机械振动4两自由度系统的动力学方程

1、振动力学1第四章振动力学2kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对汽车的上下振动进行动力学建模要求：对汽车的上下振动进行动力学建模例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单（单自由度）优点：模型简单（单自由度）分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合振动力学3k2c2m

2、车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响需两个独立坐标需两个独立坐标振动力学4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相优点：分别考虑了人

3、与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？需多个独立坐标需多个独立坐标振动力学5振动力学6振动力学7m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)11xm m1k2(x1-x2)22xm m2 k3x2 0)(2121111xxkxkxm 0)(2321222xkxxkxm 写成矩阵形式：写成矩阵形式：0 KxxM 其中：其中：2100mmM322221kkkkkkKTxx21x实例：实例：振动力学8021211111xkxkxm 022212122xkxkxm 找x1与

4、x2同步运动的解：)(),(2211tfuxtfux代入方程得：代入方程得：22211211322221kkkkkkkkkkK，令1121kkk，21122kkk。2232kkk0)()()(21211111tfukuktfum 0)()()(22212122tfukuktfum 2222212111212111)()(umukukumukuktftf 振动力学9与单自由度振动的方程一样，要有振动，必须为正实数。0)()(tftf 代入方程得：代入方程得：0)(21211211ukumk0)(2222211212112mkkkmk)sin()(tCtf而且解为：为初相位角。为振动频率，为任意常

5、数，其中：C)2 , 1()sin()(itCutfuxiii，0)(22222121umkuk振动力学100)(2222211212112mkkkmk0)()(212221121122214212kkkkmkmmm2121222112211122212111222122214)(2121mmkkkmmkmkmmmkmkm2122232212211)(kkkkkkkk)2 , 1(02ii频率。为正实根，即两个固有)2 , 1( ii，得到：代入方程每个)101 . 4(i0)(21211211ukumki22221212121112mkkkmkuuii振动力学1122122121212111

6、)1(1)1(21mkkkmkuur得：22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur1)1(1)1(2)1(1)1(1ruuuu得矩阵：2)2(1)2(2)2(1)2(1ruuuu)151 . 4(a)151 . 4(b。、量，分别对应于称为振型向量或模态向、21)2()1(uu)2 , 1()sin()sin()(2)(2)(1)(1ituCxtuCxiiiiiiiiiii，：对每个振动力学12)sin(1)()()()(11111)1()1(2)1(1)1(trCtftxtxtux得：)161 . 4(a)161 . 4(b实际振动为：由初始条件确定。、和、其中2121

7、CC)sin(1)()()()(22222)2()2(2)2(1)2(trCtftxtxtux)()()()2()2(tttxxx)171 . 4()sin(1)sin(122221111trCtrC振动力学13m1m2k1k2k3x1x2解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-1：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有频率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722221mkmk25,21振动力学14m1m2k1k2k3x1x2mkmkmk

8、5811. 125,21121212111)1(1)1(21kkkkmkuur得：5 . 02/521212211)2(1)2(22kkkkmkuur11)1(1)1(2)1(1)1(uuuu得固有振型：5 . 01)2(1)2(2)2(1)2(uuuu)1(u11mk1)2(u1-0.5mk252节点振动力学15解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-2：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有频率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722

9、221mkmk25,21振动力学16例例4.1-2：求扭转振动系统的固有频率和固有振型：求扭转振动系统的固有频率和固有振型两圆盘两圆盘 转动惯量转动惯量 ，21,II轴的扭转刚度轴的扭转刚度 k1I22Ik111 I)(21k22 I)(21k建立方程：建立方程：)()(21221211kIkI 0021222111kkIkkI )sin()sin(2211tt设代入微分方程组，得振动力学171I22Ik1特征方程：特征方程：0)(0)(22212112IkkkIk:相应的振幅比，这里1011r0)(22212kIkIk0)(221421IIkII特征根：特征根：, 021212221IIII

10、k21122)2(1)2(22IIkIkr, 1121)1(1)1(21kIkr，轴段无变形。振动时，转角是相同的说明以1不是振动。这实际上是刚体转动，振动力学181I22Ik121122121,:IIlIlIIlIl节面的位置特性。改变该扭振系统的振动在节面处进行固定，不节面处始终保持不动。节面处始终保持不动。节面1221IIll：振动时，固有振型如图以2121IIl1l2l向扭振的单自个以同一频率按相反方即该扭振系统可看成两由度系统。振动力学19k1k2ABCOal1l2O0 x振动力学20222121CcCIxmT 22Jaxm21)(21k1k2ABCOal1l2O0 xsinaxxc

