镶嵌课题学习

1、镶镶 嵌嵌课题学习课题学习埃舍尔埃舍尔的作品的作品鸟分割的平面鸟分割的平面 通过观察上面的图片，你发现通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？它们有哪些共同特征？【1 1】不重叠不重叠【2】完全覆盖完全覆盖 从数学角度看，用一些从数学角度看，用一些不重不重叠叠摆放的图形把平面的一部分摆放的图形把平面的一部分完完全覆盖全覆盖，通常把这类问题叫做覆，通常把这类问题叫做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题盖平面（或平面镶嵌）的问题(一一)提出问题提出问题1)观看下面地板的拼合图案观看下面地板的拼合图案 3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙的

2、地板呢的地板呢? 1）它们是何种正多边形拼成的？）它们是何种正多边形拼成的？ 2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？）围绕图中某一点的所有角的和是多少？收收 集集 整整 理理 数数 据据正正n边形边形拼图拼图每个内角每个内角的度数的度数使用正多边使用正多边形的个数形的个数k结论结论能镶嵌能镶嵌能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌能镶嵌 K= 6K= 4K= 3K= 4K= 36090108108120n =3n =6n =4n =5分分 析析 数数 据据正正n边形边形拼图拼图每个内角的度数每个内角的度数与与360的关系的关系结论结论n=3n=4n=5n=6能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能

3、镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌能镶嵌 660= 360 490= 360 4108 360 3120= 360 3108 360能镶嵌能镶嵌得出结论：得出结论： 如果一个正多边形可以进行镶嵌，如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是那么内角一定是360的约数（或的约数（或360一定是这个多边形内角的整数一定是这个多边形内角的整数倍）！倍）！用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?探究问题（探究问题（1)2m+3n=12m=3n=2 m60 +n90 =360。 。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正方边形的角，个正方边形的角，则有则有 m,n 为正

4、整数为正整数解为解为m+2 n=6m=2n=2m=4n=1 m60 +n120 =360。 。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正六边形的角，个正六边形的角，则有则有 m,n 为正整数为正整数解为解为2 m+5 n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正十二边形个正十二边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为2 m+3 n=8m=1n=2m90 +n135 =360。设在一个顶点周围有个设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角正四边形的角,n 个

5、正八边形个正八边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角个正五边形的角,n 个正十边形个正十边形的角，则有的角，则有3 m+4 n=10m=2n=1m108 +n144 =360 。 。 。 m,n 为正整数为正整数解为解为得出结论：得出结论： 用两种正多边形镶嵌的用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于的各个角的和恰好等于360（周角）。（周角）。思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？ 同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？探究新知探究新知(四四)想一想想一想1）用一种普通的三角形

6、形状的地砖）用一种普通的三角形形状的地砖能镶嵌成一个平面图案吗能镶嵌成一个平面图案吗?能，因为三角形三个内角的能，因为三角形三个内角的和为和为180将三角形三个不将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个平角，六个内角可围成一个360周角，因此，周角，因此，任意一任意一种三角形能铺满平面。种三角形能铺满平面。2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌）用一种普通的四边形地砖能镶嵌成一个平面图案吗？成一个平面图案吗？能，因为四边形四个内角和为能，因为四边形四个内角和为360将四边形四个内角将四边形四个内角绕一点可围成一个周角，绕一点可围成一个周角，因此，因此，任

7、意一种四边形能铺满平面。任意一种四边形能铺满平面。如果用两种如果用两种正多边形进正多边形进行镶嵌需要行镶嵌需要满足什么条满足什么条件？件？小颖家正在为新房子小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，装修，在他的房间里，他想用正三角形和另他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择？地板，他有哪些选择？你能帮他出出注意吗？你能帮他出出注意吗？正多边形正多边形拼拼 图图 和和 它们的内角度它们的内角度和和360的关系：的关系： 和和 它们的内角度它们的内角度和和360的关系：的关系： 正多边形正多边形拼拼 图图 和和 和和360+ 2 90= 360 360+2 90=360460+1 120=360正三角形正三角形正四边形正四边形正三角形正三角形正六角形正六角形收获与启示收获与启示u 用一种正多边形镶嵌的规律：用一种正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是正多边形的内角是360的约的约数（或数（或360是这个正多边形是这个正多边形的整数倍）！的整数倍）！u 用多种正多边形镶嵌的规律：用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和拼接在同一个点的各个角的和恰好等于恰好等于360（周角）（周角）1. 1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可用一种正多边形镶