超经典损伤力学讲义讲课讲稿

1、超经典损伤力学讲义岩石中的自然微孔隙岩石中的自然微孔隙 m)( 10宽度注：注：LARC低纵横比孔隙；低纵横比孔隙；HARC高纵横比孔隙高纵横比孔隙)(74 . 0宽度LARC晶界晶界上上HARC 晶内晶内 结晶岩石中的自然孔隙率结晶岩石中的自然孔隙率mm 2. 岩石损伤的宏观力学表现岩石损伤的宏观力学表现岩石三轴压缩全应力岩石三轴压缩全应力-应变曲应变曲线线 （a）奇异损伤）奇异损伤 （b）宏观损伤）宏观损伤 （c）细观损伤）细观损伤D1D1（a）初始无损状态）初始无损状态 （b）损伤状态）损伤状态 （c）虚构无损状态）虚构无损状态 推广到三维情况下，假设材料损伤的主要影响因素是由于三维分布

2、的微裂纹和推广到三维情况下，假设材料损伤的主要影响因素是由于三维分布的微裂纹和微空隙而使有效承载面积减小所导致。在受损材料中沿任意方向取一面元微空隙而使有效承载面积减小所导致。在受损材料中沿任意方向取一面元PQR，称其，称其为即时损伤构形，简称为损伤构形为即时损伤构形，简称为损伤构形Bt。假设在。假设在Bt中的应力、应变和损伤都是均匀的。中的应力、应变和损伤都是均匀的。在三维欧几里得矢量空间在三维欧几里得矢量空间E中，面元中，面元PQR的线元的线元PQ 、PR 和面积分别以和面积分别以dx 、dy和和 表示。用表示。用B0 表示面元的初始无损构形，并用表示面元的初始无损构形，并用 dx0 、d

3、y0和和 分别表示相应的线元和分别表示相应的线元和面积。从初始无损形面积。从初始无损形 B0到损伤构形到损伤构形 Bt的形变梯度用的形变梯度用F 表示表示 。vdA00Av （a）初始无损构形）初始无损构形 （b）损伤构形）损伤构形 （c）虚构无损构形）虚构无损构形欧几里得三维空间中材料的三种构形 和上述一维情况的分析相似，假设三维空间中有一虚构无损构形和上述一维情况的分析相似，假设三维空间中有一虚构无损构形Bf 。这一虚构。这一虚构无损构形类似于无损构形类似于1984年斯托尔兹（年斯托尔兹（Stolz）引入的物理构形，即用微结构研究材料变形）引入的物理构形，即用微结构研究材料变形时引入的虚拟

4、构形。从力学的观点说，时引入的虚拟构形。从力学的观点说， Bf 与与Bt 是等价的，是等价的， Bf中的面元中的面元 P*Q*R* 与与 Bt中的净承载面积中的净承载面积PQR 等价。在欧几里得矢量空间等价。在欧几里得矢量空间E 中，中，P*Q* 、P*R* 段和面积段和面积P*Q*R*分别用分别用dx*、dy*和和 表示损伤不仅使用有效承载面积减小，而且面积表示损伤不仅使用有效承载面积减小，而且面积矢量矢量 和和 方向也不相同。方向也不相同。 引入从损伤构形引入从损伤构形Bt到对应的虚构无损构形到对应的虚构无损构形 Bf点点P 的虚构应变，可以用它来建立两的虚构应变，可以用它来建立两个构形中

5、的相应两个面元矢量个构形中的相应两个面元矢量 和和 的变换关系。用的变换关系。用G 表示由表示由 Bt到到 Bf的虚的虚构应变梯度，则有构应变梯度，则有 （2-3） 根据南森（根据南森（Nanson）定理，分别在构形）定理，分别在构形 Bf和和 Bt中的面元矢量中的面元矢量 和和 有下列有下列关系关系（2-4） vdAGdydyGdxdx vdAGKGdyGdxdydxdAvT12121dAvvdAvdAdAvdAvvdA 表示表示Bt 的损伤状况可以用式（的损伤状况可以用式（24）的线性变换）的线性变换 描述。用张量描述。用张量 表表示示 ，则，则 （2-5a）或或 （2-5b）式（式（2-

