轭对称性，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；它的实部是偶函数，虚部是奇函数； 满足式满足式(1-39)，具有共轭反对称性，它的实部是奇函数，具有共轭反对称性，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。虚部是偶函数。v综上可得：一般序列中，其实部对应的傅立叶变综上可得：一般序列中，其实部对应的傅立叶变换具有共轭

33、对称性，其虚部（包括换具有共轭对称性，其虚部（包括 ）对应的傅）对应的傅立叶变换具有共轭反对称性。立叶变换具有共轭反对称性。 aj)(nx)(nxr)(njxi )(nx)(nx)(jeX)(jeeX)(joeX)(jeeX)(joeX)(nxrnnjrenx)( )(njxinnjienxj)()(nxr)(nxi)(jeeX)(joeXv + (1-40) v即将序列即将序列 分成共轭对称部分和共轭反对称部分，分成共轭对称部分和共轭反对称部分，因为因为 v v对以上两式分别进行傅立叶变换，得到：对以上两式分别进行傅立叶变换，得到：v FT = = =v FT = = =v对式对式(1-40

34、)进行傅立叶变换得：进行傅立叶变换得：v = +v上式表示：序列的共轭对称部分上式表示：序列的共轭对称部分 对应着傅立叶变对应着傅立叶变换的实部换的实部 ，而序列的共轭反对称部分，而序列的共轭反对称部分 对对应着傅立叶变换的虚部应着傅立叶变换的虚部 。 b)(nx)(nxe)(nxo)()(21nxnx)()(21nxnx)(nx)(nxe)(nxo)(jeX)(jReXj)(jIeX+)(nxe)()(21jjeXeX)(RejeX)(jReX)(nxo)()(21jjeXeX)(ImjeXjj)(jIeX )(nxe)(jReX)(nxoj)(jIeXv下面利用傅立叶变换的对称性，分析实因

35、果序列下面利用傅立叶变换的对称性，分析实因果序列v 的对称性，并推导其偶函数的对称性，并推导其偶函数 和奇函数和奇函数 与与 之间的关系。之间的关系。v因为因为 是实序列，其傅立叶变换只有共轭对称部是实序列，其傅立叶变换只有共轭对称部分分 ，共轭反对称部分为零。，共轭反对称部分为零。v =v =v因此实序列的傅立叶变换的实部是偶函数，虚部因此实序列的傅立叶变换的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为：是奇函数，用公式表示为：v =v =-v其模的平方其模的平方 = + 是偶函数，相是偶函数，相位函数位函数arg =arg tan 是奇函数，是奇函数，这和实模拟信号的傅立叶变换有同样的结论。这

36、和实模拟信号的傅立叶变换有同样的结论。)(nh)(nhe)(nho)(nh)(jeeH)(nh)(jeH)(jeeH)(jeH)(jeH)(jReH)(jReH)(jIeH)(jIeH2)(jeH)(2jReH)(2jIeH)(jeH)()(jRjIeHeHv由式由式(1-35) 和和(1-36)得到：得到：v = +v =v =v因为因为 是实因果序列，是实因果序列， 和和 可以用下式表示：可以用下式表示：v = (1-41)v = (1-42)(nh)(nhe)(nho)()(21nhnh)()(21nhnh)(nhe)(nho)(nh)(nhe)(nho)(nhe0),(210),(21

37、0),(nnhnnhnnh)(nho0),(210),(210),(nnhnnhnnhv因此实因果序列因此实因果序列 可以分别用可以分别用 和和 表表示为：示为：v = (1-43)v = + (1-44)v其中其中 v = (1-45)(nh)(nhe)(nho)(nh)(nhe)(nu )(nh)(nho)(nu)0(h)(n )(nu0, 00, 10, 2nnn v5时域卷积定理时域卷积定理 v设设 ，v则则 = (1-46)v证明：证明： =v =FT =v令令 ，则，则v v = = v =v该定理说明，两个序列卷积的傅立叶变换满足相乘的关系。该定理说明，两个序列卷积的傅立叶变换满

