高等数学课件65功、水压力和引力

1、2 由由 物物 理理 学学 知知 道道 ， 如如 果果 物物 体体 在在 作作 直直 线线 运运 动动 的的 过过 程程 中中 有有 一一 个个 不不 变变 的的 力力F作作 用用 在在 这这 物物 体体 上上 ， 且且 这这 力力 的的 方方 向向 与与 物物 体体 的的 运运 动动 方方 向向 一一 致致 ， 那那 么么 ， 在在 物物 体体 移移 动动 了了 距距 离离s时时 ， 力力F对对 物物 体体 所所 作作 的的 功功 为为 sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法

2、微元法”思想思想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功 Work done by changing force along a straight line 3例例 1 1 把把 一一 个个 带带 q 电电 量量 的的 点点 电电 荷荷 放放 在在 r 轴轴 上上 坐坐 标标 原原 点点 处处 ， 它它 产产 生生 一一 个个 电电 场场 这这 个个 电电 场场 对对 周周 围围 的的 电电 荷荷 有有 作作 用用 力力 由由 物物 理理 学学 知知 道道 ， 如如 果果 一一 个个 单单 位位 正正 电电 荷荷 放放 在在 这这 个个 电电 场场 中中 距距 离离 原原 点点 为为 r

3、 的的 地地 方方 ， 那那 么么 电电 场场 对对 它它 的的 作作 用用 力力 的的 大大 小小 为为 2rqkF （k 是是 常常 数数 ） ， 当当 这这 个个 单单 位位 正正 电电 荷荷 在在 电电 场场 中中 从从 ar 处处 沿沿 r 轴轴 移移 动动 到到 br 处处 时时 ， 计计 算算 电电 场场 力力 F 对对 它它 所所 作作 的的 功功 (P357)4解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考

4、虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 5点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 (P359) 一圆柱形一圆柱形蓄水池高为蓄水池高为 5 米，底米，底半径为半径为 3 米，池内盛米，池内盛满了水满了水.问要把池内的问要把池内的水全部吸出，需作多水全部吸出，需作多少功？少功？ 解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,6xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw

5、 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)(KN)7解解则木板对铁钉的阻力为则木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3( (与与P363P363习题习题6-56-5，5 5类似）类似） 用铁锤把钉子钉用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n 次锤击次锤击时又将铁钉击入多

6、少？时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n设钉子钉入木板的深度为设钉子钉入木板的深度为x8 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n9 由由 物物 理理 学学 知知 道道 ， 在在 水水 深深 为为h处处 的的 压压 强强 为为hp ，这这里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面积积为为A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深为为h处处，那那么么

7、，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力为为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力二、水压力 Pressure of water10例例 4 4 (P 360) 一一 个个 横横 放放 着着 的的 圆圆 柱柱 形形 水水 桶桶 ， 桶桶 内内 盛盛 有有 半半 桶桶 水水 ， 设设 桶桶 的的 底底 半半 径径 为为R， 水水 的的 比比 重重 为为 ， 计计 算算 桶桶 的的 一一 端端

8、面面 上上 所所 受受 的的 压压 力力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR , xp 222xyR11小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 12例例 5 5( (补补充充) ) 将将直直角角边边各各为为a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直

9、地地浸浸人人水水中中，斜斜边边朝朝下下，直直角角边边的的边边长长与与水水面面平平行行，且且该该边边到到水水面面的的距距离离恰恰等等于于该该边边的的边边长长，求求薄薄板板所所受受的的侧侧压压力力 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa (2 )2()dPxaax dx 02 (2 )()aPxaax dx .373a y=-2(x-a)x13 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为 r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为122m mFGr ，其中其中 G 为引力系数，引力的方向沿着两质点为引力系数，引力的

10、方向沿着两质点的连线方向的连线方向 如如果果要要计计算算一一根根细细棒棒对对一一个个质质点点的的引引力力，那那么么，由由于于细细棒棒上上各各点点与与该该质质点点的的距距离离是是变变化化的的，且且各各点点对对该该质质点点的的引引力力方方向向也也是是变变化化的的，就就不不能能用用此此公公式式计计算算三、引力三、引力 Gravitation14例例 6 6 ( (P P3 36 61 1) ) 有有一一长长度度为为l、线线密密度度为为 的的均均匀匀细细棒棒， 在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒a单单位位处处有有一一质质量量为为m的的质质点点M，计计算算该该棒棒对对质质点点M的的引引力力 2l2l xy

11、oMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为22ray15引力引力22,m dyFGay 水平方向的分力元素水平方向的分力元素3222,()xam dydFGay 232222()lxlam dyFGay 12222,(4)Gm laal 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yFr2l2l xyoMaydyy 2302222()lGam dyay 2122202(

12、)lGmyaay (可令可令y=asint)16利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结 Brief summary 17思考题思考题 Consideration question 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？18思考题解答思考题解答 Solution to consideration

13、question 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关19一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物

14、体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力 . .练练 习习 题题 Exercises 20四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水

15、中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一块一块a高为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . .六、六、 设有一半设有一半R径为径为，中心，中心 角为角为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . .21七七、 油油类类通通过过直直油油管管时时，中中间间流流速速大大，越越靠靠近近管管壁壁流流速速越越小小，实实验验测测定定，某某处处的的流流与与速速v流流处处到到管管子子中中心心的的距距之之间间离离r有有关关系系式式)(22rakv , ,其其中中为为比比例例k常常数数，为为油油管管a半半径径. .求求通通过过油油管管的的流流量量 （注注： 当当流流速速为为常常量量时时， 流