11、axxc振动力学212221BAxkxkV2121222211)(21)(21lxklxkk1k2ABCOal1l2O0 xsin1lxxAsin2lxxB1lxxA2lxxB振动力学22)21(，iQqLqLdtdiii2个 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：iq：广义坐标：广义坐标：拉格朗日函数：拉格朗日函数LVTL iQ：对应于非保守广义力：对应于非保守广义力22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV此处为x和。自由振动时，Qi为0。代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：1)()(Qlklkxkkmaxm112221 2222211112

12、22QlklkxlklkmaJxma)()()( 振动力学23代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：矩阵形式：2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 存在惯性耦合存在惯性耦合存在弹性耦合存在弹性耦合1)()(Qlklkxkkmaxm112221 222221111222QlklkxlklkmaJxma)()()( )21(，iQqLqLdtdiii2个自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV振动力学24如果如果O点选在质心点选在质心C：只存在弹性耦

13、合，而不出现惯性耦合只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合0a21QQ、：作用在质心上的外力合力和合力矩：作用在质心上的外力合力和合力矩2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 212222111122112221QQxlklklklklklkkkxJm 00振动力学25如果如果O点选在这样一个特殊位置，使得：点选在这样一个特殊位置，使得：只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合1221kkll2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 2122221121200QQxlklkk

14、kxmaJmamam 这个特殊位置称为系统的刚度中心这个特殊位置称为系统的刚度中心振动力学26m1m2k1k2m3k3x1x2x3233222211212121xmxmxmT22332122211)(21)(2121xxkxxkxkV设某一瞬时：设某一瞬时：321mmm、321xxx、分别有位移分别有位移321xxx、速度为速度为振动力学27iQ：对应于非保守广义力：对应于非保守广义力自由振动时，Qi为0。代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：)3 , 2 , 1( iQqLqLdtdiiiVTL 233222211212121xmxmxmT11221111)(Qxxkxkxm 22332122

15、211)(21)(2121xxkxxkxkV223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 得：得：振动力学2811221111)(Qxxkxkxm 223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 写成矩阵形式：写成矩阵形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振动力学29受力分析：受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）设某一瞬时：设某一瞬时：321mmm、321xxx、

16、分别有位移分别有位移321xxx 、加速度为加速度为m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)33xm m3振动力学30Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）Q3(t)k3(x2-x3)33xm m312121111)(Qxxkxkxm 232321222)()(Qxxkxxkxm 332333)(Qxxkxm 写成矩阵形式：写成矩阵形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振动力学31QKqqM 的平衡。和非保守

17、力、惯性力即弹性恢复力QqMKq ),.,2 , 1()(1niQqkqminjjijjij ),.,(niQqkinjjij211振动力学32),.,(niQqkinjjij211振动力学33m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 2111kkk221kk 031k令令T010 x212kk3222kkk332kk令令T100 x013k323kk333kk得刚度矩阵：得刚度矩阵：33332222100kkkkkkkkkK振动力学34QKqqM 考虑考虑M：nRq假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即：

18、即： q = 0QqM 则有：则有：njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.有了刚度矩阵，还需要质量矩阵，才能写出作用力方程：有了刚度矩阵，还需要质量矩阵，才能写出作用力方程：若只有qj =1,其它q= 0振动力学35使系统只在第使系统只在第j个坐标个坐标上产生单位加速度，上产生单位加速度，而在其他坐标上不产而在其他坐标上不产生加速度所施加的一生加速度所施加的一组外力，正是质量矩组外力，正是质量矩阵阵M的第的第j列列 。结论：质量矩阵结论：质量矩阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生单位加速度而相应

19、于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力ijm根据其物理意义可以直接求出根据其物理意义可以直接求出质量影响系数质量影响系数mij和和刚度影响系数刚度影响系数kij。然后写出矩阵。然后写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这种方法称，从而建立作用力方程，这种方法称为为影响系数方法影响系数方法 。njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.振动力学36m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 111111mmxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 0