38、足相乘的关系。对于线性时不变系统，输出的傅立叶变换等于输入信号的对于线性时不变系统，输出的傅立叶变换等于输入信号的傅立叶变换乘以单位脉冲响应的傅立叶变换。因此，在求傅立叶变换乘以单位脉冲响应的傅立叶变换。因此，在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式计算，也可以系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域相乘，求出输出的傅立叶变换，再求傅立叶逆变换，在频域相乘，求出输出的傅立叶变换，再求傅立叶逆变换，得到输出信号。得到输出信号。)()()(nhnxny)(jeY)(jeX)(jeH )(nymmnhmx)()( )(jeY)(ny nnjmemnhmx)()(mnk)(jeY k

39、njkjmeemxkh)()(mmjkkjemxekh)()()(jeH)(jeXv6频域卷积定理频域卷积定理v设设 ，v则则 =v = (1-47)v证明：证明： = v =v交换积分与求和的次序，得到：交换积分与求和的次序，得到：v = v =v =v该定理说明，在时域两序列相乘，转换到频域服该定理说明，在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。从卷积关系。)()()(nhnxny)(jeY21)(jeX)(jeH deHeXjj)(21)(jeYnnjenhnx)()( nnjnjjedeeHnx)(21)(denxeHnnjj)()(21)(jeYdeXeHjj)()(21)()(21

40、jjeHeXv7帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理v 设设 =FT ，则，则v = (1-48)v证明：证明： = =v =v =v = v该定理说明，信号时域的总能量与频域的该定理说明，信号时域的总能量与频域的总能量相等。需要说明的是，这里频域的总能量相等。需要说明的是，这里频域的总能量是指总能量是指 在一个周期中的积分再乘在一个周期中的积分再乘以以 。)(jeX)(nxnnx2)(deXj2)(21nnx2)()()(nxnxnnnjjdeeXnx)(21)( denxeXnnjj)()(21deXeXjj)()(21deXj2)(212)(jeX)2(1v1.3.3周期序列

41、的离散傅立叶级数表示周期序列的离散傅立叶级数表示v由序列傅立叶变换的定义可知，序列傅立叶变换存在的充由序列傅立叶变换的定义可知，序列傅立叶变换存在的充分必要条件是序列满足式分必要条件是序列满足式(1-21)即绝对可和的条件，如果即绝对可和的条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅立叶变换就可以用冲激函数的形式表示出来。其傅立叶变换就可以用冲激函数的形式表示出来。v设设 是以是以N为周期的周期序列，由于是周期序列，就可以为周期的周期序列，由于是周期序列，就可以像连续时间周期函数一样展开成傅立叶级数像连续时间周期函数一样展开

42、成傅立叶级数v = (1-49)v其中其中 是傅立叶级数的系数。为求系数是傅立叶级数的系数。为求系数 ，将上式两边，将上式两边乘以乘以 ，并对，并对 在一个周期在一个周期 内求和内求和v = =v其中其中v = (1-50)v所以所以)(nxknNjkkea2)(nxkamnNje2kanNmnNjNnenx210)(mnNjNnknNjkkeea2102 102NnnmkNjkkea=102NnnmkNjemkmkN,0,v = (1-51)v其中，其中， 和和 均取整数，当均取整数，当 或者或者 变化时，变化时， 是是周期为周期为 的周期函数，即的周期函数，即 = ， 取整数取整数 v因此

43、，系数因此，系数 也是周期序列，满足下式：也是周期序列，满足下式：v =v令令 ，并将式，并将式(1-51)代入，得：代入，得：v ， (1-52)v上式中上式中 也是一个以也是一个以 为周期的周期序列，称为为周期的周期序列，称为 的的离散傅立叶级数，用离散傅立叶级数，用DFS（Discrete Fourier Series）表示。表示。v若对式若对式(1-52)两端乘以两端乘以 ，并对，并对 在一个周期中求在一个周期中求和，得：和，得：v = =v同样可得：同样可得： = (1-53)v kaknNjNnenxN210)(1 knnkknNje2NnlNkNje2knNje2 lkakalN

