材料力学第8章应力状态和强度理论

1、第第8 8章章 应力状态和强度理应力状态和强度理论论8-1 8-1 应力状态的概念应力状态的概念8-2 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的平面应力状态下任意斜截面上的应力应力8-3 8-3 主应力和极值切应力主应力和极值切应力8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力和最大切应力8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律8-8 8-8 强度理论强度理论第第8 8章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 横截面上正应力分析和切应力分析横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不

2、同点的应力各的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念。QFMzNF81 应力状态的概念应力状态的概念横力弯曲横力弯曲 直杆拉伸应力分析结果表明：即直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即不相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。81 应力状态的概念应力状态的概念 FFkkpFkk2coscospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸 应力状态研究应力状态研究 一点处的位于各个界面上的一点处的位于各个界面上的应力情况及变化规律应力情况及变化规律 点的应力状态是通过点的应力状

3、态是通过单元体单元体来来研究的。研究的。单元体单元体围绕某点截取的围绕某点截取的直角六面体。直角六面体。81 应力状态的概念应力状态的概念二、应力状态的研究方法及分类二、应力状态的研究方法及分类1、轴向拉伸、轴向拉伸2、扭转、扭转81 应力状态的概念应力状态的概念二、应力状态的研究方法及分类二、应力状态的研究方法及分类3、弯曲、弯曲平面应力状态平面应力状态应力状态均位于平行平面内应力状态均位于平行平面内拉伸拉伸扭转扭转弯曲弯曲空间应力空间应力状态状态81 应力状态其它分法应力状态其它分法（1 1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2 2）平面应

4、力状态：三个主应力中有两个不为零）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3 3）空间应力状态：三个主应力都不等于零）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 8-2 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的应力平面应力状态下任意斜截面上的应力解析法解析法x xy yx y yx xyxy-法线与法线与x轴平行的面上的正应力轴平行的面上的正应力x-第一个角坐标表示法线与第一个角坐标表示法线与x轴平行的面上的切应力，第二轴平行的

5、面上的切应力，第二个坐标表示切应力的方向平行于个坐标表示切应力的方向平行于y轴轴 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 8-2 8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx

6、 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法解析法（8-1）（8-2）平面应力状态下任意斜截面上的正应力和切应力计算公式，平面应力状态下任意斜截面上的正应力和切应力计算公式，适用于所有平面应力状态。适用于所有平面应力状态。主应力主应力2.2.正负号规则正负号规则拉为正；压为负拉为正；压为负使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a

7、 a xyntxyxxx xy yx y yx xy 8-2 8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法解析法例例8-1 8-1 某单元体上的应力情某单元体上的应力情况如图所示，况如图所示，a-ba-b截面上的截面上的正应力和切应力。正应力和切应力。 8-2 8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法解析法解：首先列出应力名称及数值：解：首先列出应力名称及数值：MPa80 xMPa20 xyMPa40y30a-ba-b面上的正应力和切应力分别为：面上的正应力和切应力分别为：2sin2cos)(21)(21xyyxy

8、xMPa3 .67MPa)60sin2060cos2)4080(2)4080(oo2cos2sin)(21xyyxMPa9 .41MPa)60cos2060sin2)4080(oo均为正均为正123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力。主应力。83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力一、主应力一、主应力1、概念、概念yxxy 22tan0 由由8-38-3可以确定出两个相互垂直的平面，分别可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在

9、平面。为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 平面应力状态下，任一点处一般均存在两个不为平面应力状态下，任一点处一般均存在两个不为0的主应力。的主应力。83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力02cos2sin)(210 xy0yx02、主平面的位置、主平面的位置根据主应力定义：根据主应力定义：（8-3） 由上式可以确定出主平面位置。由上式可以确定出主平面位置。0o02tan)90(2tan 3.3.主应力的计算公式主应力的计算公式如前所述，最大和最小正应力分别为：如前所述，最大和最小正应力分别为：2xy2yxyx422主2xy2yxyx 422主（8-4）83 主应力和极值切应力主应

10、力和极值切应力2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设02cos22sin)(xyyx4. 主应力值的特点主应力值的特点任一点的主应力值是过该点的各截面上正应力中的任一点的主应力值是过该点的各截面上正应力中的极值，其中，一个为极大值，一个为极小值。极值，其中，一个为极大值，一个为极小值。 8-38-3主应力和极值切应力主应力和极值切应力时，上式值为零，即时，上式值为零，即yxxy22tan0主应力与极主应力与极值所在平面值所在平面一致。一致。试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力

11、、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力解：解：（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)

12、2(主MPa3 .682yxxyyx22)2( 主MPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .105083 主应力和极值切应力主应力和极值切应力（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5 .15主 主83 主应力和极值切应力主应力和极值切应力按数学上极值方法确定极值切应力按数学上

