理学理论力学-第4章学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)理论力学理论力学-第第4章章第一页，共72页。第1页/共72页第二页，共72页。第2页/共72页第三页，共72页。第3页/共72页第四页，共72页。第4页/共72页第五页，共72页。第5页/共72页第六页，共72页。第6页/共72页第七页，共72页。OrrrPPP第7页/共72页第八页，共72页。rvPPP第8页/共72页第九页，共72页。 第9页/共72页第十页，共72页。= f1(t)= f2(t)= f3(t)第10页/共72页第十一页，共72页。第11页/共72页第十二页，共72页。第12页/共72页第十三页，共72页。第13页/共72页第十四页，共72页。

2、如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长sOP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧坐标(zubio)(arc coordinate of a directed curve)。弧坐标(zubio)s完全确定了动点P在轨迹上的位置。点运动时，其弧坐标随时间(shjin)而变化：这就是(jish)动点P的弧坐标形式的运动方程。 )(tss 第14页/共72页第十五页，共72页。1. 有坐标(zubio)原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标(zubio)原点)；2. 有正、负方向(一般(ybn)以点的运动方向作为正向)；3

3、. 有相应的坐标系。第15页/共72页第十六页，共72页。ddddddrrvsstts 0dlim1drrtss ddrs vstsddvv 点的速度在切线轴上的投影等于(dngy)弧坐标对时间的一阶导数。第16页/共72页第十七页，共72页。第17页/共72页第十八页，共72页。第18页/共72页第十九页，共72页。第19页/共72页第二十页，共72页。s 第20页/共72页第二十一页，共72页。第21页/共72页第二十二页，共72页。第22页/共72页第二十三页，共72页。第23页/共72页第二十四页，共72页。第24页/共72页第二十五页，共72页。第25页/共72页第二十六页，共72页

4、。第26页/共72页第二十七页，共72页。tddytdldlxsinsincos2cos2第27页/共72页第二十八页，共72页。tddytdldlxsinsincos2cos2第28页/共72页第二十九页，共72页。P.110第29页/共72页第三十页，共72页。 半径为R的圆盘沿直线轨道(gudo)无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v0(t) 1分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率(ql)半径； 2讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。Rv0A第30页/共72页第三十一页，共72页。

5、cossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyRRCMOCxA 取点M所在的一个最低位置为原点O，设在任意(rny)时刻t圆盘的转过的角度为CAM，为时间t的函数，C是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：第31页/共72页第三十二页，共72页。cossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyR点M的速度(sd)分量为：(1 cos )sinxRyR22(1 cos )sinsincosxRRyRR加速度分量(fn ling)为：于是M点的运动(yndng)方程为：第32页/共72页第三十三页，共72页。AxOCR将其对 t 求一次导数(do sh)

6、，可得 0AxRv 因为圆盘沿直线轨道作纯滚动(gndng)，故轮心A点作水平直线运动，所以有第33页/共72页第三十四页，共72页。再对 t 求一次导数(do sh)，可得 这对于沿直线(zhxin)轨迹滚动的物体都是正确的。0AxRv00AxRva引入 则有RaRv00第34页/共72页第三十五页，共72页。即轮上M点的速度大小(dxio)与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定： coscos2v, jyvvcossin2v,ixvvcos1222RyxvMCv2sin20M点的速度(sd)大小为 2建立 和 与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系第35页/共72

7、页第三十六页，共72页。于是(ysh)，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。v MC 当 = 0和 = 2时，M点与地面(dmin)接触，此时M点的速度为零。 从图中的几何关系可以(ky)证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，第36页/共72页第三十七页，共72页。22(1 cos )sinsincosxRRyRRja2R第37页/共72页第三十八页，共72页。220nvaRR这时M点的速度为v =2v0，于是(ysh)，轨迹在最高处的曲率半径为： RRvvav4)2(2020n2iv02v22aijRR M点轨迹在最高点处的切线方向(fngxing)与i 同向；曲线向下弯曲

8、，所以主法线方向(fngxing)与j 同向。于是，法向加速度的大小为： 由于当 = 时，M点的速度和加速度分别为： 第38页/共72页第三十九页，共72页。若v0为常矢量(shling)，则为常量，故，此时由式M点加速度大小(dxio)恒为： RaRv0022(1 cos )sinsincosxRRyRR222axyRM点加速度的方向由下式确定：cossina,ixaacoscosa, jyaa根据式第39页/共72页第四十页，共72页。 所以，这时轮缘上M点的加速度方向(fngxing)均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注

9、意，若v0不为常矢量，则加速度方向(fngxing)并不指向轮心。 例：P.110，115cossina,ixaacoscosa, jyaa第40页/共72页第四十一页，共72页。第41页/共72页第四十二页，共72页。BABArrr根据(gnj)平移的定义，rAB为常矢量， 0ddtBAr 刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动（translation）,简称平移或平动(pngdng)。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB ，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。第42页/共72页第四十三页，共72页。BABArrr0ddtBArBArr

10、vvABBAaa 平移时，同一(tngy)瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。 根据(gnj)平移的定义，为常矢量， 第43页/共72页第四十四页，共72页。第44页/共72页第四十五页，共72页。已知：O1A O2B l；O1A杆的角速度 和角加速度 。求：C点的运动(yndng)轨迹、速度和加速度第45页/共72页第四十六页，共72页。解：板运动过程中，其上任意直线(zhxin)始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。 C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，

11、即以O点为圆心l为半径(bnjng)的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。第46页/共72页第四十七页，共72页。第47页/共72页第四十八页，共72页。42 lt2n2()()CACCaaaat2n2()()AAaa222)()(ll第48页/共72页第四十九页，共72页。 需要注意的是：虽然平板上各点的运动轨迹均为圆，但是(dnsh)，平板并不作转动，而是作平面曲线平移。由此，在分析中，需要注意刚体运动与刚体上点的运动的区别。 第49页/共72页第五十页，共72页。第50页/共72页第五十一页，共72页。定轴转动刚体)(tf第51页/共72页第五十二页，共72页。第52页

12、/共72页第五十三页，共72页。考察(koch)三维定轴转动刚体 角速度矢量(shling)、角加速度矢量(shling)ddtkk22ddddttkk第53页/共72页第五十四页，共72页。 若刚体(gngt)加速转动，则与同向。 第54页/共72页第五十五页，共72页。 若减速(jin s)转动，则与反向。 第55页/共72页第五十六页，共72页。考察(koch)三维定轴转动刚体PPrvtttPPPPddddddrrva)(PPrrtnaaPP第56页/共72页第五十七页，共72页。tnaaaPPPtPParn2PPar 定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分(b fen)组成，即切向加速度与法向加速度。第57页/共72页第五十八页，共72页。 动系O1 x y z 绕 z轴转动(zhun dng)，角速度为 ，基矢量为(i ，j ， k )第58页/共72页第五十九页，共72页。动系O1 x y z 绕 z轴转动(zhun dng)OxyzyxzO1i j kP1P2P3P1P3vP2单位向量：i , j , k 角速度：第59页/共72页第六十页，共72页。返回(fnhu)第60页/共72页第六十一页，共72页。第61页/共72页第六十二页，共72页。第62页/共72页第六十三页，共72页。第63页/共72页第六十四页，共72页。第64页/共72页第六十五页，共72页。第6