44、kaNkX)(ka)(kXknNjNnenx210)( k )(kXNklNje2kklNjNkekX210)(klNjNkNnknNjeenx210102)( 10)(210)(NknlkNjNnenx)(nxknNjNkekXN210)(1 )(nxv式式(1-52) 和式和式(1-53)称为一对称为一对DFS，式，式(1-53)表明将周期序列分解成表明将周期序列分解成 次谐波，第次谐波，第 次谐波频率为次谐波频率为 = ， 0，1，2，幅度为，幅度为 。基波分量的频率。基波分量的频率是是 ，幅度是，幅度是 。一个周期序列可以。一个周期序列可以用其用其DFS表示它的频谱分布规律。表示它的频

45、谱分布规律。v1.3.4周期序列的傅立叶变换表示式周期序列的傅立叶变换表示式v序列的傅立叶变换的条件是序列必须绝对序列的傅立叶变换的条件是序列必须绝对可和，周期序列不满足绝对可和的条件，可和，周期序列不满足绝对可和的条件，所以严格地讲，周期序列的傅立叶变换不所以严格地讲，周期序列的傅立叶变换不存在。但如果引入冲激函数，可以用冲激存在。但如果引入冲激函数，可以用冲激函数表示其傅立叶变换。函数表示其傅立叶变换。NkkkN)2(k)()1 (kXNN2)()1 (kXNv在模拟系统中，在模拟系统中， = ，其傅立叶变换，其傅立叶变换是在是在 处的单位冲激函数，强度为处的单位冲激函数，强度为 ，即，即

46、v =FT = v = (1-54) v在时域离散系统中，在时域离散系统中， = ， 为有为有理数，假定其傅立叶变换的形式与上式一理数，假定其傅立叶变换的形式与上式一样，但样，但 取正整数，所以下式成立：取正整数，所以下式成立：v = ， 取整数取整数v因此因此 的傅立叶变换的傅立叶变换 为为v =FT = (1-55)(txatje002)( jXa)(txadteetjtj0)(20 )(nxnje002 nnje0nrje20rnje0)(jeX)(jeXnje0rr)2(20v图1-8 的 FTnje0v上式表示复指数序列的傅立叶变换为在上式表示复指数序列的傅立叶变换为在 处的单位冲处

47、的单位冲激函数，强度为激函数，强度为 ，如图，如图1-8所示。所示。r202v但如果前面的假定成立，则要求按照式但如果前面的假定成立，则要求按照式(1-23)，其傅立叶反变换必须唯一存在，且等，其傅立叶反变换必须唯一存在，且等于于 ，下面按照式，下面按照式(1-23)对上式表示的对上式表示的v 求反变换：求反变换：v =v因为在图因为在图1-8中，在中，在 的积分区间中，只的积分区间中，只包括一个单位冲激函数，所以上式等于包括一个单位冲激函数，所以上式等于 ，所以有：所以有：v = =IFTv证明了式证明了式(1-55)确实是确实是 的傅立叶变换。的傅立叶变换。nje0)(jeXdeeXnjj

48、)(21dernjr )2(2210nje0nje0deeXnjj)(21)(jeX=IFTnje0v对于一般的周期序列对于一般的周期序列 ，按照式，按照式(1-52)展开成离展开成离散傅立叶级数（散傅立叶级数（DFS），第），第 次谐波为次谐波为 ，类似于复指数序列的傅立叶变换，第类似于复指数序列的傅立叶变换，第 次谐波的傅次谐波的傅立叶变换为立叶变换为 ，因此周期序，因此周期序列列 傅立叶变换为：傅立叶变换为：v =FT v =v式中式中 0，1，2， ，如果，如果 在在 之间变之间变化，上式可简化为：化，上式可简化为：v = (1-56)v其中其中 =v上式就是周期性序列的傅立叶变换表示