13、极值方法确定极值切应力02sin22cos2)(2dd1xy1yx11二、二、 极值切应力极值切应力 8-38-3主应力和极值切应力主应力和极值切应力2cos2sin2xyyxxyyx122tan（8-5）同样，在同样，在1 1、1 1+90+90o o方位角处，有两个极值方位角处，有两个极值2xy2yxmaxmin2（8-6） 8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx2xy2yxyx422主2xy2yxyx 422主2xy2yxmaxmin2（）拉拉扭扭弯弯 8-48-4平面应力状态下的几

14、种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况一、轴向拉伸一、轴向拉伸0y0 xy（）2cos12x2sin2xx主特点：特点：0 主2xmaxmin与第二章推导斜与第二章推导斜截面上应力一致截面上应力一致 8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况二、扭转二、扭转0y0 x（）2sinx2cosxx主特点：特点：x 主xmaxminPxIT 8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况三、弯曲三、弯曲0y（）2sin2cos22xxx2cos2sin2xx2xy2xx)2(2主特点：特点：2x2xmax2min2xy2xx)2(2主yIMZxbISF

15、ZZSx 8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况例例8-3 受扭圆杆如图，已受扭圆杆如图，已知杆的直径知杆的直径d=50mm，Me=400Nm。试求。试求1-1截截面边缘处面边缘处A点的主应力。点的主应力。解：计算解：计算A点的主应力按下列步骤进行：点的主应力按下列步骤进行：（1）首先围绕）首先围绕A点截取一单元体并标明单元体各点截取一单元体并标明单元体各面上的应力情况。从面上的应力情况。从A点截出的单元体如图所示。点截出的单元体如图所示。（2）计算单元体上的应力。）计算单元体上的应力。是是1-1截面上截面上A点的切应力，其值为点的切应力，其值为xyMPa3 .1

16、6m05. 016mN400d16MWT333ePxy（3）按主应力公式计算主应力。）按主应力公式计算主应力。MPa3 .16x主MPa3 .16x 主 8-48-4平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况例例8-4 一矩形截面简支梁，求一矩形截面简支梁，求1-1截面截面1、2、3、4、5点单元体应点单元体应力情况并标出各应力的方向。力情况并标出各应力的方向。定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力主平面：切应力为零的平面主平面：切应力为零的平面主应力

17、：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力三个主应力分别用三个主应力分别用1、 2 、 3表示，其中表示，其中,321 8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力例：求三个主应力例：求三个主应力321MPa60,MPa50,MPa40321 8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力最大切应力计算公式：最大切应力计算公式：221max（8-7）如计算右图最大切应力：如计算右图最大切应力：MPa502)60(40221max 8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力

18、状态下任一点的主应力和最大切应力几种特殊情况下主应力：几种特殊情况下主应力：1、轴向拉伸（压缩）、轴向拉伸（压缩）0, 0,32x12、扭转、扭转x 32x1, 0,主主 8-6 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力几种特殊情况下主应力：几种特殊情况下主应力：3、弯曲、弯曲0, 0 31主主2xy2xx)2(2主2xy2xx )2(2主1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律EExyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律2 2

19、、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E12311()E2()E3()E 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律=+23132111E13221E21331E 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律（8-8）空间应力状态下广义胡克定律空间应力状态下广义胡克定律符号规定：符号规定：（1）拉应力为正、压应力为负）拉应力为正、压应力为负（2）伸长线应变为正，缩短线应变为负）伸长线应变为正，缩短线应变为负（3）1、 2 、3是沿三个主应力方向的线应变，也称主是沿三个主应力方向的线应变，也称主应变应变211E1122E1213E 8-7 8-7 广义胡克

20、定律广义胡克定律（8-9）对二向应力状态：对二向应力状态：)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律yxxE1xyyE1yxzE 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律同样，对二向应力状态：同样，对二向应力状态：例例8-78-7某点应力状态如图所示，已知某点应力状态如图所示，已知x x=30MPa=30MPa，y y=-40MPa=-40MPa，x x=20MPa=20MPa，E=2E=210105 5M

21、PaMPa，=0.3=0.3，试求该点沿，试求该点沿x x方向的线应变方向的线应变x x。 8-7 8-7 广义胡克定律广义胡克定律解：该点为平面应力状态，依广义胡克定律有：解：该点为平面应力状态，依广义胡克定律有：yxxE100021. 0MPa403 . 030MPa10215max,maxAFN（拉压）（拉压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件8-8 8-8 四种常用强度理论四种常用强度理

22、论max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？8-8 8-8 强度理论强度理论强度理论：强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及

23、计算方法。8-8 8-8 强度理论强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多

24、发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论8-8 8-8 强度理论强度理论1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得0 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破都是由于微元内的

25、最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。坏拉应力数值。 8-8 8-8 强度理论强度理论断裂条件断裂条件强度条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转8-8 8-8 强度理论强度理论01 K01(8-10)2. 2. 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 01 构件危险

26、点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211 E/008-8 8-8 强度理论强度理论实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件K)(b321最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件断裂条件E)(E103210321)(即即8-8 8-8 强度理论强度理论(8-11) 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。0max 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/002/ )(31max8-8 8-8 强度理论强度理论031屈服条件屈服条件强度条件强度条