6、4）可以写成）可以写成 （2-6） 式中式中I2阶单位张量，材料的阶单位张量，材料的2阶损伤张量阶损伤张量 即为材料在广义损伤状况下的内部状即为材料在广义损伤状况下的内部状态变量。态变量。 损伤张量损伤张量 一般总有一般总有3个正交的主方向个正交的主方向 ni(i=1,2,3) 和对应的三个主值和对应的三个主值 Di 。于。于是，损伤张量是，损伤张量 可以写成下列的典范形式可以写成下列的典范形式 （2-7）TGK1IIGKT1TTIKIKG1vdAIdAv3 , 2 , 131inDniiiTGK1 在构成在构成Bt 和和 Bf中，各取张量中，各取张量 的一组主坐标系的一组主坐标系 Ox1x2

7、x3 和和 Ox1*x2*x3* , 坐标轴坐标轴分别通过分别通过P、 Q、 R 和和 P*、 Q*、 R* ，从而构成两个四面体，从而构成两个四面体 OPQR 和和 O*P*Q*R *。面元面元 PQR 和和 P*Q*R*分别是相应的四面体的斜截面，三个侧面都分别与主轴分别是相应的四面体的斜截面，三个侧面都分别与主轴x1 、x2 、x3 垂直。将式（垂直。将式（27）代入式（）代入式（26）得）得 （2-8a） （2-8b）由图和式（由图和式（2-7），），损伤张量损伤张量 的的3个主值个主值Di可以解释为构形可以解释为构形Bt和和Bf中损伤张量中损伤张量 的的3个主平面上净面积的相对减小量

8、或有效空隙密度。个主平面上净面积的相对减小量或有效空隙密度。QR332211311dAndAndAndAiDiDdAvii不求和, 3 , 2 , 11idAdAiii 损伤张量的几何解释损伤张量的几何解释 由各种形状的微空隙构成的损伤可以用下图描述。令第由各种形状的微空隙构成的损伤可以用下图描述。令第 k 个微空隙的主方向的单位个微空隙的主方向的单位矢量为矢量为 ni(k) ，沿垂直于主方位的平面截微空隙的切口面积的大小为，沿垂直于主方位的平面截微空隙的切口面积的大小为 。于是，沿体元。于是，沿体元V 的主平面的主平面 ni(k)切断的横截面积切断的横截面积 Ai(k)的内的的内的 的密度为

9、的密度为 （2-9） 损伤张量可表为损伤张量可表为 （2-10） kiD kikikiADD kiD微空隙致的损伤分析微空隙致的损伤分析 3 , 2 , 13 , 2 , 111jinnDViiiNkdnnDxkikikik1I , 2 , 1, 0,1321NkVdVnnDDDDkkkkknnDNvdATdAdAvdAvITdAdAT1相对于虚构无损构形的有效应力张量相对于虚构无损构形的有效应力张量1I（2-17） 21212111IITs11III1IGK1)(I2.2.基于变形模量的损伤描述基于变形模量的损伤描述)1 (DEEE)1/(DEED/1G)1 (DGGGD1efefE/GGD

10、11:EEI1:GGI;)(1 Ief 1. 1.节理岩体损伤张量节理岩体损伤张量) 3 , 2 , 1( ii31iiin100000000000010000000000001321lVVVS333132lVS 31l微裂隙元与有效表面图微裂隙元与有效表面图SakkkkkkkkkkkknnaVlnnaVlnnK)(11kkNkkNkknnaVl123Tnnnn),(321岩体裂隙图岩体裂隙图（236）（239）jijijinnncoscoscoscoscoscos32121222)sinsin(cosjii1tantantankji)()1)(1 ()(2/ 12232nnnnLLNNVLn

11、naNVLjijijiNakji,2.2.净应力张量净应力张量tn00000000231323121312222211222313232212131211)(I)(tCI)(I)(nCI)1 ()1 ()(*11nnnnttCHHCItTTtTTnt*TTt*3.本构关系和损伤演变方程)(*G)(1* G1*CC或*)()(*prdktd*)(2/1*t 4. 4.损伤岩体有限元数值方法损伤岩体有限元数值方法*udfudstdto*TIHHITnnnnttt)()(dudfudstdSto*UBUNu*FFUKdBDBKtdBDBFtdBFt*ttofffftttt,321321t312312332211FUK*FUK UUU UBD*1)( :Ief:Cef:2)(CTefff:C),(:tCudfudstdvuutos ddudfudsuutb UNu UB*FFUKUCUM dNNMTdNNMTeMeeMM1ddJNNtMTedet1111dBDBKTUNN1iN0iN)(0jiNNMjiveeijniiN11dNNCTddJNNdNNCTTeedet1111dBdBCeTeeCKMaC*KMC)/()(222ijijjiji)/()(222ij