20、13m023m333mm得质量矩阵：得质量矩阵：321000000mmmM质量矩阵质量矩阵M中的元素中的元素mij是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单位加个坐标上产生单位加速度而相应于第速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力Qi。有了刚度矩阵和质有了刚度矩阵和质量矩阵就可以写出量矩阵就可以写出动力学方程。动力学方程。振动力学37柔度矩阵将动力学方程：QKqqM 各项左乘K的逆阵K-1：QKKqKqMK111 FQqqD 其中，F=K-1称为系统的柔度矩阵柔度矩阵，其元素fij(i,j=1,2,n)称为柔度影响系数柔度影响系数。D=FM称为系统的系统的动力矩阵动力矩阵。

21、考虑在静变形时，各广义加速度均为考虑在静变形时，各广义加速度均为0，方程变为：，方程变为：FQq ),.,2 , 1(:1niqQfinjjij即这又称为这又称为位移方程位移方程振动力学38),.,2 , 1(1niqQfinjjij因此，因此，柔度影响系数柔度影响系数fij可理解为：对系统仅施加与可理解为：对系统仅施加与qj坐标坐标对应的单位广义力时，沿对应的单位广义力时，沿qi坐标所产生的位移。坐标所产生的位移。柔度矩阵也是对称矩阵，它与刚度矩阵互为逆阵，若刚度柔度矩阵也是对称矩阵，它与刚度矩阵互为逆阵，若刚度矩阵正定，柔度矩阵也正定。矩阵正定，柔度矩阵也正定。但动力矩阵但动力矩阵D=FM

22、通常不是对称矩阵。通常不是对称矩阵。若令若令Q=0，得到保守系统自由振动的另一种形式的动力学，得到保守系统自由振动的另一种形式的动力学方程。方程。0qqD 振动力学39对对3个自由度的质量个自由度的质量弹簧系统，可以利用柔度影响系数弹簧系统，可以利用柔度影响系数的物理意义求出柔度矩阵。的物理意义求出柔度矩阵。m1m2k1k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31iqQfijjij令：令：0, 1321QQQ11111kxf12211kxf13311kxf令：令：0, 1312QQQ11121kxf2122211kkxf2133211kkxfiixf 1振动力学40令：令：0, 121

23、3QQQ11131kxf2122311kkxf321333111kkkxf得到柔度矩阵：得到柔度矩阵：3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF11111kxf12211kxf13311kxf11121kxf2122211kkxf2133211kkxfm1m2k1k2m3k3x1x2x3振动力学41动力矩阵：动力矩阵：)111()11()11()11(32132121121321211131211kkkmkkmkmkkmkkmkmkmkmkmFMD柔度影响系数更容易通过实验得出。柔度影响系数更容易通过实验得出。弹性梁的柔度影响系数可直接引自材料力学公

24、式。弹性梁的柔度影响系数可直接引自材料力学公式。这个动力矩阵就不是对称矩阵。这个动力矩阵就不是对称矩阵。振动力学42若上例最左边一个弹簧取消，则刚度矩阵变为：若上例最左边一个弹簧取消，则刚度矩阵变为：k1m1m2k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31ixQfijjij令：令：0, 1321QQQ3333222200kkkkkkkkK这时，这时，0K即刚度矩阵为奇异阵，其逆矩阵即柔度矩阵不存在。即刚度矩阵为奇异阵，其逆矩阵即柔度矩阵不存在。其实，由于左端的约束取消其实，由于左端的约束取消后，系统处于游离状态。对后，系统处于游离状态。对任一个物块施加外力，各静任一个物块施加外力，各静

25、位移均是不定值，即求不得位移均是不定值，即求不得柔度影响系数。柔度影响系数。其弹性位移其弹性位移xi均不能确定。均不能确定。这种系统称为这种系统称为半正定系统半正定系统。振动力学43各质量上作用垂直力为Pi，垂直位移为xi (i=1,2,3) 。忽略梁的质量，求柔度矩阵。忽略梁的质量，求柔度矩阵。 （质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设321PPP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。 321mmm、321xxx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原

26、点。的原点。 再来看弹性梁问题再来看弹性梁问题 x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll弹性梁跨度为4l，抗弯刚度为EI，均布3个集中质量mi(i=1,2,3) ,振动力学441131129fEIlxm1 位移：位移：21321211fEIlxm2 位移：位移：时、01321PPP（1）时、10231PPP（2）f11f21P1=1f31m3 位移：位移：3133127fEIlxm1 位移：位移：12311211fEIlx22321216fEIlxm2 位移：位移：m3 位移：位移：32331211fEIlxf12f22P2=1f32（3）利用对称性：113332233113ffffff，

