转子的临界转速资料

1、转子的临界转速 第一节第一节 基本概念基本概念 造成振动的原因是复杂的，多方面的，其中一个重要 的其危害性最大的方面就是“临界转速”的问题。 有一个圆盘转子，如图所示： 由于加工的原因，转子的质心与其几何轴线心不完全重合，产生的偏心（距）为e，转子质量为M，以角速度 旋转，产生的离心力为P，使轴挠曲，圆盘处挠度为y，由力的平衡有： （3-1）12key式中： 质量偏心距（质心到几何中线心的距离） 转子的固有频率（弯振频率）由上式可知：1）若质量偏心 =0（理论而言），那么在一般转速 （也即一般 ）下，转轴无挠度，y=0，即不发 生 弯曲。eke2） 若 =0，但 时（即转子在临界转速下运转）

2、则ek00y此时可能 yyy0任意值（即发生弯曲） 在这三种情况的无穷多个值中， 的机会只有 一个。所以由此说明：在质量完全匀布而无质量 偏心时即 =0 时，转子只有以 运转时， 转子才会发生挠曲，即弯曲，而且y值有可能很大。0yek3）当 （即存在质量偏心时），若 ，则y值 会很大，甚至当 时都会使y值很大。4）以上2）、3）说明，转子不能在临界转速下工作， 否则转子会因弯曲过大而折断。0ekk5）式（3-1）也说明，质量偏心e的大小并不影响临界转 速的数值，它们是互相独立的二个参数。也就是说存 不存在临界转速以及它的大小如何，与存不存在质量 偏心 无关。 e但是，偏心 严重影响振幅y的大小

3、。它说明加工和平衡都不好的转子，由于其偏心 过大，即使其工作转速远离临界转速，由于振幅y大，转子也会发生强烈的振动。反之，若加工和平衡都做得很好的转子，只要保证工作转速不等于临界转速，即使工作转速很接近临界转速，转子也能良好运转。ee 6） 行业规定，为安全起见，应该有： 此状态下的轴称为刚轴 此状态下的轴称为柔轴。knn75. 0knn3 . 1 第二节第二节 等直径轴的临界转速等直径轴的临界转速 讨论： 无圆盘、等直径光轴的临界转速以及 轴弯曲振动的形式 假设：无质量偏心即 = 0，轴的临界角速度为ek（1）由材料力学知：轴挠曲时，轴上任意一截面弯矩方 程为： （A） （2）目前状态下，轴

4、单位长度所受的载荷就是轴单位长 度的质量 所产生的离心力： （B）MdxydEI22im2kiymq （3）又由材料力学知：沿轴长度弯矩的二次导数，等 于轴单位长度所受的载荷，即： （C）qdxMd22 （4） 由（A）（B）（C）得： 令常数项的组合： 得到： （3-2） 上式的通解为：224kiymdxydEIEImkki/240444ykdxydchkxCshkxCkxCkxCy4321cossin（3-3） 系数（常数）C1、C2、C3、C4由边界条件决定。 对两端铰支座（一般滑动轴承相当于这种情况）， 边界条件为： A） 当x=0时，B B） 当x=l时， C） 当x=0时， D）

5、当x=l时，0y0y0y0y最终解得： （1）有 显然，对正弦函数，当 时， 上式可满足，i为任意整数（i=1，2，3，）， 因为前面令有 ，现又得 到 ，所以有： （3-5） 式中： 为整个轴得质量，0sinklikl EImkki/24ikl 32mlEIikmlmmi由上式可知：由上式可知：（A）一个转子的临界转速不是一个，而是无限多个。（B）第一阶振动时的临界转速称为第一临界转速， ；第二阶振动时的临界转速称为第二临界 转速， ；余依次类推。（C）行业一般要求（为安全起见）： 1kn2kn217 . 03 . 1kknnn （2） （3-4） 可见：轴的振动弹性线为正弦曲线。第一阶振动

6、（i=1） lxiCysin1 轴无节点；第二阶振动（i=2）有一个节点； 第三阶振动（i=3）有二个节点；余依次类推。 第三节第三节 普洛尔法计算转轴的普洛尔法计算转轴的 临界转速临界转速 前面已讨论了有关“临界转速”的基本概念， 下面将介绍真实转子临界转速的计算。 一力学模型的建立一力学模型的建立 1 将质量连续分布的实际转轴，简化为一系列质量集 中而又分散分布的计算轴，在各个集中质量之间用 没有质量但有弹性的轴段连接起来，因而将整个转 轴分为许多小段，如图所示： 2 转轴中凡直径改变之处，一般均取为分段点， 如“1”、“3”点； 3 叶轮和其他回转零件通常作为一个质量集中于 其质心的集中

