数值分析（本科）第6章 线性方程组的迭代解法

1、求解大规模线性代数方程组求解大规模线性代数方程组我们所要讨论的格式我们所要讨论的格式线性代数方程组线性代数方程组本章将介绍三种基本迭代格式：本章将介绍三种基本迭代格式：n Jacobi迭代格式迭代格式n Gauss-Seidel迭代格式迭代格式n SOR迭代格式迭代格式线性代数方程组线性代数方程组这就是这就是Jacobi迭代格式迭代格式。例例. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：解：解：首先，写出首先，写出Jacobi迭代格式迭代格式例例. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：解：首先，写出解：首先，写出Jacobi迭代格式迭代格式例例. 用用Jaco

2、bi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：例例. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：例例. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：显然，迭代显然，迭代21步后实际上就得到了保留步后实际上就得到了保留5位有效数字的近似解。位有效数字的近似解。练习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：解：解：首先，写出首先，写出Jacobi迭代格式迭代格式练习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：解：首先，写出解：首先，写出Jacobi迭代格式迭代格式练习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：练

3、习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：练习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：练习练习. 用用Jacobi迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：由由Jacobi迭代格式出发：迭代格式出发：Jacobi迭代迭代GS迭代迭代例例. 用用Gauss-Seidel迭代迭代求解线性方程组：求解线性方程组：解：首先，写出解：首先，写出Gauss-Seidel迭代格式迭代格式Gauss-Seidel迭代迭代Jacobi迭代迭代例例. 用用Gauss-Seidel迭代迭代求解线性方程组：求解线性方程组：例例. 用用Gauss-Seidel迭代迭代求解线

4、性方程组：求解线性方程组：例例. 用用Gauss-Seidel迭代迭代求解线性方程组：求解线性方程组：显然，迭代显然，迭代9步后实际上就得到了保留步后实际上就得到了保留5位有效数字的近似解。位有效数字的近似解。练习练习. 用用Gauss-Seidel迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：解：首先，写出解：首先，写出Gauss-Seidel迭代格式迭代格式Gauss-Seidel迭代迭代Jacobi迭代迭代练习练习. 用用Gauss-Seidel迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：练习练习. 用用Gauss-Seidel迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：练习练习. 用用Gauss-S

5、eidel迭代求解线性方程组：迭代求解线性方程组：由由GS迭代格式出发：迭代格式出发：由由GS迭代格式出发：迭代格式出发：SOR迭代解：首先，写出解：首先，写出SOR迭代格式迭代格式Gauss-Seidel迭代迭代Gauss-Seidel迭代迭代解：首先，写出解：首先，写出SOR迭代格式迭代格式SOR迭代迭代Gauss-Seidel迭代迭代解：首先，写出解：首先，写出SOR迭代格式迭代格式SOR迭代迭代Gauss-Seidel迭代迭代常用的范数有：常用的范数有：最后一个条件数称为矩阵范数的相容性最后一个条件数称为矩阵范数的相容性常用的范数有：常用的范数有：常用的范数有：常用的范数有：方程组的性态：方程组的性态：条件数小的矩阵称为良态矩阵；条件数小的矩阵称为良态矩阵；条件数条件数大大的的矩阵矩阵称为病态矩阵。称为病态矩阵。证明：利用证明：利用Jordan标准型。标准型。证明证明证明证明证明证明移项即得。移项即得。证明：证明： Jacobi迭代收敛迭代收敛证明：证明：的顺序主子式为的顺序主子式为所以所以Jacobi迭代不收敛。迭代不收敛。Jacobi迭代迭代解解. 其其迭代矩阵为迭代矩阵为Jacobi迭代迭代解解. 其其迭代迭代矩阵的特征值矩阵的特征值 因此