27、振动力学45得到柔度矩阵：91171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用质量影响系数的物理意义可求出质量矩阵。令令T001x 11111mxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 1310mQ023m333mm质量矩阵质量矩阵M中的元素中的元素mij是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单位加个坐标上产生单位加速度而相应于第速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力Qi。振动力学4691171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll32100000

28、0mmmM32132132139117111611711912mmmmmmmmmEIlFMD可以写出动力学方程：FQqqD TPPP321Q32132132139117111611711912PPPPPPPPPEIlFQ振动力学47动力学方程可统一表示为：动力学方程可统一表示为： QXKXM 位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵的对称性、正定性质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵的对称性、正定性本节小结：本节小结： FQqqD 振动力学48本节作业：

29、本节作业： 5.1；5.2振动力学49例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的动力学方程试建立系统的动力学方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)振动力学50解：解：,1x2x21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k

30、1k2x1x2P1(t)P2(t)振动力学51建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 牛顿定理牛顿定理坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2振动力学52例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的动力学方程试建立系统的动力学方程 1k1I22I2k3k)

31、(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 振动力学53解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1振动力学54建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k振动力学55

32、)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM振动力学56小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxm

33、m )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学57刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论

34、 K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 则：则：假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学58)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X njjjnnnjnnjnjnkkk

35、kkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P代入，有代入，有 ：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学59 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ijk（i=1n） ：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 结论：刚度矩阵结论：刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生

36、个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学60)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即：即： X = 0)(tPXM 则有：则有： njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方

37、程多自由度系统的动力学方程振动力学61njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系统只在第使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系

38、数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的物理。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵意义可以直接写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这种方，从而建立作用力方程，这种方法称为法称为影响系数方法影响系数方法 。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学62例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令

39、令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学63只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系

40、统的动力学方程振动力学6443336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学6521,mm21,cc21,II例：双混合摆，两刚体质量例：双混合摆，两刚体质量质心质心绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量2

41、1、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量1Ih1C1C2h2lxy2I12多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学66受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm xy多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学67解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllm

42、hmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程11hm1Ilm211 11m21m02 2I22hm01 12m22m12 振动力学68令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：222222222221

43、11hmIlhmlhmlmhmIM质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学69求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数 令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程gm211 11k21kgm10

44、2 01 12k22kgm2gm112 振动力学70令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：刚度矩阵：刚度矩阵：2221100)(ghmglmhmK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学712221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM000)(21222112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 运动微分方程：运动微分方程：y1Ih1C1C2h2lx2I12多自由度系统振动多自

45、由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学72例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学73解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加

46、力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学7421121kamglk221kak刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的

47、动力学方程振动力学75令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk01 12 aO1O2mgmg12m22mk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学7622222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM0021213100312122

48、222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学77例：两自由度系统例：两自由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程求：运动微分方程xm1k12mk2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学78解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵令：令：01x2121111)(kkkkk021k令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin m1k1k21xm1k11k20 x12k22k多自由度系

49、统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学792121111)(kkkkk021k00)(2112kkkglmlgmk2222sin刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学80求解质量矩阵求解质量矩阵令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k1k2xm 2惯惯性性力力m1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2惯性力惯性力多自由度系统振动多自由度

50、系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学81212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( lmm212222222lmlmIm 质量矩阵：质量矩阵：222221lmlmlmmmMx m1k12mk2刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学82位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度矩阵刚度矩阵建立建

51、立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。 柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设21PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、21xx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位

52、置为坐标的原点的原点 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学83111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、时时（1）1021 PP、时时（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同时作用同时作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学8421PP、 同时作用时：

53、同时作用时：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijf柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学85FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP21PP、当当 是动载荷时是

54、动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211x m 22x m m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学86)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 又可：又可：作用力方程：作用力方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇异非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关

55、系：1 KFIFK 或：或：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学87对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学88例：

56、例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学89由材料力学知，由材料力学知， 当当B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A点的挠度为：点的挠度为： )(6222balEJlabfAB柔度影响系数：柔度影响系数：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212121008778xxmmPPffffxx 柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位

57、移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学90例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度阵，求柔度阵 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为上产生位移为: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐标）在坐标 x2 上对质量上对质量 m2 作用单位力作用单位力212211kkf1121kf213

58、211kkf（3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力作用单位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学911111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF因此：因此：可以验证，有：可以验证，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系

59、统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学92质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：动能：XMXTT21 KXXTV21 势能：势能：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力

60、学93质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 动能：动能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动力学94质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是