7、质量来考虑，同时取质心所在位置 作为分段点，如“2”点； 4. 每段轴的质量均分为二半，分别集中到该段轴 的两端的截面上（即分段点处）。这样，各段之 间的分段点上则分别集中有相临两段轴的质量和 的一半。如分段点“1”点上集中有第段的质量 与第段的质量 之和的一半；即1m2m2211mmM 5. 如分段点之上还有其他回转零件（如叶轮）则分段点上还应该加上这部分零件（如叶轮）的集中质量，例如：在分段点“2”上面，除了集中有第段的质量 与第段的质量 之和的一半，还应加上叶轮的质量，即 ， 式中 叶轮的质量 2m3mimpmmmM2322impm 6. 除上所述，按变直径和集中载荷自然分段外，一般分段

8、数应该高于所求临界转速阶数的56倍，例如：求转轴2阶临界转速，则至少要划分2*（56）段，上述的图中，可在每一段中人为再增加段数。 二计算公式二计算公式递推公式递推公式1基本参数 由材料力学可知，弯曲梁上任一截面的变形情 况可由 4个基本参数来反映，即 切力Q 弯矩M 转角 挠度y 2 计算公式 将实际轴简化为计算轴后，如下图所示： 以左边为起点，转轴的第一个分段点为0点，依次各个分段点分别为1，2，3，i-1，i，j，分段点0于1之间称为第1段，1与2之间称为第2段，.（i-1）与I点之间称为第i段，依次类推。 规定：规定： 第i段包括第（i-1）分段点的集中质量，不包括第i分段点的集中质量

9、，而第i分段点的质量包含再i与i+1分段点组成的第（i+1）段上，依次类推。 取第i段轴分析，i和（i+1）分段点上的Q、M、和y， 当轴以某临界角速度 旋转时，根据“规定”，再 （i-1）分段点上除有切力Qi-1外，还有因为i-1分段点上 的集中质量产生的离心力，所以由力的平衡则有： （A） 再由力矩的平衡，则有： （B）k1211ikiiiymQQiiiixQMM1又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”，在当前讨论的第i段轴上，除了在i-1分段点有集中质量外，其他部分是无关质量，只有弹性的轴，所以这一段内的切力为常数，即Qi，因此在这段轴上i与i-1分段点的距离为x的地方的弯矩就为：

10、 （C）xxMMMxQMxMiiiiii111)( 另：由材料力学知有： （D） 由材料力学及数学知识有： （E） 将（C）代入（D）得到： EIxMdxyd)(22)()(xxtgdxdy)(11122xxMMMEIdxydiiii 对上式积分一次，得： 由边界条件： 处有：121121)(CxxMMxMEIdxdyxiiii0 x1)(ix所以得 C1=所以有： （F） 1i121121)(iiiiixxMMxMEIdxdyx 又对上式积分，得： （F+） 又由边界条件： 处有：213121621)(CxxxMMxMEIxyiiiii0 x1)(iyxy 所以有： C2=1iy C2代入（

11、F+）得： （G）13121621)(iiiiiiyxxxMMxMEIxy 又由边界条件： 时有： ixxiiyxyx)()( 所以当 时由（F）和（G）式及 则有：ixxiiyxyx)()(112121121162121iiiiiiiiiiiiiiiiiyxEIxMMxMEIyxxMMxMEI（H）（I）将以上2式整理后与（A）、（B）两式归纳在一起，得： 3621111111211iiiiiiiiiiiiiiiiiikiiiMMxxyyMMxQMMyMQQ（i=1，2，3n） （3-6） 式中 EIxii 上式表明：上式表明： 只要知道第i-1分段点上的4个基本参数（Qi-1、Mi-1、

12、i-1 、yi-1），在选定一个临界角速度值 后，利用上 式就可求得相邻的后一个分段点i分段点上的4个基本参 数（Qi、Mi、i、yi），依次类推，就可以求得转轴 上任一个分段点上的这4个基本参数，直至最后一个分 段点，因此，上式又称为“递推公式”。k 三计算步骤：三计算步骤： 1 将实际轴简化为计算轴； 2 假设（试凑）一个临界角速度 ； 3在保证满足轴始端（一般取左端）的边界条件 的情况下，给定一组始端的参数（Q0、M0、 0、y0）。k4利用递推公式逐段递推计算各个分段点的4个基本参数 （ 、 、 、 ），直到计算出转轴终端（右端）的 4个边界参数（ 、 、 、 ）5如果计算出的终端的4