49、式。上式就是周期性序列的傅立叶变换表示式。)(nxkkknNjeNkX2)(rrkNNkX)22()(2)(nx)(jeX)(nx10)22()(2NkrrkNNkXk1Nk)(jeX)2()(2kNkXNk )(kXknNjNnenx210)( 1.4 序列的序列的z变换变换v在模拟信号和系统中，用傅立叶变换进行频域分析，拉普拉氏变换作为在模拟信号和系统中，用傅立叶变换进行频域分析，拉普拉氏变换作为傅立叶变换的推广，对信号进行复频域分析。与此相类似，在时域离散傅立叶变换的推广，对信号进行复频域分析。与此相类似，在时域离散信号和系统中，用序列的傅立叶变换进行频域分析，信号和系统中，用序列的傅立

50、叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，变换则是其推广，用来对序列进行复频域分析。用来对序列进行复频域分析。v1.4.1 Z变换的定义变换的定义v若序列为若序列为 ，则幂级数，则幂级数v (1-57)v定义为序列的定义为序列的Z变换，式中变换，式中 是一个复变量，它所在的复平面称为是一个复变量，它所在的复平面称为 平平面。也可以将面。也可以将 的的Z变换表示为变换表示为v在定义中，对在定义中，对 求和是在求和是在 之间，所以称为双边之间，所以称为双边Z变换。还有一种称变换。还有一种称为单边为单边Z变换的定义变换的定义v (1-58)v这种单边这种单边Z变换的求和限是从零到无穷大。对于因果序列，用

51、两种变换的求和限是从零到无穷大。对于因果序列，用两种Z变换变换的定义计算出的结果是一样的。本书中如不作说明，则使用双边的定义计算出的结果是一样的。本书中如不作说明，则使用双边Z变换变换的定义。的定义。)(nxnnznxzX)()(zz)(nx)()(zXnxZTnnnznxzX0)()(v对任意给定序列对任意给定序列 ，使其，使其Z变换收敛的所有变换收敛的所有 值的值的集合称为集合称为 的收敛域。由级数理论可知，序列的收敛域。由级数理论可知，序列 的的Z变换存在的条件是：式变换存在的条件是：式(1-57)中等号右边级数收中等号右边级数收敛，并且绝对可和，即敛，并且绝对可和，即v (1-59)v

52、要满足式要满足式(1-59)， 必须在一定范围之内，这个范必须在一定范围之内，这个范围就是收敛域，不同形式的序列其收敛域形式不同。围就是收敛域，不同形式的序列其收敛域形式不同。一般收敛域用环状域表示，即一般收敛域用环状域表示，即v如图如图1-9所示。将变量写为极坐标形式，即所示。将变量写为极坐标形式，即 ，代，代入上式得到入上式得到 ，收敛域是以，收敛域是以 和和 为半为半径的两个圆形成的环状域（阴影部分），径的两个圆形成的环状域（阴影部分）， 和和 称为收敛半径。特殊的，称为收敛半径。特殊的， 可以小到零，可以小到零， 可以可以大到无穷大。大到无穷大。)(nxz)(zX)(nxnnznx)(

53、zxxRzRjrez xxRrRxRxRxRxRxRxRv图1-9 Z变换的收敛域v常用的常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：v分子多项式分子多项式 的根是的根是 的零点，分母多项式的零点，分母多项式 的根是的根是 的极点。在的极点。在极点处极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域也总是用极点限定其变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域也总是用极点限定其边界。边界。v对比序列的傅立叶变换的定义，可以得到傅立叶变换和对比序列的傅立叶变换的定义，可以得到傅立叶变换和Z变换之间的关系为变换之间的关系为v = (1-60)v式中式中 =

54、 表示在表示在 平面上平面上 的圆，该圆称为单位圆。式的圆，该圆称为单位圆。式(1-60)表明表明单位圆上的单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。如果已知序列的变换就是序列的傅立叶变换。如果已知序列的Z变换，就可以用变换，就可以用式式(1-60)很方便的求出序列的傅立叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。很方便的求出序列的傅立叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。v例例1-2 = ，求其，求其Z变换。变换。v解：解：v =v 存在的条件是存在的条件是 ，因此收敛域为，因此收敛域为 ，v = ， v由由 知，极点是知，极点是 =1，因此收敛域不包含单位圆，所以单位圆上的，因此收敛域不包含单位圆，所以单位

