材料力学-弯曲内力

1、1241 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图42 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩43 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用45 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图46 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课弯曲内力习题课第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 3 41 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线垂直于轴线的外力或外力偶矩矢外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲

2、线，这种变形称为弯曲。2. 梁：梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。43. 3. 工程实例工程实例53. 3. 工程实例工程实例674. 4. 平面弯曲：平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。 对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q8非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。9二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化

3、构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。10固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。3. 支座简化支座简化11固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力悬臂梁12外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力

4、，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。13 例例11贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm， 钢的密度为： 7.8g/cm，液体的密度为：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。解：解：q 均布力均布力14LgLAgLALgVLmgq2211rad855131060.gRRgDt2221)sin(21gAgA22119.81000)sin106.3(1.8550.521 0.53.14897800010114322.q 均布力均布力kN/m91542 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 一、弯

5、曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 016ABPYAXARBmmx求内力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪力弯矩1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC172. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+

6、)M(+)M(+)M()M()18 例例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x119L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面处截取的分离体如图（c） )ax( qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）201. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2. 剪力图和弯矩图：)(xQ

7、Q 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示43 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图21 例例 试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。LPbRALPaRB22lPbxQ)(xlPbxM)(PlPbxQ)()()(axPxlPbxM (0 xa) (0 xa) (axl) (axl) CB段：AC段：23解：写出内力方程根据方程画内力图qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x qL22qL24 例例4.4 图中外伸梁上均布载荷的集度为q=3kNm，集中力偶矩m=3kNm。列出剪力方程和弯矩方程，

8、并绘制剪力图和弯矩图。RA =14.5kN，RB =3.5kN2526)3(6220 xLLq)x(Q解：求支反力内力方程3 ; 600Lq RLqRBAq0RA根据方程画内力图RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Q(x)x620Lq320Lq27320LqM(x)27 集中力不可能“集中”作用于一点，它是分布于一个微段x内的分布力经简化后得出的结果 。 关于集中力和集中力偶关于集中力和集中力偶28一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx 段进行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 44 剪力、弯矩与分布荷

9、载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 29q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集

10、度的关系是：30二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=PxQC自左向右突变无变化斜直线xM增函数xM降函数xMxMxMxM曲线坟状盆状自左向右折角折向与P反向M1 M2自左向右突变与m反mMM2152例例1 绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)53(2)aaqqqq=+xM1=xM+xM23qa2/2qa2/2qa254(3)PL/2L/2PL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/

11、255(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30kNm20kNm56yzhb)4(222yhIQbIQSzzz解： （1）横截面的剪应力为： 例例22结构如图，试证明： （1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的 合力由哪个力来平衡？q横截面的正应力为：zIMy57hhzAybyhIQA5 .05 .022d )4(2dMIIMAIMyMzzh.h.zz50502d(2) 横截面上的合剪力为：QhhI

12、Qbz)2(324233(3) 合力偶 58)(bhqx.AxQ.51)(51maxhqLx)qx(hAQLLAB43d23d200zAWAMAN2211max1max 11AABNQ(4)中面上的剪应力为：纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。(5) 纵截面上的合剪力大小为： max hqLbhbhqL4326221222xL59 第四章第四章 练习题练习题 一、试根据自己的实践经验，列举一些弯曲变一、试根据自己的实践经验，列举一些弯曲变形的构件，并将它们简化为各种类型的梁。形的构件，并将它们简化为各种类型的梁。 二、试用叠加法作梁的弯矩图。二、试用叠加法作梁的弯矩图。 222222260 三、作图示具有中间铰的组合梁的三、作图示具有中间铰的组合梁的Q Q、M M图。图。 qa2qa2 /261 四、起吊一根自重