13、个参数能满足边界条件，则所假 设（试凑）的 就是真实的临界角速度，否则就不是 真实的临界角速度。6重新假设（试凑）临界角速度 ，重复上述1-5步骤， 直到满足边界条件为止。注：不同的支撑和联接方式有不同的边界条注：不同的支撑和联接方式有不同的边界条 件，计算时根据具体情况确定相应的边件，计算时根据具体情况确定相应的边 界条件。界条件。iiQiYiMzzQzYzMkk 四几种情况的计算：四几种情况的计算： 1 1二支座单跨二支座单跨 如图所示，两端铰支，这是一种最简单又最常见的转子支撑情况。一般单根轴且无外伸端时均属这种情况。 从递推公式可以看出，若把O支座作为始端，那么，只要知道这个分段点（也

14、即截面）上的4个弯振基本参数 、 、 、 （称为初参数），再假设（试凑）一个临界角速度 ，就可按公式逐段递推，依次计算了。由此便可求出轴上任一个分段点i上的4个参数， 即 、 、 、 。 那么始端O分段点上的4个基本参数知道不知道呢？ 实际情况是：有的知道，有的不知道。ooQoYoMiiQiYiM ( (1) 边界条件： 由材料力学知，对一根两端绞支的梁，应有： 而 且不为0 （2） 分析： 从递推公式可看出，前后两截面4个基本参数 Q、M、 、Y之间的关系是线性的（在已经假定 之后），从数学知识可知，如果我们一开始就 将 和 作为未知数代入递推公式（此时的 边界条件 ），逐个分段点递推， 那

15、么很显然，任一截面（分段点）i上的4个基 本参数 、 、 和 都只是 和 的线性函数，即有：00OOMY?OOQkooQ0OOMYiYiiMiQooQoioiioioiioioiioioiiQHGQQFEMQDCQBAY（i=1，2，3n） （3-7） 另外，递推公式清楚地表明，在目前两端绞支这种情况下，在递推过程中，未知的始终只是 和 （ 已先假定了一个数值），所以上式中的系数 、 、 都是有确定值的。ooQkiAiBiH （3） 计算系数 、 、 首先假定一个 值，且对两端绞支，已知有 边界条件： 再分两次计算系数 、 、 第一次：第一次： 取 ， （已知 ） 因为转轴的第一个分段点（即始

16、端点） 、 、 和 均已知，代入递推公式（3-6），就可逐段递推 依次计算出各个分段点的参数，写为： 、 、 、 （i=1，2，nj） iAiBiH0ooMYiAiBiH1o0oQ0ooMYooQoYoM)(IiY)(Ii)(IiM)(IiQk将第一次计算的结果与（3-7）式对照，显然有:)()()()(IiiIiiIiiIiiQGMECYA（i=1，2，nj） （3-8） 上式说明：第一次取 ， ，用递推公式（3-6）所计算出来的各个截面（分段点）的 、 、 和 并不是在各个分段点的真实挠度、转角、弯矩和切力，而只是相应的系数 、 、 、1o0oQiYiiMiQiAiCiEiG 第二次：第二

17、次： 取 ， （同样已知有 ） 同第一次一样，将 、 、 、 代入递推公式，逐 段递推，得出各个分段点的4个基本参数，写为： 、 、 、 （II=1，2，nj） 上标II表示第二次计算结果。 同理，将此次结果与（3-7）式对照，显然有：0o1oQ0ooMYooQoYoM)(IIiY)(IIi)(IIiM)(IIiQ)()()()(IIiiIIiiIIiiIIiiQHMFDYB（II=1，2，nj） （3-9）同样，第二次计算得出的并不是各个分段点（截面）上的真实参数 、 、 和 ，而只是相应的系数。iYiiMiQ这样，通过以上二次计算，边可得出各个分段点（截面）上的所有系数 、 、iAiBiH

18、 (4) 临界转速的判别： 经过以上二次计算，已得出各个分段点截面上的系数，设最后一个分段点（转轴终点）为“j”点，则 、 、 已求出。则由（3-7）式，有iAiBiHojojjojojjojojjojojjQHGQQFEMQDCQBAY而目前讨论二端绞支的情况下，终端参数应该有如下边界 条件： 即 00iiMY （3-10）0)(0)(ojojjooojiQFEMQBAY 和 虽为未知数，但材料力学知识告诉我们， 和 在两端绞支的情况下肯定不为0。这样在 和 不 为0的前提下，要式（3-10）成立，只有系数行列式必 须为0，即ooQooQooQ （3-11） 也即： （3-11A） 经过上述