55、圆上的Z变变换不存在，即其傅立叶变换不存在，更不能用式换不存在，即其傅立叶变换不存在，更不能用式(1-60)求傅立叶变换（但如求傅立叶变换（但如果引入冲激函数，其傅立叶变换就可以用冲激函数的形式表示出来）。该例果引入冲激函数，其傅立叶变换就可以用冲激函数的形式表示出来）。该例说明一个序列的傅立叶变换不存在，但在一定收敛域内说明一个序列的傅立叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是存在的。变换是存在的。)()()(zQzPzX)(zP)(zX)(zX)(zQ)(jeXjezzX)( zje z1r)(nx)(nunnznuzX)()(0nnz )(zX11z1z)(zX111 z1z )(zXzv

56、1.4.2 不同形式序列不同形式序列Z变换的收敛域变换的收敛域vZ变换中收敛域的概念很重要，不同的序列可能有相同的变换中收敛域的概念很重要，不同的序列可能有相同的Z变换表达式，变换表达式，但是收敛域却不同，所以只有当但是收敛域却不同，所以只有当Z变换的表达式与收敛域都相同时，才变换的表达式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。不同形式的序列其收敛域形式不同，下面讨论几能判定两个序列相等。不同形式的序列其收敛域形式不同，下面讨论几种序列的收敛域。种序列的收敛域。v1.有限长序列有限长序列v 如果序列如果序列 满足下式：满足下式：v =v即序列即序列 从从 到到 的序列值不全为零，此范围之外序列

57、值为零，这样的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其的序列称为有限长序列。其Z变换为变换为v设设 为有界序列，由于是有限项求和，除为有界序列，由于是有限项求和，除0与与 两点是否收敛与两点是否收敛与 、 取值情况有关外，整个取值情况有关外，整个 平面均收敛。如果平面均收敛。如果 ，则收敛域不包括，则收敛域不包括 v点；如果点；如果 ，则收敛域不包括，则收敛域不包括 = 点；如果是因果序列，收敛域包点；如果是因果序列，收敛域包括括 = 点。具体有限长序列的收敛域表示如下：点。具体有限长序列的收敛域表示如下：v ， ，时，时v ， ，时，时v ， ，时，时1n02n0

58、z0)(nx)(nx其它, 0),(21nnnnx)(nx1n)(nx2nnnnnznxzX21)()(z1n2n1n02n0z0 z1n02n0 z0z01n02n0v2.右序列右序列v右序列是指在右序列是指在 时，序列值不全为零，而在其它时，序列值不全为零，而在其它 时，序列值全为零的序列。时，序列值全为零的序列。v = +v第一项为有限长的序列，设第一项为有限长的序列，设 ，其收敛域为，其收敛域为 。第二项为因果序列，其。第二项为因果序列，其收敛域为收敛域为 ， 是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为为 。如果是因果序列，收敛域

59、为。如果是因果序列，收敛域为 。v例例1-4 求求 = 的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。v解：解： = =v在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足 ，因此收敛域为，因此收敛域为 。v3.左序列左序列v左序列是指在左序列是指在 时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在 时，序列值全为零的序列。时，序列值全为零的序列。v如果如果 ， 点收敛，点收敛， 点不收敛，其收敛域是在半径为点不收敛，其收敛域是在半径为 的圆内部，即收的圆内部，即收敛域为敛域为 。如果。如果 ，则收敛域为，则收敛域为 。v例例1-5 求求 = 的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。v解：解： 是一个左序列，当是一个

60、左序列，当 时，时， =0v = = v 存在要求存在要求 ，即收敛域为，即收敛域为 ，v = = ， 。1nn 1nn nnnznxzX1)()(nnnznx11)(nnznx0)(11nz0zRxxR zRxzRx)(nx)(nuan nnnznuazX)()(0nnnza111 az 11azaz 2nn 2nn nnnznxzX2)()(02n0zzxRxRz 002nxRz 0)(nx) 1(nuan)(nx1n)(nxnnnznuazX) 1()(1nnnza1nnnza )(zX11zaaz )(zXzaza111111 azaz v4.双边序列双边序列v一个双边序列可以分解为一