19、计算与分析，得出如下结论得出如下结论：0jjjjFEBA0jjjjEBFA（A） 若最初假设（试凑）的角速度 为真实临界 角速度 ,则式（3-11A）成立。反之，则式 （3-11A）不成立（即不为0），这样，就要重 新假设（试凑）新的 值，再重复上述的计 算及判别过程，直至式（3-11A）成立，从而 求出各阶之临界角速度 。（B） 由于不可能很快就试凑出真实 ，而上述计 算过程又是一个繁琐的重复过程，为计算方 便起见，不妨先令式（3-11A）式为： 显然 与假设（试凑）的 有关，称为 残值。kkk (3-11B)0jjjjEBFA)(j)(j若不同的 对应不同的残值 。当试凑过一定数量的角速度

20、 后，就可画出 曲线，如图所示：)(j)(_j 显然，曲线与 轴的交点， =0，这些交点的 值就是转轴的各阶临界角速度，例如 、 、 。 实际上，利用计算机计算时，是很容易搜索出各个交 点，也即各阶临界角速度 值的。)(j1k2k3kk 2 2多支点多跨情况多支点多跨情况 下图就是实轴简化为计算轴的一根3跨（二支撑点间为一跨）4支点的转轴。（例如二根转轴用刚性联轴器联接后，就构成一根4支点3跨的转子） 如 如 图所示，始终端点用o、z表示，中间支座用j、s表示。 （1）第1跨从o到j之间各个分段点上参数Y、M、Q的计算显然与前面介绍的2支座单跨的情况一样。 （2） 第2 跨从j到s分段点之间任

21、意一分段点（截面）的计算与第一跨基本一致，只是要多考虑一个问题即“跨越支座点”的问题。具体如下： 在计算j支座点后一点，即j+1分段点时，按第推公式，需要用到j分段点的4个基本参数（作为已知数）。而j分段点的4个基本参数则应该在上一次的第推中求出。但我们再仔细分析一下第推公式（3-6）式就可知，第推公式中没有考虑“支座反力”的影响，这是j点既具有一般分段点的性质有具有其作为“支座点”的特点。显然，这个“支座反力”在4个基本参数（Y、 、M、Q）中应反映在切力Q的大小中，也就是说按递推公式计算出的j点的切力 还应再加上支反力（写为 ）即，那么支反力 有多大呢？不知道！ jQjRjjjRQQjR

22、它也是一个未知数，既然这样，为计算方便，就将作为一个未知数来处理（因为 ），这样，在用递推公式计算j +1分段点时就似乎有三个未知数了，即 、 和 。jQjjjRQQooQjQ 但在深入分析后又可以发现，在j分段点，既然它又是支座点，那么必有： 则 ：0jY 所以有： （3-12）将上式代入（3-7）式，则得：0ojojjQBAYojjoBAQjojjjjjojojjojjjjojojjojjjjojojjjRBAHGRQHGQBAFEQFEMBADCQDCY)()()(0（3-13）未知数从上式可看出，通过中间支座j，利用其上4个参数 、 、 和 再计算j+1分段点的4个参数 、 、 和 时

23、，必然减少一个初参数 同时又增加一个新未知参数 。因此j支座点后各个分段点的4个参数通过递推公式计算出来后，将表达为 和 的线性组合，若以K标号代表j和s支座间（即递2跨）任一分段点，则有： jYjjMjQ1jY1j1jM1jQoQjQojQk=j+1，s （3-14） jkokkjkokkjkokkjkokkQHGQQFEMQDCQBAY 即他们是 和 的线性组合而不是 和 的线性组合了，其中，系数 、 的确定与前面介绍2支座单跨的情况时相同。同理，从S到Z之间的第3跨的任一分段点的参数的计算同第2跨完全一样，不再赘述。 最后，临界转速的判别也与2支座单跨的一样， 不再 重复。ojQooQk

24、AkBkH 3 3存在外伸端的情况存在外伸端的情况 （ （1）分析和边界条件 一般的转子都有一定的外伸端，其 的计算过程 及所用的递推公式与前面介绍的情况基本相同，差 别只是边界条件不同，如下图所示， 双支座三跨转 子有较长的外伸端（轴两端挂叶轮，二轴承支座在 中间就是这种情况） 图3 k仍以o和z分别表示始端和终端。显然这时的边界条件属自由端情况，按材料力学知识，应有边界条件为： 因此在第一跨内各分段点（截面）上的4个基本参数不是 和 的线性组合而是 和 的线性组合，如仍取i作为第一跨中任一点的标号，则有： 00ooMYooQooY （i=1，2j） （3-15）oioiioioiioioiioioiiQHGQQ